1、三、機械能守恒定律及其應用一、機械能守恒定律1.機械能守恒定律的兩種表述（1）在只有重力做功的情形下，物體的動能和重力勢能發生相互轉化，但機械能的總量保持不 變。（2）如果沒有摩擦和介質阻力，物體只發生動能和重力勢能的相互轉化時，機械能的總量保持 不變。2 對機械能守恒定律的理解：（1）機械能守恒定律的研究對象一定是系統，至少包括地球在內。通常我們說“小球的機械能 守恒”其實一定也就包括地球在內，因為重力勢能就是小球和地球所共有的。另外小球的動能中所用 的v,也是相對于地面的速度。（2）當研究對象（除地球以外）只有一個物體時，往往根據是否“只有重力做功”來判定機械 能是否守恒；當研究對象（除地

2、球以外）由多個物體組成時，往往根據是否“沒有摩擦和介質阻力” 來判定機械能是否守恒。（3） “只有重力做功”不等于“只受重力作用”。在該過程中，物體可以受其它力的作用，只要這些力不做功，或所做功的代數和為零，就可以認為是“只有重力做功”。3 .機械能守恒定律的各種表達形式12 12（1）mgh mv = mgh mv ，即 Ep Ek = Ep Ek ；2 2（2） ）Ep AEk=O ;- 巳.IE2=O ; - Ep =鬥 Ek點評：用（1）時，需要規定重力勢能的參考平面。用（2 ）時則不必規定重力勢能的參考平面，因為重力勢能的改變量與參考平面的選取沒有關系。尤其是用-Ep =住Ek，只要

3、把增加的機械能和減少的機械能都寫出來，方程自然就列出來了。4 .解題步驟確定研究對象和研究過程。判斷機械能是否守恒。選定一種表達式，列式求解。、機械能守恒定律的綜合應用【例1】如圖所示，質量分別為 2 m和3m的兩個小球固定在一根直角尺 的兩端A、B，直角尺的頂點 0處有光滑的固定轉動軸。AO、BO的長分別為2L和L。開始時直角尺的 A0部分處于水平位置而 B在0的正下方。讓該系 統由靜止開始自由轉動，求：當A到達最低點時，A小球的速度大小V；B球能上升的最大高度。解析：以直角尺和兩小球組成的系統為對象，由于轉動過程不受摩擦和介質阻力，所以該系統的 機械能守恒。過程中A的重力勢能減少，A、B的

4、動能和B的重力勢能增加，A的即時速度總是 B的2倍。2mg 2L =3mg LB球不可能到達 O的正上方，它到達最大高度時速度一定為零，設該位置比OA豎直位置向左偏了 a角。2mg2Lcosa =3mg L (1+sin a),此式可化簡為 4cosa -3si n a =3,利用三角公式可解得 sin(53 - a ) =sin37, a =16點評：本題如果用 Ep+Ek= Ep/ +E/這種表達形式，就需要規定重力勢能的參考平面，顯然比 較煩瑣。用- .：Ep就要簡潔得多。下面再看一道例題。K |-k-【例2】 如圖所示，粗細均勻的 U形管內裝有總長為 4L的水。開始 時閥門K閉合，左右

5、支管內水面高度差為L。打開閥門K后，左右水面剛好相平時左管液面的速度是多大？(管的內部橫截面很小，摩擦阻力忽略 不計)解析：由于不考慮摩擦阻力，故整個水柱的機械能守恒。從初始狀態 到左右支管水面相平為止，相當于有長L/2的水柱由左管移到右管。系統的重力勢能減少，動能增加。該過程中，整個水柱勢能的減少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力勢能的減少。不妨設水柱總質量 為8m，則mg兀8m v2，得口普。點評：本題在應用機械能守恒定律時仍然是用-厶Ep工尺Ek建立方程，在計算系統重力勢能變化時用了等效方法。需要注意的是：研究對象仍然是整個水柱，到兩個支管水面相平時，整個水柱中 的每一小部分的速率都是相同的。【例3】如圖所示，游樂列車由許多節車廂組成。列車全長為L,圓形軌道半徑為 R，（ R遠大于一節車廂的高度h和長度I，但L2 tR） 已知列車的車輪是卡在導軌上的光滑槽中只能使列車沿著圓 周運動，在軌道的任何地方都不能脫軌。試問：在沒有任何動力的情況下，列車在水平軌道上應具有 多大初速度vo，才能使列車通過圓形軌道而運動到右邊的水平軌道上？v,游樂車的質量為m.解析：當游