1、函數(shù)最值問題解法探討摘要函數(shù)最值問題是函數(shù)的核心知識，在現(xiàn)實生活中也有著廣泛的應用，是中學數(shù)學教學與研究的重點內容，同時函數(shù)最值問題也與數(shù)學中眾多知識與方法是緊密相關的。本文主要就函數(shù)最值問題的基本求解方法與技巧加以討論，并結合一些具體的例子進一步說明這些方法在解題當中的應用。AbstractThe maximum andminimumof the function is the core knowledge of function, which is also widely applied in real life, and is the key content of middle scho

2、ol mathematics teaching and research. Meanwhile, it is closely related to numerous knowledge and methods in mathematics. This article mainly discusses the basic calculation methods and skills of the maximum and minimum of the function, and combines with some concrete examples to further illustrate t

3、he application of these methods in the problem solving.關鍵詞:函數(shù) 最值 解法 目錄1引言32函數(shù)最值問題解法探討33例題探討54總結語13參考文獻13 一、引言函數(shù)是中學數(shù)學的主體內容,貫穿于整個中學階段,而函數(shù)最值問題是函數(shù)的重要組成部分。并且函數(shù)最值問題也與數(shù)學中眾多知識與方法是緊密相關的，根據(jù)平時教學中教授知識內容，我認為總結函數(shù)最值問題解法很有必要，對提高學生解決問題的能力有很重要的作用。一般函數(shù)的求最值的方法可歸納為十種：判別式法、配方法 、不等式法 、三角函數(shù)法 、換元法、數(shù)形結合法 、函數(shù)單調性法 、復數(shù)思想 、求導法 、

4、線性規(guī)劃法等，這些方法具有極強的針對性，每一種方法針對性不同。本文就常用的幾種方法進行探討。二、函數(shù)最值問題解法探討函數(shù)最值的定義設函數(shù)y=在內有定義，如果有 ,使得對于任一,都有（或）成立，則稱函數(shù)在點處有最大（?。┲?)。 1、 判別式法有些函數(shù)經(jīng)過適當?shù)淖冃魏螅烧頌?()的形式，根據(jù)x是實數(shù)，因而可以用判別式求最值，但要注意把變形過程中函數(shù)值域擴大（或縮小）的部分去掉（或找回）。12、配方法當函數(shù)是二次函數(shù),或者經(jīng)過變形后可以轉化為二次函數(shù)時,就可以利用這種方法進行求解。當涉及到具體問題,在使用配方法時必須注意題目中的隱含條件及問題的轉化、換元。經(jīng)轉化后問題一般就成了求函數(shù)y = (

5、 a 0)在閉區(qū)間 或區(qū)間( 、) 上的最值,此時就可以用二次函數(shù)的單調性來確定最值。23、不等式法有些函數(shù)可利用已證過的重要不等式來求最值，特別是均值不等式在求最值的問題中更是應用廣泛。著名的平均值不等式：若R+則 當且僅當是一個應用廣泛的不等式，許多外形與它截然相異的函數(shù)式，常常也能利用它巧妙地求出最值。34、三角函數(shù)法求三角函數(shù)最值，主要利用正、余弦函數(shù)的有界性，結合函數(shù)的圖像和性質來求解。求三角函數(shù)的最值方法：1） 可用輔角化為其中 2） 可化為3） 可換元轉化為二次函數(shù)4）與同時存在型可換元轉換5）或可用分離系數(shù)法或由來解決，可化為重分式求解。6）可用斜率公式求解決5、換元法 換元法

6、就是通過引入一個或幾個新的變量，來替代原來的某些量的解題方法，達到化抽象為具體形象，化繁雜為簡單明確，化難為易的目的，換元法主要有代數(shù)換元和三角換元。用換元法時，要注意換元后變元的范圍。6、數(shù)形結合法數(shù)形結合能將抽象的問題直觀化、形象化，函數(shù)最值也常借助數(shù)形結合方法來解。7、函數(shù)單調性法一般對于可化為y=型（或化為余弦函數(shù)形式）的三角函數(shù)，在自變量的范圍限制在某個區(qū)間的情況下，函數(shù)最值問題通常通過三角恒等變換將已知函數(shù)式直接轉化為一個角的三角函數(shù)的形式，將異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，然后利用三角函數(shù)的單調性來求解。48、復數(shù)思想復數(shù)z 是形如 (R)的數(shù),它與以原點O為起點的向量建立一一對應

7、關系后，從側面獲得了：（1）長度的含義，即 | z | =；（2）非零實數(shù)的性質，即| z |0，這樣| z |就列入到求最大（小）值問題了，其解法有以下四種：（1）運用圖形的直觀性求解；（2）運用復數(shù)的三角不等式求解；（3）運用復數(shù)的幾何意義求解；（4）運用共軛復數(shù)的性質求解。9、求導法如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上是連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在閉區(qū)間a,b上必有最大值和最小值，它的最大值（最小值）是函數(shù)f(x)的極大值與極小值以及f(a)、f(b)中最大的（最小的）。510、線性規(guī)劃法線性規(guī)劃問題，一般可用圖解法求線性目標函數(shù)在約束條件下的最大值或最小值問題。分為三個步驟：第一步，在平面直角

8、坐標系中作出可行域；第二步，利用平移直線的方法在可行域內找到最優(yōu)解析對應的點；第三步，將最優(yōu)解代入目標函數(shù)求出最大值或最小值。三、例題探討例 1 ：已知函數(shù) 求其最值解：由得， 即 例 2 ：已知實數(shù)滿足求的最大值!解：從已知條件推得 =又 解得當時，（）=,無最小值。例3：的最小值 解： 原式2+1=5當且僅當時，即x=3時，等號成立。注意：1）、兩個正數(shù)的和為定值，則積有最大值，兩個正數(shù)的積為定值，則和有最小值；2）、應用均值不等式求最值時，要注意三點“一正、二定、三相等”。例4（1）：求函數(shù)的最大值與最小值解：函數(shù)的幾何意義為兩點P(-2,0),Q連線的斜率K,而Q點的軌跡為單位圓，可知

9、 例4（2）：函數(shù)滿足且求函數(shù)f(x)的最值解：把代入得例4（3）：已知函數(shù)， 1、求函數(shù)的最小值2 、求1中的最大值 解： f(x)取得最小值 當a=1時，例5：函數(shù)f(x)=2+,x1,9求的最大值、最小值解：由可得，定義域令 則t=0, t=1,例6:求函數(shù)的最大值和最小值。解：= 這可以看作是定點A( -4,-3)與單位圓上的點 p連線的斜率。由下圖可知，過點 A( -4，-3)作單位圓的切線時，斜率有最值。故 y 的最值就是當直線 AP 與單位圓相切時的斜率。A(-4,-3)xyOPP因為單位圓 中斜率為k的切線方程為: 由于該切線過點A(-4,-3)，故 ，-3=-4所以 即 例7

10、：已知函數(shù)，,求函數(shù)的最值。解：=當即時， 函數(shù)f(x)取得最值得自變量x的集合是例8：已知復數(shù)z滿足| z |=2，求的最大值和最小值。解法一：設z=,(R) | z |=2 = = 設t=a+,則t-=a, 4-2 bR，tR, =-160 解得-4t4,即-44 代入得 =0 =4解法二： | z |=2， 點z是圓上的點，表示z與-1-的對應點間的距離。由于點P（-1，-）在圓上，如下圖：pxyO22 |PZ|的最小值為0，最大值為4，即 =0 =4解法三：由不等式-+，得 04 =0 =4解法四：設z=（R),則由| z |=2 得 =(x+1)+(y+)(x+1)-(y+) =(x

11、+1)+ (y+) = = 由于，故可令 于是上式可化為=8+4( =8+8 =8+8 016 即 =0 =4在求函數(shù)的最值時,如果函數(shù)能夠變形為平方和的形式,不妨引進復數(shù),利用復數(shù)的模來求解,利用復數(shù)的模的不等式性質,往往使問題迎刃而解。例9：已知a為實數(shù)，f(x)=(x2 -4)(x-a)若f(-1)=0,求f(x)在-2,2上的最大值與最小值。解：由原式得：f(x)=x3-ax2-4x+4a f(x)=3x2-ax-4由f(-1)=0得a= ,此時有由得或又，所以在-2,2上最大值為，最小值為。注意：1、函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上的函數(shù)值相比較而言的，函數(shù)的極值反映函數(shù)在某一點附近的

12、情況，是在局部對函數(shù)值得比較，故函數(shù)的極值不一定是最值，在某一區(qū)間上最值不一定是函數(shù)的極值； 2、連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間（a,b）上不一定有最大值或最小值，如果連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間（a,b）內只有一個極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值。例10：已知實數(shù)x,y滿足，求的最大值和最小值解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示Oy426ACDBx=4x+y-6=04x-3y+12=046x令z=,則y=xz故求的最大值與最小值就是求不等式組所表示的平面區(qū)域內的點與原點連線的斜率的最大值與最小值，由圖易知，最小，最大，由得故C（4,2），= 由得故A =6故的最大值為6，最小值為注意：線性目標函數(shù)的最大值或最小值一般在可行域的頂點處或邊界上取得；求目標函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析目標函數(shù)所表示的幾何意義。四、總結語本文通過函數(shù)最值問題及例題探討，總結出求函數(shù)最值問題幾種解法，碰到現(xiàn)實問題時，要根據(jù)不同題型,不同情況來區(qū)別對待,沒有一套固定的公式和定式。我們只有通過全面分析，結合所學的已知知識，用綜合的手段，面準確的考慮最值的各種可能