1、絕密啟用前2020年普通高等學校招生全國統一考試（模擬卷）數學（理工類）本試題卷共6頁，22題，其中第15、16題為選考題。全卷滿分 150分。考試用時120分鐘。一、選擇題：本大題共 10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1. i為虛數單位，i607的共軛復數 為A . iB . -iC. 1D. -1答案：A.608j4：152 1解析：ii，其共軛復數為i.故選（A）.i ii2 .我國古代數學名著數書九章有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為A . 134

2、 石B . 169 石C . 338 石D . 1365 石答案：B解析：這批米內夾谷約為1534 空:169石.故選（B）.2543.已知（1 x）n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，則奇數項的二項式系數和為A. 2B. 2C . 2D . 2答案：D解析：因為展開式的第 4項與第8項的二項式系數相等，所以C3，解得n =10.所以根據二項式系數和的相關公式得，奇數項的二項式系數和為2n4 =29.故選（D）.2 24設XJN（叫，亍）,YL N（2, 6），這兩個正態分布密度曲線如圖所示下列結論中正確的是A P（Y _ 占）_P（Y _斗）B P（X _；丁2）_P（X _；門）C

3、 .對任意正數 t , P（X _t） _P（Y _t）D 對任意正數 t , P（X _t） _P（Y _t）答案：C解析：對于選項（A）,因為正態分布曲線關于直線X -對稱，所以叫：J 所以P 丫 一 7 05二P 丫 一.故選項（A）錯誤；對于選項（B）,因為X的正態分布密度曲線比丫的正態分布密度曲線更“瘦高”，所以ff2.所以P X 一；2疳P X 一.故選項（B）錯誤；對于選項（C），在y軸右方作與X軸垂直的一系列平行線，可發現在任何情況下，X的正態分布密度曲線與X軸之間圍成的圖形面積都大于 丫的正態分布密度曲線與 X軸之間圍成的圖形面積，即對任意正數 t, P X t _P 丫紅.

4、故選項（C）正確；5.設 ai,a2H,aR , n _3.若 p： ai,a2,|l）,an成等比數列；q:（a?a；JlLajKa； a| 1丨| a：） = （a a?a3川-ana）2，則A p是q的充分條件，但不是 q的必要條件B p是q的必要條件，但不是 q的充分條件C p是q的充分必要條件D p既不是q的充分條件，也不是 q的必要條件答案：A 解析：柯西不等式“2 2 2 2 2 2 2aia:an-ia2a: ai：:： aia2a2a:an-ia*等號 成立的 條件是-(即a2,an,成等比數列)”或“ a2 = a3 =an = 0 ”，故p是q的充分條件，a2a3an但不

5、是q的必要條件故選(A).1, x 0,I6 .已知符號函數 sgnx 二 0, x =0, f(x)是 R 上的增函數，g(x)二 f (x) f (ax) (a .1)，則-1, x 0.A . sgng(x) =sgnxB . sgng(x) =sgnxC. sg ng(x) =sg nf(x)D . sg ng(x)=-sg nf(x)答案：B解析：不妨令f x = x 1, a = 2，則 g x 二 f x - f 2x = -x.則 sgn|g x 二sgn -x，排除選項（A）；sgn，f（x）=sgn（x + 1）是以 x+1 與 0 比較，排除選項（C）, （D）.1P2為

6、事件“ |x-y|_? ”的概率,故選（B）.17.在區間0, 1上隨機取兩個數x,y，記P1為事件“ x y ”的概率,P3為事件“xy”的概率，貝U2A .P1 :P2:P3B .P2 ： P3:P1C.P3 :P1:P2D .P3： P2:P1答案：B0蘭x蘭111解析：在同一平面直角坐標系中，依次作出不等式彳x + yZ ,x-yE ,lOEy 蘭1,7 221 一xy的可行域如下圖所示：2r .S曲邊多邊形BACDE則P1 :S四邊形OCDEP2S曲邊多邊形BOAFDGS四邊形OCDES曲邊多邊形GEOCF，P3 ：S四邊形OCDE因為 S ABO - S beg - SDGF, 所

7、以 S曲邊多邊形BOAFDG : S曲邊多邊形GEOCF : S曲邊多邊形BACDE .所以S曲邊多邊形BOAFDGS四邊形OCDES曲邊多邊形GEOCF S四邊形OCDES曲邊多邊形BACDE S四邊形OCDE即 P2 ”：P3”： Pl .故選(B)8.將離心率為ei的雙曲線Ci的實半軸長a和虛半軸長b （a迪）同時增加m （m 0）個單位長度，得到離心率為e2的雙曲線C2，則A .對任意的a, b ,B .當 a b 時，6 e2 ；當 a b 時，e ：倉C .對任意的a, b ,ei : e2當a b時，ei 1，知 an =2n 1 , bn = 2 _,故 cn =，于疋2 _T

8、n =1 r r r Wl k ,2 2 2 2 2 -hn J 2 2 4爲山瞬.2 2 2 2 2 2 2-可得1 1 1 山 12n -12n 3Tn -22pn3 -2 2 2 2 2 2故Tn =6 -竺衛3.219. （本小題滿分12分）九章算術中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角 三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在陽馬 P-ABCD中，側棱PD _底面ABCD ,且PD =CD，過棱 PC的中點 E，作EF _ PB交PB于點 F，連接 DE , DF , BD, BE.（1）證明：PB _平面DEF .試判斷四面體 DBEF是否為鱉臑，若

9、是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，說明理由；（2）若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 n,求匹的值.BC3數學（理工類）第#頁（共6頁）第19題圖解：（解法1）（1）因為PD _底面ABCD，所以PD _ BC ,由底面 ABCD為長方形，有 BC _CD，而PDCD =D ,所以BC _平面PCD .而DE 平面PCD，所以BC _ DE 又因為PD二CD，點E是PC的中點，所以 DE _ PC 而PC P）BC =C，所以DE _平面PBC 而PB 平面PBC，所以PB _ DE 又 PB _ EF，DE 門 EF =E，所以 PB _ 平面 DEF 由DE _平面PB

10、C，PB_平面DEF，可知四面體 BDEF的四個面都是直角三角形， 即四面體 BDEF是一個鱉臑，其四個面的直角分另U為.DEB, . DEF，EFB，DFB （2）如圖1，在面PBC內，延長 BC與FE交于點G，貝U DG是平面DEF與平面 ABCD的交線由（1）知，PB _平面DEF，所以PB _ DG 又因為PD _底面ABCD，所以PD _ DG 而PD門PB二P，所以DG _平面PBD 故.BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，設 PD =DC =1 , BC = ，有 BD = J ：；嗔,在 Rt PDB 中,由 DF _PB，得.DPF 二 FDB 二n,3貝V ta

11、n n = tan .DPF 二昱=.1 2 二 3 ,解得_ . 2 3PD1所以 DC =1 =_2BC 九 2故當面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 匸時，DC23BC2(解法2)(1)如圖2，以D為原點，射線 DA,DC,DP分別為x,y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標系設HPD 二 DC =1， BC 二，則 D(0,0,0), P (0,0,1), B ( ,1,0),C (0,1,0) PB=(,1,1)，點 E 是 PC 的中點，所以 E(0, -, -)，D(0,-,-)，2 2 2 2于是 PB DE =0 ,即卩 PB _ DE 又已知EF _PB，而DE EF =E

12、，所以PB _平面DEF .因 PC =(0,1, _1), DE PC =0,則 DE _PC,所以 DE _ 平面 PBC .由DE _平面PBC， PB_平面DEF，可知四面體 BDEF的四個面都是直角三角形,解答圖1解答圖2I(2)由PD _平面ABCD，所以DP =(0, 0,1)是平面 ABCD的一個法向量；H由(I)知， PB _平面DEF，所以BP =(-，,-1,1)是平面DEF的一個法向量若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為71則cos訂|BP| | DP2解得二2.所以DC J 2BC &2數學(理工類)第13頁(共6頁)y8B(:4.8)C(6,0)12OA(0,0

13、)xr、r ! I IS El IK解答圖18iO 】A(0,0)C(7.5,0)12B(3,6)解答圖2解答圖3當W=12時，表示的平面區域如圖1,三個頂點分別為A(0, 0), B(2.4, 4.8), C(6, 0).故當面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 匸時，DC二二23 BC 220. （本小題滿分12分）某廠用鮮牛奶在某臺設備上生產 A,B兩種奶制品.生產1噸A產品需鮮牛奶2噸，使用設備1小時， 獲利1000元；生產1噸B產品需鮮牛奶1.5噸，使用設備1.5小時，獲利1200元.要求每天B產品 的產量不超過 A產品產量的2倍，設備每天生產 A,B兩種產品時間之和不超過 12小

14、時假定每天可獲 取的鮮牛奶數量 W （單位：噸）是一個隨機變量，其分布列為W121518P0.30.50.2該廠每天根據獲取的鮮牛奶數量安排生產，使其獲利最大，因此每天的最大獲利Z （單位：元）是個隨機變量.（1）求Z的分布列和均值;（2）若每天可獲取的鮮牛奶數量相互獨立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率.解：（I）設每天 A,B兩種產品的生產數量分別為 x,y，相應的獲利為z，則有2x 1.5y EW,x 1.5y 遼12,2x -y _0,x _0, y _0.目標函數為 z=1 0 0 0+ 1 20.0將 z =1000x 1200y 變形為 y = 5 x 6 12

15、005 z當x =2.4, y =4.8時，直線l : y = _5x z在y軸上的截距最大，6 1200最大獲利 Z 二zmax =2.4 1000 4.8 1200 =8160 .當W=15時，表示的平面區域如圖2,三個頂點分別為A(0, 0), B(3, 6), C(7.5, 0).將 z =1000x 1200y 變形為 y = 5 x 6 1200當x =3, y =6時，直線I : y =-5x 在y軸上的截距最大,6 1200最大獲利 Z =Zmax =3 10006 1200 =10200 .當W=18時，表示的平面區域如圖3,四個頂點分別為 A(0, 0), B(3, 6),

16、 C(6, 4), D(9, 0).5 z將 z =1000x1200y 變形為 y亠，6 1200當x=6,y=4時，直線I : y二一5xZ在y軸上的截距最大,6 1200最大獲利 Z =zmax =6 1000 4 1200 =10800 .故最大獲利Z的分布列為Z81601020010800P0.30.50.2因此，E(Z) =8160 0.3 10200 0.5 10800 0.2 =9708.(2 )由(1)知，一天最大獲利超過10000元的概率 口 =P(Z .10000) =0.5，0.2 =0.7,由二項分布，3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為33p=1-(1-

17、pj =1 -0.3 =0.973.21 .(本小題滿分14分)一種作圖工具如圖1所示.O是滑槽AB的中點，短桿 ON可繞0轉動，長桿 MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子 D可沿滑槽 AB滑動，且DN =ON =1, MN =3 當栓子 D在滑槽AB內作 往復運動時，帶動.N繞O轉動一周(D不動時，N也不動)，M處的筆尖畫出的曲線記為 C .以O為 原點，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標系.(1) 求曲線C的方程；(2) 設動直線l與兩定直線h ： x -2y =0和l2 : x 20分別交于P, Q兩點.若直線I解:MD解答圖(共6頁)子22(x0 -t)y0 =1,所

18、以(t _X, _y) =2筑-t, y)，且 22X0=1.即 t X =2心-2t, y = -2y0.由于當點D不動時，點N也不動，所以t不恒等于且 t(t -2x0) =0.于是 t =2x，故 X。=x, y。= 一丄，代入 x0 y0 =1，4-2即所求的曲線C的方程為16（2） 1）當直線I的斜率不存在時，直線I 為 x=4 或 x = -4 ,都有 S qpq = 4 4 = 8. 22）當直線I的斜率存在時，設直線, y =kx m,由22消去y,x2 4y2 =16,因為直線I總與橢圓C有且只有一個公共點，所以厶=64k m -4（1 4k ）（4m 16） =0，即 m

19、=16k4 .可得(1 4k2)x2 8kmx 4m2 -16=0.又由kx m,x_2y =0,可得P(旦-1 2k-）；同理可得q（上空，）.1 2k1 2k 12k由原點O到直線PQ的距離為d和 | PQ 匸 1k2 |xp -xq |，可得1k2s.opq 冷 |PQI1d穢訕Xpf鳥|m|2m 2m1 2k 1 2k2m21 - 4k2將代入得,S.opq2m21 -4k224k 124k 1當0彖24k 12)=8(1 2) 8 ；4k -14k -1o1 4k 1因 0 _k2當且僅當:時，Sopq=8(2)=8(-12).41 -4k1 -4k1，則 0：1-4k -1，2 -

20、2，所以 Sopq=8(-12)_8，41 -4k1 - 4kk = 0時取等號.所以當k =0時，Sopq的最小值為8.數學(理工類)第17頁(共6頁)綜合1) 2)可知，當直線I與橢圓C在四個頂點處相切時， OPQ的面積取得最小值 8.22.(本小題滿分14分)1已知數列an的各項均為正數，bn = n(1)nan (n. N ) , e為自然對數的底數.n(1) 求函數f(x)=1 ，乂的單調區間，并比較 (1)n與e的大小；n(2) 計算bl, blb2,&於3，由此推測計算呢bn的公式，并給出證明；a1aia2玄2比aia | an1(3) 令 Cn =(吶1&)下，數列an , Cn的前n項和分別記為 ,Tn,證明：T： eSn.解：(1) f (x)的定義域為(_：, ；) , f(x)=1_ex.當f (x) . 0,即x ：0時，f(x)單調遞增；當f (x) ：0，即x 0時，f(x)單調遞減.故f (x)的單調遞增區間為(_;0)，單調遞減區間為(0,；).當 x