1、高等數學高等數學 主要內容 n一、基本初等函數的導數一、基本初等函數的導數 n二、函數四則運算求導法則二、函數四則運算求導法則 n三、復合函數求導法則三、復合函數求導法則 n四、隱函數求導法則四、隱函數求導法則 高等數學高等數學 一、常數和基本初等函數的導數一、常數和基本初等函數的導數 )(csc )(sec )(cot )(tan )(cos )(sin )( )( x x x x x x x C )cot( )(arctan )(arccos )(arcsin )(ln )(log )( )( xarc x x x x x e a a x x 0 1 x xcos xsin x 2 sec

2、 x 2 csc xx tansec xx cotcsc ln x aa x e axln/1 x/1 2 1/1x 2 1/1x )1/(1 2 x )1/(1 2 x 高等數學高等數學 2 (1) ( )( )( )( ); (2) ( )( )( ) ( )( )( ); ( )( ) ( )( )( ) (3)( ( )0). ( )( ) f xg xfxg x f xg xfx g xf x g x f xfx g xf x g x g x g xgx 二、函數的四則運算的求導法則二、函數的四則運算的求導法則 定理定理 如果函數如果函數 ( ),( )f xg x在點在點x處可導，

3、則它處可導，則它 們的和、差、積、商（分母不為零）在點們的和、差、積、商（分母不為零）在點x處可處可 導，并且導，并且 高等數學高等數學 證證(3)(3) ),0)( , )( )( )( xv xv xu xf設設 h xfhxf xf h )()( lim)( 0 hxvhxv hxvxuxvhxu h )()( )()()()( lim 0 h xv xu hxv hxu h )( )( )( )( lim 0 高等數學高等數學 hxvhxv xvhxvxuxvxuhxu h )()( )()()()()()( lim 0 )()( )()( )()( )()( lim 0 xvhxv

4、h xvhxv xuxv h xuhxu h 2 )( )()()()( xv xvxuxvxu .)(處可導處可導在在xxf 高等數學高等數學 推論推論 ; )( )()1( 11 n i i n i i xfxf );( )()2(xfCxCf ; )()( )()()( )()()( )()3( 11 21 21 1 n i n ik k ki n n n i i xfxf xfxfxf xfxfxfxf 高等數學高等數學 vuvu )( vuvuuv ) ( 2 )( v vuvu v u 推推論論uCCu ) ( 高等數學高等數學 例例1 1.sin2 23 的導數的導數求求xxxy

5、 解解 2 3xy x4 例例2 2 求函數求函數3coslgyxx .cos x 的導數的導數. 解解 1 3( sin )lg3cos ln10 yxxx x 3cos 3sinlg ln10 x xx x 高等數學高等數學 例例3 3.tan的導數的導數求求xy 解解) cos sin ()(tan x x xy x xxxx 2 cos )(cossincos)(sin x xx 2 22 cos sincos x x 2 2 sec cos 1 .sec)(tan 2 xx 即即 .csc)(cot 2 xx 同理可得同理可得 高等數學高等數學 例例4 4.sec的導數的導數求求xy

6、 解解 ) cos 1 ()(sec x xy x x 2 cos )(cos .tansecxx x x 2 cos sin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得 高等數學高等數學 定理定理3 ).()( , )(,)( )(,)( xguf dx dy x xgfyxgu ufyxxgu 且其導數為且其導數為可導可導 在點在點則復合函數則復合函數可導可導在點在點 而而可導可導在點在點如果函數如果函數 即即 因變量對自變量求導因變量對自變量求導, ,等于因變量對中間變等于因變量對中間變 量求導量求導, ,乘以中間變量對自變量求導乘以中間變量對自變量求導.(.(鏈式法則鏈式法則)

7、) 三、復合函數的求導法則三、復合函數的求導法則 高等數學高等數學 推廣推廣 ),(),(),(xvvuufy 設設 . )( dx dv dv du du dy dx dy xfy 的導數為的導數為則復合函數則復合函數 高等數學高等數學 例例6 6.sinln的導數的導數求函數求函數xy 解解.sin,lnxuuy dx du du dy dx dy x u cos 1 x x sin cos xcot . 3 的導數的導數求函數求函數 x ey 解解 , 3 xuey u dx du du dy dx dy .33 22 3 xexe xu 例例5 5 高等數學高等數學 例例7 7.)1(

8、 102 的導數的導數求函數求函數 xy 解解 xu210 9 xx2)1(10 92 .)1(20 92 xx dx du du dy dx dy 1, 210 xuuy 高等數學高等數學 例例6 6.sinln的導數的導數求函數求函數xy 解解 x x sin cos xcot . 3 的導數的導數求函數求函數 x ey 解解.3 2 3 xe x 3 x e xx ee ) ( )( 3 x )sin(ln x xsin 1 x x 1 )(ln )(sin x )( 3 x e 例例5 5 高等數學高等數學 例例7 7.)1( 102 的導數的導數求函數求函數 xy 解解 92 )1(

9、10 x dx dy xx2)1(10 92 .)1(20 92 xx 910 10)(xx )1( 2 x 熟悉了復合函數的求導法則后，中間變量默記在心，熟悉了復合函數的求導法則后，中間變量默記在心， 由外及里、逐層求導。由外及里、逐層求導。 高等數學高等數學 復合函數的求導法則可推廣到有限次復合的情形。復合函數的求導法則可推廣到有限次復合的情形。 如設如設 那么對于復合函那么對于復合函 數數 ，我們有如下求導法則：，我們有如下求導法則： ( ),( ),( ),yf u uv vx ( )yfx v xux yyuv ( )( )( )yf uvx 例例8求求 的導數的導數 2 tan 2

10、 x y 解：解： 設設 , 2 uy 2 ,tan x vvu 由由 得得 ( )( )( )yfuvx 2 sec 2 tan 2 1 sectan2 ) 2 (sec2)()(tan)( 22 22 xx vv x vuvvuy 即即 高等數學高等數學 例例9 9 .arcsin 22 2 22 的導數的導數求函數求函數 a xa xa x y 解解)arcsin 2 () 2 ( 2 22 a xa xa x y 22 1 22 x ax . 22 xa )0( a 22 2 22 2 22 22 1 2 1 xa a xa x xa 22 2xa x20 2 2 a 2 )(1 a

11、x a 1 x x 2 1 )( 2 1 1 )(arcsin x x 高等數學高等數學 例例1010.)2( 2 1 ln 3 2 的導數的導數求函數求函數 x x x y 解解),2ln( 3 1 )1ln( 2 1 2 xxy 1 1 2 1 2 x y )2(3 1 1 2 xx x 例例1111. 1 sin 的導數的導數求函數求函數 x ey 解解 x ey 1 sin x e 1 sin . 1 cos 1 1 sin 2 x e x x x2 )2(3 1 x ) 1 (sin xx 1 cos ) 1 ( x x e 1 sin . 1 cos x 2 1 x 高等數學高等數

12、學 四、隱函數的導數四、隱函數的導數 1.1.定義定義: : .)(稱為隱函數稱為隱函數由方程所確定的函數由方程所確定的函數xyy .)(形式稱為顯函數形式稱為顯函數xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數的顯化隱函數的顯化 問題問題:隱函數不易顯化或不能顯化如何求導隱函數不易顯化或不能顯化如何求導? 隱函數求導法則隱函數求導法則: : 用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導用復合函數求導法則直接對方程兩邊求導. 高等數學高等數學 例例1212 22 22 xy ab 求求由由方方程程+=1+=1所確定的隱函數所確定的隱函數 的導數的導數y . y 解解 將方程兩邊分別關于將方程兩邊分別關于x

13、求導，求導， 22 22 0 xy y ab 得得 2 2 b x y a y 高等數學高等數學 例例2 2 . ,) 2 3 , 2 3 ( ,3 33 線通過原點線通過原點 在該點的法在該點的法并證明曲線并證明曲線的切線方程的切線方程點點 上上求過求過的方程為的方程為設曲線設曲線 C CxyyxC 解解:,求導求導方程兩邊對方程兩邊對x yxyyyx 3333 22 ) 2 3 , 2 3 ( 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( xy xy y . 1 所求切線方程為所求切線方程為) 2 3 ( 2 3 xy . 03 yx即即 2 3 2 3 xy法線方程為法線方程為,xy 即即顯然通過

14、原點顯然通過原點. 高等數學高等數學 例例1414 ., 0 0 x yx dx dy dx dy y eexy 的導數的導數 所確定的隱函數所確定的隱函數求由方程求由方程 解解 ,求導求導方程兩邊對方程兩邊對x 0 dx dy ee dx dy xy yx 解得解得 , y x ex ye dx dy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知 0 00 y x y x x ex ye dx dy . 1 高等數學高等數學 例例1515生物群體總數的生長規律為生物群體總數的生長規律為 0 1 1 rt l xx le ( )xx t 為生物群體在為生物群體在t t時刻的總數，時刻的總數， 0 l

15、rx、 、 均為常數，且均為常數，且0.l 試求生長率試求生長率( ).x t 高等數學高等數學 解解 原方程原方程整理得整理得 0(1 )0 rt xlexxl 方程兩邊對方程兩邊對t求導求導 0 rtrt xrlexlex 1 rt rt rlex x le 0 2 (1) (1) rt rt x rll e le 高等數學高等數學 參數方程所確定的函數的導數參數方程所確定的函數的導數 . , )( )( 定的函數定的函數稱此為由參數方程所確稱此為由參數方程所確 間的函數關系間的函數關系與與確定確定若參數方程若參數方程xy ty tx 例如例如 , ,2 2 ty tx 2 x t 22

16、) 2 ( x ty 4 2 x xy 2 1 消去參數消去參數 問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導消參困難或無法消參如何求導? t 高等數學高等數學 ),()( 1 xttx 具有單調連續的反函數具有單調連續的反函數設函數設函數 )( 1 xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可導都可導再設函數再設函數 由復合函數及反函數的求導法則得由復合函數及反函數的求導法則得 dx dt dt dy dx dy dt dx dt dy1 )( )( t t dt dx dt dy dx dy 即即 , )( )( 中中在方程在方程 ty tx 高等數學高等數學 例例9 9 解解 dt

17、dx dt dy dx dy t t cos1 sin taa ta cos sin 2 cos1 2 sin 2 t dx dy . 1 .方方程程 處的切線處的切線在在求擺線求擺線 2)cos1( )sin( t tay ttax 高等數學高等數學 .),1 2 (, 2 ayaxt 時時當當 所求切線方程為所求切線方程為 )1 2 ( axay ) 2 2( axy即即 高等數學高等數學 例例1010 .)2( 2 1 ln 3 2 的導數的導數求函數求函數 x x x y 解解),2ln( 3 1 )1ln( 2 1 2 xxy )2(3 1 2 1 1 2 1 2 x x x y )

18、2(3 1 1 2 xx x 例例1111. 1 sin 的導數的導數求函數求函數 x ey 解解 ) 1 (sin 1 sin x ey x ) 1 ( 1 cos 1 sin xx e x . 1 cos 1 1 sin 2 x e x x 高等數學高等數學 五、高階導數的定義五、高階導數的定義 問題問題: :變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度. ),(tfs 設設 )()(tftv 則瞬時速度為則瞬時速度為 的變化率的變化率對時間對時間是速度是速度加速度加速度tva . )()()( tftvta 定義定義 .)() )(, )()( lim) )( ,)()( 0 處的二階導數處

19、的二階導數在點在點為函數為函數則稱則稱存在存在 即即處可導處可導在點在點的導數的導數如果函數如果函數 xxfxf x xfxxf xf xxfxf x 高等數學高等數學 記作記作. )( ,),( 2 2 2 2 dx xfd dx yd yxf或或 記作記作階導數階導數的的函數函數 階導數的導數稱為階導數的導數稱為的的函數函數一般地一般地 ,)( 1)(, nxf nxf . )( ,),( )()( n n n n nn dx xfd dx yd yxf或或 三階導數的導數稱為四階導數三階導數的導數稱為四階導數, 二階和二階以上的導數統稱為二階和二階以上的導數統稱為高階導數高階導數. .)

20、(;)(,稱為一階導數稱為一階導數稱為零階導數稱為零階導數相應地相應地xfxf .,),( 3 3 dx yd yxf 二階導數的導數稱為三階導數二階導數的導數稱為三階導數, .,),( 4 4 )4()4( dx yd yxf 高等數學高等數學 高階導數求法舉例高階導數求法舉例 例例1212 ).0(),0(,arctanffxy 求求設設 解解 2 1 1 x y ) 1 1 ( 2 x y 22 )1( 2 x x ) )1( 2 ( 22 x x y 32 2 )1( )13(2 x x 0 22 )1( 2 )0( x x x f 0 32 2 )1( )13(2 )0( x x x

21、 f; 0 . 2 高等數學高等數學 例例1313 .),( )(n yRxy求求設設 解解 1 xy )( 1 xy 2 )1( x 3 )2)(1( x )1( 2 xy )1()1()1( )( nxny nn 則則為為自自然然數數若若,n )()( )( nnn xy , !n ) !( )1( ny n . 0 高等數學高等數學 例例1414 .,sin )(n yxy求求設設 解解 xycos ) 2 sin( x ) 2 cos( xy) 22 sin( x) 2 2sin( x ) 2 2cos( xy ) 2 3sin( x ) 2 sin( )( nxy n ) 2 cos

22、()(cos )( nxx n 同理可得同理可得 高等數學高等數學 ( ) ( ) xt yt )( 2 2 dx dy dx d dx yd ( ) () ( ) dtdx dttdt )( 1 )( )()()()( 2 tt tttt . )( )()()()( 32 2 t tttt dx yd 即即 例例15 15 求函數求函數的二階導數的二階導數. 解解 高等數學高等數學 小結小結 1.注意注意);()( )()(xvxuxvxu . )( )( )( )( xv xu xv xu 2.復合函數的求導法則復合函數的求導法則 （注意函數的復合過程（注意函數的復合過程,合理分解正確使用鏈合理分解正確使用鏈 導法）導法）; 高等數學高等數學 3.已能求導的函數已能求導的函數:可分解成基本初等函數可分解成基本初等函數,或或 初等函數的求導公式和上述求導法則求出初等函數的求導公式和上述求導法則求出. 關鍵關鍵: 正確分解初等函數的復合結構正確分解初等函數的復合結構. 常數與基本初等函數的和、差、積、商常數與基本初等函數的和、差、積、商. 4.任何初等函數的導數都可以按常數和基本任何初等函數的導數都可以按常數和基本 高等數學高等數學 練習練習 ., 0 0 x y