1、4全等三角形的經典模型（二）滿分晉級階梯三角形9級全等三角形的經典模型（二）三角形10級勾股定理與逆定理三角形11級特殊三角形之直角三角形秋季班第三講秋季班第十一講秋季班第十二講漫畫釋義等等腰知識互聯網題型一：“手拉手”模型思路導航“手拉手”數學模型：fdeheaefodooaabcbcbc例題精講f【引例】如圖，等邊三角形abe與等邊三角形afc共點于a，連接bf、ce，求證：bf=ce并求出eob的度數.e【解析】abeafc是等邊三角形gaoae=ab，ac=af，eab=fac=60bceab+bac=fac+bac即eac=bafaecabfbf=ecaec=abf又age=bgob

2、oe=eab=60eob=60典題精練【例1】如圖，正方形bafe與正方形acgd共點于a，連接bd、cf，求證：bd=cf并求出doh的度數.【解析】同引例，先證明abdafcdbd=fc，bda=fcadho=chafohgdoh=cad=90eabc【例2】如圖，已知點c為線段ab上一點，acm、bcn是等邊三角形求證：an=bm.將acm繞點c按逆時針方向旋轉180，使點a落在cb上，請你對照原題圖在圖中畫出符合要求的圖形；在得到的圖形中，結論“an=bm”是否還成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；在所得的圖形中，設ma的延長線交bn于d，試判斷abd的形狀，并證明你的結論nn

3、mccab【分析】這是一個固定b；后運動變化的探索題，且在一定的條件下，探究原結論的存在性（不變性）需要畫圖分析、判斷、猜想、推理論證【解析】acm、bcn是等邊三角形ac=cm，bc=cnacm=bcn=60acn=mcb在acn和mcb中ncabmacn=mcbcn=cbac=mcacnmcb（sas）an=bm將acm繞點c旋轉如圖：在的情況，結論an=bm仍然成立證明：bcm=nca=60，ca=cm，cn=cbcancmb（sas），an=mb如圖，延長ma交bn于d，則abd為等邊三角形證明：cam=bad=abd=60abd是等邊三角形cndabm題型二：雙垂+角平分線模型典題精

4、練【例3】在abc中，bac=90，adbc于d，bf平分abc交ad于e，交ac于f.求證：ae=af.ab2e1345fdc【解析】bac=90，3+dac=90adbcadc=90c+dac=90c=34=3+1，5=c+2bf是abc的角平分線1=24=5ae=af【例4】如圖，已知abc中，acb=90，cdab于d，abc的角平分線be交cd于g，交ac于e，gfab交ac于f求證：af=cg【分析】要證af=cg，一般想到證明這兩條線段所在的三角形c全等，由圖形可知，不存在直接全等三角形，因此要想到添加輔助線構造全等三角形【解析】作ehab于hfe54g3211=2，acb=90

5、adbec=eh（角平分線定理）又cdab3=a4=3+1，5=a+2c54=5ce=cgcg=eh又gfab，ahe=fgc=90afe4ghd321ba=cfgcfgeah（aas）cf=ea，cf-ef=ea-ef，ce=afaf=cg題型三：半角模型典題精練【例5】已知：正方形abcd中，man=45，man繞點a順時針旋轉，它的兩邊分別交線段cb、dc于點m、n.求證bm+dn=mn.e【解析】延長nd到e使de=bm四邊形abcd是正方形ad=ab在ade和abmadnadnade=bad=abbmcbmcde=bmadeabmam=aebam=daeman=eanan=an的點，

6、且be+fd=ef.求證：eaf=bad.man=45bam+nad=45man=ean=45在amn和aen中ma=eaamnaenmn=ende+dn=bm+dn=mn【例6】如圖，在四邊形abcd中，b+d=180，ab=ad，e、f分別是線段bc、cd上12adahdfbec【解析】延長fd到h，使dh=be，易證abeadh，再證aefahf11eaf=fah=eah=bad22bfec【例7】在等邊三角形abc的兩邊ab、ac所在直線上分別有兩點m、n，d為三角形abc外一點，且mdn=60,bdc=120,bd=dc.探究：當m、n分別在直線ab、ac上移動時，bm、nc、mn之

7、間的數量關系aamnmnbcbcdd圖1圖2如圖1，當點m、n在邊ab、ac上，且dm=dn時，bm、nc、mn之間的數量關系是；如圖2，點m、n在邊ab、ac上，且當dmdn時，猜想問的結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明.【解析】如圖1，bm、nc、mn之間的數量關系bm+nc=mn猜想：結論仍然成立證明：如圖，延長ac至e，使ce=bm，連接deqbd=cd且bdc=120dbc=dcb=30oabc是等邊三角形，ambd=ncd=ecd=90在mbd與ecd中：mnmbd=ecdbd=cdbm=cebdcemdn=ednmbdecd(sas)dm=de,bdm=cdeedn=bdc-m

8、dn=60在mdn與edn中：dm=dedn=dnmdnedn(sas)mn=ne=nc+bm第04講精講：典型的旋轉全等構圖：“手拉手”全等模型探究；【探究一】“手拉手”模型基本構圖；如圖1，若dabc與dade旋轉全等，則必有dabd與dace為兩個頂角相等的等腰三角形（即相似的等腰三角形）；反之，如圖2，若有兩個頂角相等的等腰三角形dabd與dace共頂角頂點，則必有dabc與dade旋轉全等；而圖2正是“手拉手”模型的基本構圖；aaeebdbdcc圖1圖2【探究二】將探究一中的普通等腰三角形換成特殊的圖形，例如等邊三角形、等腰直角三角形、正方形，然后再探究結論如何變化；ddccgdcf

9、baebaebae圖3圖4圖5如圖3、圖4、圖5，當兩個等邊三角形、等腰直角三角形、正方形共頂點時，dabc與dade仍然旋轉全等，并且有兩個共同的結論；結論1：dabcdade；bc=de；結論2：bc與de所夾銳角等于兩個等腰三角形的頂角；（倒角方法如下圖6、圖7、圖8的八字模型）ddccgdcfbaebaebae圖6圖7圖8【探究三】將探究二中的特殊圖形旋轉后結論是否仍然成立；如下圖9、圖10、圖11易得探究二中的兩個結論仍然成立；ddgdfccceeebababa圖9圖10圖11【探究四】深化探究二中圖3的結論；如圖12，可得結論1：dabcdade；bc=de；結論2：bod=coe

10、=bad=cae=60；結論3：如圖12、圖13、圖14，可得三對三角形全等（dabcdade；dahddagb；dagcdahe）dddgochgochgochbaebaebae圖12圖13圖14結論4：如圖15，連接gh，可得dagh為等邊三角形；（由結論3可得ag=ah）ddgochmocnbaebae圖15圖16結論5：ghbe；（由結論4可得agh=bad=60）（結論6：連接ao，可得ao平分boe；如圖16，分別作ambc、ande，am與an分別是全等三角形dabc與dade對應邊bc和de上的高，故相等）e復習鞏固da題型一手拉手模型鞏固練習fs【練習1】如圖，daab，ea

11、ac，ad=ab，ae=ac，則下列正確m的是（）ba.abdaceb.adfaescc.bmfcmsd.adcabe【解析】d【練習2】如圖，正五邊形abdef與正五邊形acmhg共點于a，連接bg、cf，則線段bg、cf具有什么樣的數量關系并求出gnc的度數【解析】先證abgafc可得bg=cf，acf=agbfenghnpg=apcgnc=gac=108dapm題型二雙垂+角平分線模型鞏固練習【練習3】已知ad平分bac，deab，垂足為e，dfac,垂足為f，且db=dc，則eb與fc的關系（）a.相等b.ebfcd.以上都不對【解析】abcebdafc題型三半角模型鞏固練習【練習4】

12、如圖，abc是邊長為3的等邊三角形，bdc是等腰三角形，且bdc120以d為頂點作一個60角，使其兩邊分別交ab于點m，交ac于點n，連接mn，則aamn的周長為【解析】6mbncda【練習5】如圖，在四邊形abcd中，b+adc=180，ab=ad，e、f分別是邊bc、cd延長線上的點，且bfdceeaf=bad，求證：ef=be-fd12【解析】證明：在be上截取bg，使bg=df，連接agb+adc=180，adf+adc=180，ab=adfab=ad，abgadfbag=daf，ag=afbgcdfbag+ead=daf+ead=eaf=badgae=eafae=ae，aegaefe

13、g=efeg=be-bg，ef=be-fd12e思維拓展訓練(選講)訓練1.如圖，c為線段ab上一點，分別以ac、cb為邊在ab同側作等邊acd和等邊bce，ae交dc于g點，db交ce于h點，求證：ghabedghabc【分析】本題中，acd與bce是等邊三角形，因此ac=cd，bc=ce，acd=ecb=60，因為a、c、b在同一條直線上，故dce=60這樣可以得到acedcb，aec=dbc，故可以得到cegcbh，則gc=hc，cgh=chg=60，所以acg=cgh=60，故ghab【解析】acd和bce是等邊三角形（已知）ac=cd，bc=ce（等邊三角形的各邊都相等）在ace和d

14、cb中，ace=dcbce=cb在bch和ecg中，bc=cecbh=cegacd=bce=60（等邊三角形的每個角都等于60）acd+dce+bce=180dce=60，ace=dcb=120ac=dcacedcb（sas）aec=dbc（全等三角形的對應角相等）bch=ecg=60bchecg（asa）ch=cg（全等三角形的對應邊相等）cgh=chg（等邊對等角）gch+ghc+cgh=180（三角形內角和定理）ghc=cgh=60acg=cgh=60（等量代換）ghab（內錯角相等，兩直線平行）訓練2.條件：正方形abcd，m在cb延長線上，n在dc延長線上，man=45結論：mn=d

15、n-bm；ah=ab.adadqhhmbbmccnn【解析】在cd上取一點q，使dq=bm先證ambaqd可得am=aq再證amnaqnmn=nqdn-dq=dn-bm=nq=mnanhand，ah=ad=ab訓練3.如圖，在rtabc中，銳角acb的平分線交對邊于e，又交斜邊的高ad于o，過o引ofbc，交ab于f，請問ae與bf相等嗎？理由是什么？aaao5544ef3eof12cdbcc1122eo3fddggbb【解析】相等理由如下：如圖，過e作egbc于gec平分acb，1=2eac=90，adbc1+4=90，2+3=903=43=5，4=5ae=aoec平分acb，eaac，eg

16、bcea=eg，ao=eg，fobcafo=b，bda=foa=90beg=faoafoebg（aas）af=beaf-ef=be-efae=bf訓練4.如圖，abd為等腰直角三角形，man=45，求證：以bm、mn、dn為邊的三角形是直角三角形.【解析】過b作bd的垂線并取bq=nd，連接aq、qm先證aqband，aq=an再證aqmanmmn=qm以bm、mn、dn為邊的三角形是直角三角形.abmnd課后測測試1.如圖，等腰直角adb與等腰直角aec共點于a，連接be、cd，則線段be、cd具有什么樣的數量關系和位置關系【解析】先證明abeadcbe=cd，再類似例1倒角即可得到becd

17、edoabc測試2.如圖，abd為等腰直角三角形，man=45，求證：以bm、mn、dn為邊的三角形是直角三角形.【解析】過b作bd的垂線并取bq=nd，連接aq、qm先證aqband，aq=an再證aqmanmmn=qm以bm、mn、dn為邊的三角形是直角三角形.abmnd第十五種品格：創新學會變通，變則通“一天早上，一位貧困的牧師，為了轉移哭鬧不止的兒子的注意力，將一幅色彩繽紛的世界地圖，撕成許多細小的碎片，丟在地上，許諾說：小約翰，你如果能拼起這些碎片，我就給你二角五分錢。”牧師以為這件事會使約翰花費上午的大部分時間，但沒有十分鐘，小約翰便拼好了。牧師：“孩子，你怎么拼得這么快？”小約翰很輕松的答道：“在地圖的另一面是一個人的照片，我把這個人的照片拼在一起，然后