1、導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用目錄摘 要21、前 言32、導(dǎo)數(shù)和原函數(shù)的定義 43、經(jīng)濟(jì)學(xué)中各種邊際量和彈性的定義和數(shù)學(xué)推導(dǎo)54、由邊際函數(shù)求原函數(shù)125、導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用舉例 14總結(jié)與體會(huì) 20致 謝 詞 20參 考 文 獻(xiàn) 20導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用摘要：在經(jīng)濟(jì)學(xué)疑難問題的處理中，我們通常會(huì)涉及到運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和原函數(shù)的情況，比如經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析和需求價(jià)格彈性等概念就是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)而得出的。它的應(yīng)用大大地推動(dòng)了經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展，所以綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)理論知識(shí)分析和解決經(jīng)濟(jì)學(xué)中的疑難問題的是未來經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展方向。本篇文章主要根據(jù)上述的思想，利用導(dǎo)數(shù)和原函數(shù)的性質(zhì)解決經(jīng)濟(jì)學(xué)中的問題，并掌

2、握這種重要的數(shù)學(xué)思想，對以后學(xué)習(xí)和探究經(jīng)濟(jì)學(xué)中更深層的問題有很大的幫助。關(guān)鍵詞：函數(shù)；原函數(shù)； 邊際分析；需求價(jià)格彈性。abstract:in processing the problems of the economics , we usually involve the use of functions and their primitive functions , such as, the concepts of marginal economics analysis and price elasticity of demand. and their applications have

3、greatly promoted the development of economics, therefore, comprehensive knowledge of the use of mathematical theory to analyze and solve problems in economics is the future direction of development economics. according to the above-mentioned ideas, this article will solve some problems of economicsb

4、y the use of the properties of functions and the primitive functions. and master the important mathematical ideas, to learn and explore the future of economics in the more profound issues of great help .keywords : function; primitive function; marginal analysis; price elasticity of demand.1、前言19世紀(jì)70

5、年代邊際效用學(xué)派的出現(xiàn)被認(rèn)為是經(jīng)濟(jì)學(xué)中爆發(fā)了一場全面革命的標(biāo)志。這場革命被稱為邊際革命。這場革命使經(jīng)濟(jì)學(xué)從古典經(jīng)濟(jì)學(xué)強(qiáng)調(diào)的生產(chǎn)、供給和成本，轉(zhuǎn)向現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)關(guān)注的消費(fèi)、需求和效用。 邊際革命從19世紀(jì)70年代初開始持續(xù)到二十世紀(jì)初，相繼二、三十年，邊際效用學(xué)派的代表人物應(yīng)該是英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家杰文斯，洛桑學(xué)派的法國經(jīng)濟(jì)學(xué)家瓦爾拉和奧地利學(xué)派的門格爾。邊際革命包含著兩項(xiàng)重要內(nèi)容，即邊際效用價(jià)值論和邊際分析方法的廣泛運(yùn)用。 經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究進(jìn)入消費(fèi)領(lǐng)域是資本主義經(jīng)濟(jì)發(fā)展的需要。資本主義經(jīng)過了三、四百年的發(fā)展，競爭加劇，生產(chǎn)矛盾比較突出，而市場問題集中呈現(xiàn)在供求關(guān)系上，供求反映了人們的消費(fèi)和欲望，所以經(jīng)濟(jì)學(xué)的研

6、究不能不從人們的消費(fèi)和欲望出發(fā)。門格爾曾經(jīng)指出：“一切經(jīng)濟(jì)理論研究的出發(fā)點(diǎn)都是人類的欲望本性。沒有欲望，就沒有經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，就沒有社會(huì)經(jīng)濟(jì)和以它為基礎(chǔ)的科學(xué)。對欲望的研究是經(jīng)濟(jì)學(xué)的關(guān)鍵”。所以借助于邊際分析的方法來測量消費(fèi)者欲望的滿足程度，衡量物的效用從而決定價(jià)值，推動(dòng)著經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究。 邊際分析的方法實(shí)際上是一種數(shù)學(xué)分析方法，也就是運(yùn)用數(shù)學(xué)中的微積分去觀察經(jīng)濟(jì)問題。但是這一方法開始還不為更多的人所接受，甚至門格爾對在經(jīng)濟(jì)理論中使用數(shù)學(xué)的方法都表示懷疑。門格爾認(rèn)為經(jīng)濟(jì)學(xué)理論是一種理性的、邏輯的科學(xué)，不可能用數(shù)學(xué)方法去“精確”測定，只能用演繹法或歸納法。隨著時(shí)間的推移和經(jīng)濟(jì)研究的實(shí)踐，特別是經(jīng)濟(jì)資源“

7、稀缺性”的提出，使越來越多的人接受這一方法，運(yùn)用邊際分析的方法去觀察經(jīng)濟(jì)問題。“稀缺論”認(rèn)為，財(cái)富的增長，人類福利的增進(jìn)不是經(jīng)濟(jì)增長的自由展現(xiàn)，而是經(jīng)濟(jì)資源的最優(yōu)配置；不是一切增量投入都是可取的。在這種理論的影響下，在以后的經(jīng)濟(jì)研究中，經(jīng)濟(jì)學(xué)家提出了邊際生產(chǎn)力、邊際成本、邊際收益、邊際替代率、邊際消費(fèi)傾向等范疇，極大地豐富了經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的內(nèi)容。所以，邊際分析的廣泛使用是經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的重大變革。2、導(dǎo)數(shù)和原函數(shù)的定義2.1 導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)在有定義，在自變量的改變量，相應(yīng)函數(shù)的改變量是。若極限存在，稱函數(shù)在可導(dǎo)（或存在導(dǎo)數(shù)），此極限稱為函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)（或微商），表為或，即 或 若極限不存在，稱函數(shù)在不可導(dǎo)

8、。若極限 與 都存在，則分別稱為函數(shù)在右可導(dǎo)和左可導(dǎo)，其極限分別稱為函數(shù)在的右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)，分別表為，即= 與= =定理1 若函數(shù)可導(dǎo)，則函數(shù)連續(xù)。2.2 原函數(shù)：設(shè)函數(shù) 則稱函數(shù)的原函數(shù)，或簡稱定理2 若的一個(gè)原函數(shù)，則函數(shù)的無限多個(gè)原函數(shù)僅限于的形式。2.3不定積分：函數(shù)的所有的原函數(shù)稱為函數(shù)的不定積分，表為 其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，c稱為積分常數(shù)。3、經(jīng)濟(jì)學(xué)中各種邊際量和彈性的定義和數(shù)學(xué)推導(dǎo)3.1 邊際量正是數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中大量的運(yùn)用，進(jìn)而產(chǎn)生了邊際效用、邊際消費(fèi)傾向、邊際成本、需求價(jià)格彈性、供給價(jià)格彈性等。大大地推動(dòng)了經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展。邊際的概念植根于高等數(shù)學(xué)的一階導(dǎo)數(shù)和偏

9、導(dǎo)數(shù)的概念。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中根據(jù)不同的經(jīng)濟(jì)函數(shù)，我們可求不同的邊際。如邊際成本、邊際收入、邊際效用、邊際消費(fèi)、邊際儲(chǔ)蓄等。邊際分析實(shí)質(zhì)上是研究函數(shù)在邊際點(diǎn)上的極值，要研究因變量在某一點(diǎn)遞增、遞減變動(dòng)的規(guī)律，這種邊際點(diǎn)的函數(shù)值就是極大值或極小值，邊際點(diǎn)的自變量是作出判斷并加以取舍的最佳點(diǎn)，據(jù)此可以作出最優(yōu)決策，因此是研究最優(yōu)化規(guī)律的方法。3.1.1 邊際的定義 設(shè)函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù),則稱導(dǎo)數(shù)為的邊際函數(shù)。在點(diǎn)處的值為邊際函數(shù)值。即:當(dāng)時(shí),改變一個(gè)單位,改變了個(gè)單位。3.1.2邊際的含義 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際指的是因變量隨著自變量的變化而變化的程度，即自變量變化一個(gè)單位，因變量會(huì)因此而改變的量。其數(shù)學(xué)含義是指：如

10、果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),則在內(nèi)的平均變化率為;在處的瞬時(shí)變化率為.在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱它為在處的邊際函數(shù)值。 設(shè)在點(diǎn)處,從處改變一個(gè)單位時(shí)(研究經(jīng)濟(jì)問題時(shí),其自變量的變化一般是一個(gè)整數(shù)單位),函數(shù)的增量的準(zhǔn)確值為:.由微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用知道,的近似值為:(若, 標(biāo)志著由處減少一個(gè)單位). 這說明在處,當(dāng)改變一個(gè)單位時(shí),近似改變了個(gè)單位.在具體經(jīng)濟(jì)問題中解釋邊際函數(shù)值的具體意義時(shí),一般都省略“近似”二字.于是,有如下定義: 下面我們討論經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個(gè)邊際函數(shù)。(1) 邊際成本 總成本的導(dǎo)數(shù)稱為邊際成本.邊際成本的經(jīng)濟(jì)意義 對于產(chǎn)量只取整數(shù)單位的產(chǎn)品而言,一個(gè)單位的變化則是最小的變化.邊際成本應(yīng)表示:當(dāng)

11、已生產(chǎn)了個(gè)單位產(chǎn)品時(shí),再增加生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品使總成本增加的數(shù)量。說明 (1) 因?yàn)榭偝杀镜扔诠潭ǔ杀九c可變成本之和.則邊際成本為:.顯然,邊際成本與固定成本無關(guān),只與可變成本有關(guān),它反映了企業(yè)在短期生產(chǎn)中能直接控制的那部分成本。(2) 平均邊際成本 是平均成本的導(dǎo)數(shù)。即:(2) 邊際收益 總收益函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際收益。 邊際收益的經(jīng)濟(jì)意義: 邊際收益表示銷售個(gè)單位產(chǎn)品后,再銷售一個(gè)單位的產(chǎn)品所增加的總收益。 說明(1) 若已知商品的價(jià)格函數(shù),此時(shí)總收益函數(shù)為,則邊際收益為:.若價(jià)格函數(shù)=常數(shù),則,此時(shí)邊際收益=常數(shù)(即等于只銷售一個(gè)單位產(chǎn)品的收益商品的價(jià)格)。 (2) 平均邊際收益為: 即平均

12、邊際收益就是商品的邊際價(jià)格.(3) 邊際利潤 總利潤函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際利潤。邊際利潤的經(jīng)濟(jì)意義: 邊際利潤表示當(dāng)已生產(chǎn)了個(gè)單位產(chǎn)品時(shí),再增加生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的利潤數(shù)量。 說明 (1) 一般情況下,總利潤函數(shù)等于總收益函數(shù)與總成本函數(shù)之差,即,則邊際利潤:.也就是說邊際利潤等于邊際收益與邊際成本之差。且有: (2) 當(dāng)時(shí)的經(jīng)濟(jì)意義是:如果產(chǎn)量已達(dá)到,再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品,所增加的收益大于所增加的成本,因而總利潤有所增加。而當(dāng)時(shí)的經(jīng)濟(jì)意義是:此時(shí),再增加產(chǎn)量,所增加的收益小于所增加的生產(chǎn)成本,從而總利潤將減少。(4) 邊際需求 若是需求函數(shù),則需求量對價(jià)格的導(dǎo)數(shù)稱為邊際需求函數(shù)。 的反函數(shù)是

13、價(jià)格函數(shù).價(jià)格對需求量的導(dǎo)數(shù)稱為邊際價(jià)格函數(shù),它與邊際需求函數(shù)互為倒數(shù)。 邊際需求函數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義:當(dāng)產(chǎn)品的價(jià)格在的基礎(chǔ)上,上漲(或下降)一個(gè)單位時(shí),需求量將增加(或減少)個(gè)單位。3.2彈性 彈性概念在經(jīng)濟(jì)學(xué)中得到廣泛的應(yīng)用。一般說來，只要兩個(gè)經(jīng)濟(jì)變量之間存在著函數(shù)關(guān)系，我們就可用彈性來表示因變量對自變量變化的反應(yīng)的敏感程度。具體地說，它是這樣一個(gè)數(shù)字，它告訴我們，當(dāng)一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量發(fā)生1%的變動(dòng)時(shí)，由它引起的另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量變動(dòng)的百分比。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，彈性的一般公式為：彈性系數(shù)= 設(shè)兩個(gè)經(jīng)濟(jì)變量之間的函數(shù)關(guān)系為則彈性的一般公式還可以表示為： （）式中，為彈性系數(shù)；、分別為x、y的變動(dòng)量。該式表示：當(dāng)自

14、變量變化百分之一時(shí)，因變量y變化百分之幾。若經(jīng)濟(jì)變量的變化量趨于無窮小，即：當(dāng)（）式中的時(shí)，則彈性公式為： ()通常將（）式稱為弧彈性公式，將（）式稱為點(diǎn)彈性。3.2.1 彈性函數(shù) 對于一般的,如果是可導(dǎo)函數(shù),且,則有是的函數(shù),稱為的彈性函數(shù)(簡稱為彈性)。 說明 (1)彈性的意義:函數(shù)在點(diǎn)處的彈性反映了變化幅度對的變化幅度的大小的影響,也就是對變化反映的強(qiáng)烈程度(或靈敏度)。具體地, 表示在處,當(dāng)改變1%時(shí),近似地改變了%。在應(yīng)用問題中解釋彈性的具體意義時(shí),我們還是略去“近似”二字。 (2) 由彈性的定義=這樣，彈性在經(jīng)濟(jì)學(xué)上又可理解為邊際函數(shù)與平均函數(shù)之比。 (3) 我們在討論經(jīng)濟(jì)問題時(shí),

15、通常是比較其彈性的絕對值的大小,并且常常根據(jù)其絕對值的大小對彈性進(jìn)行如下分類: 當(dāng)時(shí),稱這個(gè)彈性為單位彈性； 當(dāng)時(shí),稱這個(gè)彈性為相當(dāng)有彈性； 當(dāng)時(shí),稱這個(gè)彈性為相當(dāng)無彈性。下面我們討論經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的幾個(gè)彈性函數(shù)：（1） 需求的價(jià)格彈性設(shè)某商品需求函數(shù)在處可導(dǎo)，則該商品在處的需求彈性為 例1 設(shè)某種商品的需求函數(shù)為,為價(jià)格,試求:(1)需求的價(jià)格彈性；(2) 討論當(dāng)價(jià)格為多少時(shí),彈性分別為單位彈性、相當(dāng)有彈性、相當(dāng)無彈性。 解 (1) 根據(jù)彈性的計(jì)算公式,有 (2) 令,解出,即當(dāng)價(jià)格時(shí)為單位彈性。說明此時(shí)需求量增加(或減少)的百分?jǐn)?shù)與價(jià)格下降(或上漲)的百分?jǐn)?shù)相等,即價(jià)格的相對少許變化不會(huì)引起

16、相對需求量的較大變化。 令,解出,即當(dāng)價(jià)格在25到50之間變化時(shí)為相當(dāng)有彈性的。說明在這個(gè)范圍內(nèi),若采取提價(jià)措施,相對需求量將大幅減少,從而減少收益；若采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，就會(huì)達(dá)到薄利多銷，從而會(huì)增加總收益。 令,解出,即當(dāng)價(jià)格在25以下時(shí)為相當(dāng)無彈性的。此時(shí),需求量減少的百分?jǐn)?shù)小于價(jià)格上漲的百分?jǐn)?shù),因而,若采取適當(dāng)?shù)奶醿r(jià)措施,雖然相對需求量會(huì)有所減少,但總收益反而會(huì)增加。（2） 供給的價(jià)格彈性設(shè)某商品供給函數(shù)在處可導(dǎo)，則該商品在處地供給彈性，為（3） 收益的價(jià)格彈性3.2.2需求彈性與總收益的關(guān)系 在市場經(jīng)濟(jì)中,企業(yè)最關(guān)心的是商品漲價(jià)或降價(jià)對總收益的影響程度.現(xiàn)在我們利用需求的價(jià)格彈性對其進(jìn)

17、行具體的分析。 設(shè)需求函數(shù)為,則總收益函數(shù)(市場銷售總額)為,故邊際總收益:這樣,由微分的應(yīng)用知,當(dāng)商品價(jià)格有微小變化(比較小)時(shí),商品銷售收益(市場銷售總額)的改變量為: 在現(xiàn)實(shí)生活中,絕大多數(shù)商品的需求函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)(價(jià)格上升時(shí)需求量減少,價(jià)格下降時(shí)需求量增加),因而有,從而需求的價(jià)格彈性,所以,上式又可寫作: 這樣,根根需求的價(jià)格彈性的大小,我們可作如下需求彈性對總收益的影響分析:(1) 當(dāng)商品的需求的價(jià)格彈性時(shí),商品漲價(jià),將使商品銷售的總收益減少; 商品降價(jià),將使商品銷售的總收益增加。(2) 當(dāng)商品的需求的價(jià)格彈性時(shí),商品漲價(jià),將使商品銷售的總收益增加;商品降價(jià),將使商品銷售的總收益

18、減少。(3) 當(dāng)商品的需求的價(jià)格彈性時(shí),商品價(jià)格的變動(dòng)對商品銷售總收益基本沒有影響。 例2 已知某集團(tuán)公司生產(chǎn)經(jīng)營的某品牌電器的需求彈性在之間,如果該公司計(jì)劃在下一年度內(nèi)將價(jià)格降低10%,問這種電器的銷售量的增長率將會(huì)增加多少? 總收益將會(huì)增長多少? 解: 由需求彈性知: ,從而有.再由和得因而,當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 即當(dāng)下一個(gè)年度內(nèi)將價(jià)格降低10%以后,該公司這種電器的銷量將會(huì)增長,總收益將會(huì)增加。3.2.3點(diǎn)彈性 定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),函數(shù)的相對改變量與自變量的相對改變量之比稱為函數(shù)從到兩點(diǎn)間的平均相對變化率,或稱為兩點(diǎn)間的彈性。當(dāng)時(shí), 的極限稱為函數(shù)在處的相對變化率,或稱為函數(shù)在處的點(diǎn)彈性。

19、記作, 或 即4、由邊際函數(shù)求原函數(shù)對于一個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù),它的邊際函數(shù)就是它的導(dǎo)數(shù),因此若已知某經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際,則可利用積分法求得原經(jīng)濟(jì)函數(shù)。4.1 用不定積分求原經(jīng)濟(jì)函數(shù)若已知某經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際,則由不定積分定義有.注意到不定積分的結(jié)果有一積分常數(shù),因此要求得經(jīng)濟(jì)函數(shù),還須由初始條件來確定積分常數(shù)。比如已知邊際成本函數(shù),則成本函數(shù),其中的積分常數(shù)可以由固定成本來確定；又若已知邊際收入函數(shù),則收入函數(shù),其中的積分常數(shù)則由來確定。4.2 用定積分求原經(jīng)濟(jì)函數(shù)若已知經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際和初始條件,那么也可以用定積分求原經(jīng)濟(jì)函數(shù)。這是因?yàn)橛膳ｎD萊布尼茲公式有，所以就有.比如成本函數(shù) ；收入函數(shù) 4.3 用定積分

20、求原經(jīng)濟(jì)函數(shù)的改變量若已知經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際,則可以利用定積分求得原經(jīng)濟(jì)函數(shù)從到的改變量,即;從而函數(shù)從到的平均改變量為.5、導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用舉例5.1 消費(fèi)者行為 我們對于消費(fèi)者行為的一個(gè)基本假設(shè)是消費(fèi)者總是在其負(fù)擔(dān)得起的商品組合中選擇最偏好的商品組合，也即是效用最大的商品組合。這里假設(shè)消費(fèi)集，表示消費(fèi)者的收入，是商品價(jià)格向量，消費(fèi)者的行為不能影響。集合被稱為消費(fèi)者的預(yù)算集。從而消費(fèi)者的問題變成如下的約束最優(yōu)化問題： 其中，為消費(fèi)者的效用函數(shù)。定理3：如果，那么是連續(xù)的，那么效用最大化問題有解。證明：如果，那么集合是有界閉集，從而是緊集，而是連續(xù)的，連續(xù)函數(shù)在緊集中總存在最大值。如果

21、偏好是局部不滿足的，那么最優(yōu)選擇一定滿足。不然，若，由局部不滿足性，總可以在的小鄰域內(nèi)找到，但，這和是最優(yōu)解矛盾。因此在局部不滿足假設(shè)下，效用最大化問題變成： 記為在給定價(jià)格和收入條件下的最優(yōu)需求，如果偏好是嚴(yán)格凸的，那么是唯一的，如果偏好不是嚴(yán)格凸的，那么可能是多值的，也即最優(yōu)解不只一個(gè)，此時(shí)是一個(gè)對應(yīng)。被稱為普通需求或瓦爾拉斯需求函數(shù)或?qū)?yīng)。如果效用函數(shù)是可微的，那么效用最大化問題可以利用拉格朗日乘數(shù)法求解，效用最大化問題的拉格朗日函數(shù)為：這里是拉格朗日乘子。 一階條件為： ， 為了解釋這個(gè)條件，我們將第個(gè)條件除以第個(gè)條件得到下式： ， 上式左邊被稱為商品和商品之間的邊際替代率，它反映了當(dāng)

22、保持效用不變時(shí)增加一個(gè)單位的第種商品需要減少多少單位的第種商品的消費(fèi)。這是由于當(dāng)時(shí)，是某個(gè)常數(shù)，對兩邊求微分，我們有 整理得 ： 而右邊被稱為經(jīng)濟(jì)替代率，它是商品和商品的價(jià)格之比。效用最大化選擇必須使得兩種替代率相等。 這樣我們就利用了導(dǎo)數(shù)輕易的得出了消費(fèi)者的最優(yōu)選擇。5.2 ac曲線、avc曲線和mc曲線之間的關(guān)系 ac曲線即平均成本曲線；avc曲線即平均可變成本曲線；mc曲線即邊際成本曲線；tc曲線即總成本曲線；tvc即總可變成本曲線。由短期成本曲線我們知道ac曲線、avc曲線和mc曲線之間的關(guān)系：u形的mc曲線分別與u形的ac曲線相交于ac曲線的最低點(diǎn)，與u形的avc曲線相交于avc曲線

23、的最低點(diǎn)。在ac曲線的下降段，mc曲線低于ac曲線；在ac曲線的上升段，mc曲線高于ac曲線。相類似地，在avc曲線的下降段，mc曲線低于avc曲線；在avc曲線的上升段，mc曲線高于avc曲線。下面我們用數(shù)學(xué)證明上面的關(guān)系：由于q0,所以，當(dāng)mcac時(shí)，ac曲線的斜率為正，ac曲線是上升的；當(dāng)mc=ac時(shí)，ac曲線的斜率為零，ac曲線達(dá)極值點(diǎn)（此為極小值點(diǎn)）。類似地，待添加的隱藏文字內(nèi)容2由于q0,所以，當(dāng)mcavc時(shí)，avc曲線的斜率為正，avc曲線是上升的；當(dāng)mc=avc時(shí)，avc曲線的斜率為零，avc曲線達(dá)極值點(diǎn)（此為極小值點(diǎn)）。5.3 利潤最大問題利潤函數(shù)是收益函數(shù)與成本函數(shù)之差,即

24、利潤函數(shù)為.若廠商以利潤最大為目標(biāo)來控制產(chǎn)量,這就是利潤最大問題。設(shè)總利潤在產(chǎn)量時(shí)達(dá)到最大,則由極值存在的必要條件,在處就有,.這即是 , () . () ()式表明,利潤最大時(shí),必有邊際收益等于邊際成本,在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,這稱為最大利潤原則.()式表明,利潤最大時(shí),還須邊際收益的變化率小于邊際成本的變化率。5.4質(zhì)量選擇 壟斷者不僅選擇產(chǎn)量水平，也選擇他們生產(chǎn)產(chǎn)品的其他方面，如考慮到產(chǎn)品質(zhì)量。讓我們假定產(chǎn)品數(shù)量以數(shù)級來表示，假定效用和成本依賴于質(zhì)量，假定取社會(huì)目標(biāo)函數(shù)為：（通常我們假定效用函數(shù)為擬線性的。）我們假定質(zhì)量是一種商品，故有。其生產(chǎn)耗費(fèi)大，故有。壟斷者最大利潤：該問題的一階條件為：讓我們

25、在點(diǎn)計(jì)算福利函數(shù)微分，我們有：用一階條件對上式進(jìn)行替代，我們發(fā)現(xiàn)： 式 告訴我們，將質(zhì)量固定，壟斷者相對于社會(huì)最優(yōu)水平將生產(chǎn)很少。式不會(huì)那么容易理解。由于為生產(chǎn)更多質(zhì)量的邊際成本，它必須為正。因而，福利關(guān)于質(zhì)量的導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)正數(shù)之間的差異，從表面上看，它并不清楚。 如果我們將社會(huì)目標(biāo)函數(shù)寫成消費(fèi)者剩余加利潤，而不是效用減成本，似乎更加容易看到答案。消費(fèi)者剩余+利潤現(xiàn)在，對此定義求關(guān)于和的微分，并在壟斷者最大化利潤的產(chǎn)量水平處對此進(jìn)行評價(jià)。由于壟斷者最大化利潤，壟斷利潤關(guān)于產(chǎn)量和質(zhì)量的導(dǎo)數(shù)必須等于零，表明了福利關(guān)于數(shù)量和質(zhì)量的導(dǎo)數(shù)精確地消費(fèi)者剩余關(guān)于數(shù)量和質(zhì)量的導(dǎo)數(shù)。消費(fèi)者剩余關(guān)于數(shù)量的導(dǎo)數(shù)總是為

26、正，這是壟斷者生產(chǎn)很少產(chǎn)量的另一種說法。消費(fèi)者剩余關(guān)于質(zhì)量的導(dǎo)數(shù)是模糊的可能為正，也可能為負(fù)。其符號(hào)依賴與的符號(hào)。另一種解釋式的方法是基于保留價(jià)格模型的考慮。將認(rèn)作計(jì)量消費(fèi)者消費(fèi)x的保留價(jià)格，故即為保留價(jià)格的總和。在此解釋中，為平均支付意愿，為邊際支付意愿，我們可以重寫式為：現(xiàn)在我們可以看到，福利關(guān)于數(shù)量變化的導(dǎo)數(shù)與平均支付意愿關(guān)于質(zhì)量變化的導(dǎo)數(shù)減去邊際支付意愿關(guān)于質(zhì)量變化的導(dǎo)數(shù)稱正比。社會(huì)福利依賴于消費(fèi)者效用或支付意愿的總和。但是，壟斷者只關(guān)心個(gè)人的邊際支付意愿。如果這兩個(gè)值不同，從社會(huì)角度看，壟斷者的質(zhì)量選擇將不是最優(yōu)的。5.5 廣告策略問題某出口公司每月銷售額是100萬美元,平均利潤是銷

27、售額的10%,根據(jù)公司以往的經(jīng)驗(yàn),廣告宣傳期間月銷售額的變化率近似服從如下增長曲線(以月為單位）。公司現(xiàn)在需要決定是否舉行一次類似的總成本為13萬美元的廣告活動(dòng),按慣例,對于超10萬美元的廣告活動(dòng),如果新增銷售額產(chǎn)生的實(shí)際利潤超過廣告投資的10%,則決定做廣告。試問,該公司按慣例是否應(yīng)該在當(dāng)年做此廣告？解 由題設(shè)知,所以在當(dāng)年做廣告期間,12個(gè)月的總銷售額為 (萬美元).由于公司利潤是銷售額的10%,若設(shè)新增銷售額產(chǎn)生的毛利潤為,則(萬美元)故公司做廣告產(chǎn)生的實(shí)際利潤為 (萬美元)這表明做廣告產(chǎn)生的利潤大于廣告成本的10%,即大于1.3(萬美元),因此公司應(yīng)該做此廣告。5.6 終身供應(yīng)問題 某

28、制造公司在生產(chǎn)了一批超音速運(yùn)輸機(jī)之后停產(chǎn)了,但該公司承諾將為客戶終身供應(yīng)一種適于該機(jī)型的特殊潤滑油。一年后該批運(yùn)輸機(jī)的用油率(單位：升/年)由下式給出：,其中表示運(yùn)輸機(jī)服役的年數(shù)。若該公司要一次性生產(chǎn)該批運(yùn)輸機(jī)一年以后所需的全部潤滑油并在需要時(shí)分發(fā)出去，問需要生產(chǎn)此潤滑油多少升？解 由于是一年后該批飛機(jī)的用油率,所以等于第一年到第年間該批飛機(jī)所用的潤滑油數(shù)量,從而積分理論上就等于該批飛機(jī)終身所需的潤滑油的數(shù)量。但.這表明公司生產(chǎn)600升潤滑油就可以保證該批飛機(jī)的終身供應(yīng)。5.7 政府稅收最大化 首先假設(shè)政府不存在掠奪性，將全部稅收收入用于公共服務(wù)，即。這種情況可以理解為政府的效用來自于控制更多的資源，或者說來自于稅收收入的外部性。于是政府的行為可以用稅收最大化表示。設(shè)政府效用函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，政府行為模型可以寫為 （5.7.1）其中：是貼現(xiàn)率。凈現(xiàn)值函數(shù)為 （5.7