1、學案46利用向量方法求空間角導學目標： 1.掌握各種空間角的定義，弄清它們各自的取值范圍.2.掌握異面直線所成的角，二面角的平面角，直線與平面所成的角的聯系和區別.3.體會求空間角中的轉化思想、數形結合思想，熟練掌握平移方法、射影方法等.4.靈活地運用各種方法求空間角自主梳理1兩條異面直線的夾角(1)定義：設a，b是兩條異面直線，在直線a上任取一點作直線ab，則a與a的夾角叫做a與b的夾角(2)范圍：兩異面直線夾角的取值范圍是_(3)向量求法：設直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為，則有cos _.2直線與平面的夾角(1)定義：直線和平面的夾角，是指直線與它在這個平面內的射影的夾角(2)范圍

2、：直線和平面夾角的取值范圍是_(3)向量求法：設直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為，a與u的夾角為，則有sin _或cos sin .3二面角(1)二面角的取值范圍是_(2)二面角的向量求法：若ab、cd分別是二面角l的兩個面內與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小就是向量與的夾角(如圖)設n1，n2分別是二面角l的兩個面，的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補角)的大小就是二面角的平面角的大小(如圖)自我檢測1已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為()a45 b135c45或135 d902若直線l1，l2的方向向量分別為

3、a(2,4，4)，b(6,9,6)，則()al1l2 bl1l2cl1與l2相交但不垂直 d以上均不正確3若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120，則直線l與平面所成的角等于()a120 b60c30 d以上均錯4(2011湛江月考)二面角的棱上有a、b兩點，直線ac、bd分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于ab.已知ab4，ac6，bd8，cd2，則該二面角的大小為()a150 b45 c60 d1205(2011鐵嶺模擬)已知直線ab、cd是異面直線，accd，bdcd，且ab2，cd1，則異面直線ab與cd夾角的大小為()a30 b45 c60 d75探究點一利用向量法求異

4、面直線所成的角例1已知直三棱柱abca1b1c1，acb90，cacbcc1，d為b1c1的中點，求異面直線bd和a1c所成角的余弦值變式遷移1如圖所示，在棱長為a的正方體abcda1b1c1d1中，求異面直線ba1和ac所成的角探究點二利用向量法求直線與平面所成的角例2(2011新鄉月考)如圖，已知兩個正方形abcd和dcef不在同一平面內，m，n分別為ab，df的中點若平面abcd平面dcef，求直線mn與平面dcef所成角的正弦值變式遷移2如圖所示，在幾何體abcde中，abc是等腰直角三角形，abc90，be和cd都垂直于平面abc，且beab2，cd1，點f是ae的中點求ab與平面b

5、df所成角的正弦值探究點三利用向量法求二面角例3如圖，abcd是直角梯形，bad90，sa平面abcd，sabcba1，ad，求面scd與面sba所成角的余弦值大小變式遷移3(2011滄州月考)如圖，在三棱錐sabc中，側面sab與側面sac均為等邊三角形，bac90，o為bc中點(1)證明：so平面abc；(2)求二面角ascb的余弦值探究點四向量法的綜合應用例4如圖所示，在三棱錐abcd中，側面abd、acd是全等的直角三角形，ad是公共的斜邊，且ad，bdcd1，另一個側面abc是正三角形(1)求證：adbc；(2)求二面角bacd的余弦值；(3)在線段ac上是否存在一點e，使ed與面b

6、cd成30角？若存在，確定點e的位置；若不存在，說明理由變式遷移4 (2011山東)在如圖所示的幾何體中，四邊形abcd為平行四邊形，acb90，ea平面abcd，efab，fgbc，egac，ab2ef.(1)若m是線段ad的中點，求證：gm平面abfe； (2)若acbc2ae，求二面角abfc的大小1求兩異面直線a、b的夾角，需求出它們的方向向量a，b的夾角，則cos |cosa，b|.2求直線l與平面所成的角.可先求出平面的法向量n與直線l的方向向量a的夾角則sin |cosn，a|.3求二面角l的大小，可先求出兩個平面的法向量n1，n2所成的角則n1，n2或n1，n2(滿分：75分)

7、一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2011成都月考)在正方體abcda1b1c1d1中，m是ab的中點，則sin，的值等于()a. b.c. d.2長方體abcda1b1c1d1中，abaa12，ad1，e為cc1的中點，則異面直線bc1與ae所成角的余弦值為()a. b. c. d.3已知正四棱錐sabcd的側棱長與底面邊長都相等，e是sb的中點，則ae、sd所成的角的余弦值為()a. b. c. d.4.如圖所示，在長方體abcda1b1c1d1中，已知b1c，c1d與上底面a1b1c1d1所成的角分別為60和45，則異面直線b1c和c1d所成的余弦值為()a. b.c. d.5(20

8、11蘭州月考)p是二面角ab棱上的一點，分別在、平面上引射線pm、pn，如果bpmbpn45，mpn60，那么二面角ab的大小為()a60 b70 c80 d90二、填空題(每小題4分，共12分)6(2011鄭州模擬)已知正四棱錐pabcd的棱長都相等，側棱pb、pd的中點分別為m、n，則截面amn與底面abcd所成的二面角的余弦值是_7如圖，pa平面abc，acb90且paacbca，則異面直線pb與ac所成角的正切值等于_8如圖，已知正三棱柱abca1b1c1的所有棱長都相等，d是a1c1的中點，則直線ad與平面b1dc所成角的正弦值為_三、解答題(共38分)9(12分)(2011煙臺模擬

9、)如圖所示，af、de分別是o、o1的直徑，ad與兩圓所在的平面均垂直，ad8.bc是o的直徑，abac6，oead.(1)求二面角badf的大小；(2)求直線bd與ef所成的角的余弦值10(12分)(2011大綱全國)如圖，四棱錐sabcd中，abcd，bccd，側面sab為等邊三角形，abbc2，cdsd1.(1)證明：sd平面sab；(2)求ab與平面sbc所成角的正弦值11(14分)(2011湖北)如圖，已知正三棱柱abca1b1c1各棱長都是4，e是bc的中點，動點f在側棱cc1上，且不與點c重合(1)當cf1時，求證：efa1c；(2)設二面角cafe的大小為，求tan 的最小值學

10、案46利用向量方法求空間角自主梳理1(2)(3)|cos |2(2)(3)|cos |3.(1)0，自我檢測1c2.b3.c4.c5.c課堂活動區例1解題導引(1)求異面直線所成的角，用向量法比較簡單，若用基向量法求解，則必須選好空間的一組基向量，若用坐標求解，則一定要將每個點的坐標寫正確(2)用異面直線方向向量求兩異面直線夾角時，應注意異面直線所成角的范圍是解如圖所示，以c為原點，直線ca、cb、cc1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系設cacbcc12，則a1(2,0,2)，c(0,0,0)，b(0,2,0)，d(0,1,2)，(0，1,2)，(2,0，2)，cos，.異面直線bd與

11、a1c所成角的余弦值為.變式遷移1解，()().abbc，bb1ab，bb1bc，0，0，0，a2，a2.又|cos，cos，.，120.異面直線ba1與ac所成的角為60.例2解題導引在用向量法求直線op與所成的角(o)時，一般有兩種途徑：一是直接求，其中op為斜線op在平面內的射影；二是通過求n，進而轉化求解，其中n為平面的法向量解設正方形abcd，dcef的邊長為2，以d為坐標原點，分別以射線dc，df，da為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標系如圖則m(1,0,2)，n(0,1,0)，可得(1,1，2)又(0,0,2)為平面dcef的法向量，可得cos，.所以mn與平面dcef所成角的

12、正弦值為|cos，|.變式遷移2解以點b為原點，ba、bc、be所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則b(0,0,0)，a(2,0,0)，c(0,2,0)，d(0,2,1)，e(0,0,2)，f(1,0,1)(0,2,1)，(1，2,0)設平面bdf的一個法向量為n(2，a，b)，n，n，即解得a1，b2.n(2,1，2)設ab與平面bdf所成的角為，則法向量n與的夾角為，cos，即sin ，故ab與平面bdf所成角的正弦值為.例3解題導引圖中面scd與面sba所成的二面角沒有明顯的公共棱，考慮到易于建系，從而借助平面的法向量來求解解建系如圖，則a(0,0,0)，d，c

13、(1,1,0)，b(0，1,0)，s(0,0,1)，(0,0,1)，(1,1，1)，(0,1,0)，.0，0.是面sab的法向量，設平面scd的法向量為n(x，y，z)，則有n0且n0.即令z1，則x2，y1.n(2，1,1)cosn，.故面scd與面sba所成的二面角的余弦值為.變式遷移3(1)證明由題設abacsbscsa.連接oa，abc為等腰直角三角形，所以oaobocsa，且aobc.又sbc為等腰三角形，故sobc，且sosa.從而oa2so2sa2，所以soa為直角三角形，soao.又aobco，所以so平面abc.(2)解以o為坐標原點，射線ob、oa、os分別為x軸、y軸、z

14、軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標系oxyz，如右圖設b(1,0,0)，則c(1,0,0)，a(0,1,0)，s(0,0,1)sc的中點m，(1,0，1)，0，0.故mosc，masc，等于二面角ascb的平面角cos，所以二面角ascb的余弦值為.例4解題導引立體幾何中開放性問題的解決方式往往是通過假設，借助空間向量建立方程，進行求解(1)證明作ah面bcd于h，連接bh、ch、dh，則四邊形bhcd是正方形，且ah1，將其補形為如圖所示正方體以d為原點，建立如圖所示空間直角坐標系則b(1,0,0)，c(0,1,0)，a(1,1,1)(1,1,0)，(1,1,1)，0，則bcad.(2)解設

15、平面abc的法向量為n1(x，y，z)，則由n1知：n1xy0，同理由n1知：n1xz0，可取n1(1,1，1)，同理，可求得平面acd的一個法向量為n2(1,0，1)由圖可以看出，二面角bacd即為n1，n2，cosn1，n2.即二面角bacd的余弦值為.(3)解設e(x，y，z)是線段ac上一點，則xz0，y1，平面bcd的一個法向量為n(0,0,1)，(x,1，x)，要使ed與平面bcd成30角，由圖可知與n的夾角為60，所以cos，ncos 60.則2x，解得x，則cex1.故線段ac上存在e點，且ce1時，ed與面bcd成30角變式遷移4 (1)證明方法一因為efab，fgbc，eg

16、ac，acb90，所以egf90，abcefg.由于ab2ef，因此bc2fg.連接af，由于fgbc，fgbc，在abcd中，m是線段ad的中點，則ambc，且ambc，因此fgam且fgam，所以四邊形afgm為平行四邊形，因此gmfa.又fa平面abfe，gm平面abfe，所以gm平面abfe.方法二因為efab，fgbc，egac，acb90，所以egf90，abcefg.由于ab2ef，所以bc2fg.取bc的中點n，連接gn，因此四邊形bngf為平行四邊形，所以gnfb.在abcd中，m是線段ad的中點，連接mn，則mnab.因為mngnn，所以平面gmn平面abfe.又gm平面g

17、mn，所以gm平面abfe.(2)解方法一因為acb90，所以cad90.又ea平面abcd，所以ac，ad，ae兩兩垂直分別以ac，ad，ae所在直線為x軸，y軸和z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設acbc2ae2，則由題意得a(0,0,0)，b(2，2,0)，c(2,0,0)，e(0,0,1)，所以(2，2,0)，(0,2,0)又efab，所以f(1，1,1)，(1,1,1)設平面bfc的法向量為m(x1，y1，z1)，則m0，m0，所以取z11，得x11，所以m(1,0,1)設平面向量abf的法向量為n(x2，y2，z2)，則n0，n0，所以取y21，得x21.則n(1,1,0)

18、所以cosm，n.因此二面角abfc的大小為60.方法二由題意知，平面abfe平面abcd.取ab的中點h，連接ch.因為acbc，所以chab，則ch平面abfe.過h向bf引垂線交bf于r，連接cr，則crbf，所以hrc為二面角abfc的平面角由題意，不妨設acbc2ae2，在直角梯形abfe中，連接fh，則fhab.又ab2，所以hfae1，bh，因此在rtbhf中，hr.由于chab，所以在rtchr中，tanhrc.因此二面角abfc的大小為60.課后練習區1b以d為原點，da、dc、dd1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，易知(1,1,1)，故cos，從

19、而sin，.2b建立空間直角坐標系如圖則a(1,0,0)，e(0,2,1)，b(1,2,0)，c1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以異面直線bc1與ae所成角的余弦值為.3c4.d5d不妨設pma，pnb，作meab于e，nfab于f，如圖：epmfpn45，pea，pfb，()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0，二面角ab的大小為90.6.解析如圖建立空間直角坐標系，設正四棱錐的棱長為，則pb，ob1，op1.b(1,0,0)，d(1,0,0)，a(0,1,0)，p(0,0,1)，m，n，設平面amn的法向量為n1(x，y，z)，由解得x0，

20、z2y，不妨令z2，則y1.n1(0,1,2)，平面abcd的法向量n2(0,0,1)，則cosn1，n2.7.解析，故()0aacos 45a2.又|a，|a.cos，sin，tan，.8.解析不妨設正三棱柱abca1b1c1的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系，則c(0,0,0)，a(，1,0)，b1(，1,2)，d.則，(，1,2)，設平面b1dc的法向量為n(x，y,1)，由解得n(，1,1)又，sin |cos，n|.9解(1)ad與兩圓所在的平面均垂直，adab，adaf，故baf是二面角badf的平面角(2分)依題意可知，abfc是正方形，baf45.即二面角badf的大小為

21、45.(5分)(2)以o為原點，cb、af、oe所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系(如圖所示)，則o(0,0,0)，a(0，3 ，0)，b(3 ，0,0)，d(0，3 ，8)，e(0,0,8)，f(0,3 ，0)，(7分)(3 ，3 ，8)，(0,3 ，8)cos，.(10分)設異面直線bd與ef所成角為，則cos |cos，|.即直線bd與ef所成的角的余弦值為.(12分)10.方法一(1)證明取ab中點e，連接de，則四邊形bcde為矩形，decb2，連接se，則seab，se.又sd1，故ed2se2sd2，所以dse為直角，即sdse.(3分)由abde，abse，desee，得ab平面sde，所以absd.由sd與兩條相交直線ab、se都垂直，所以sd平面sab.(6分)(2)解由ab平面sde知，平面abcd平面sde.作sfde，垂足為f，則sf平面abcd，sf.(8分)作fgbc，垂足為g，則fgdc1.連接sg，又bcfg，bcsf，sffgf，故bc平面sfg，平面sbc平面sfg.作fhsg，h為垂足，則fh平面sbc.fh，則f到平面sbc的距離為.由于edbc，所以ed平