1、通州區2019- 2020學年第一學期高三年級期末考試數學試卷第一部分（選擇題共40分）一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，只 有一項是符合題目要求的.1已知集合 A x2x1,B x1x3,則 AUB （）A. x 2 x 3B. x 1 x 1C. x 1 x 3D.x 2 x 1【答案】A【解析】【分析】根據并集運算法則求解即可.【詳解】由題：集合 A x 2 X 1 , B x 1 x 3 ,則 AU B x 2 x 3 .故選：A【點睛】此題考查根據描述法表示的集合，并求兩個集合的并集1 i2.在復平面內，復數（其中i是虛數單位）對應的點位于（

2、）iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】化簡復數，得出其在復平面內的點，即可判定位置【詳解】由題：復數1 i i1 1 i，i i1在復平面內對應的點為1,1 ，位于第一象限.故選：A【點睛】此題考查復數的基本運算和復數對應復平面內的點的辨析，關鍵在于準確計算，熟 練掌握幾何意義3.已知點A( 2, a)為拋物線y 4x圖象上一點，點F為拋物線的焦點，則AF等于()A. 4B. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】寫出焦點坐標，根據拋物線上點到焦點距離公式即可求解【詳解】由題：點 A(2,a)為拋物線y24x圖象上一點，點F為拋物線的焦點，所以F 1,0，

3、InIny ,所以D正確.【詳解】由題:y 0 ,根據反比例函數性質3?y ,tanX tany，所以B錯;若Xy0 ,根據指數函數性質（2）x（2）y所以C錯；若Xy0 ,根據對數函數性質In XIn y ,所以D正確故選：D【點睛】此題考查不等式的基本性質，結合不等關系和函數單調性進行判斷，也可考慮特值 法推翻命題.5.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐最長棱的長度為 （）止視團側視圖冊視圖A. 2、7B. 4 2C. 2.11D. 4、3【答案】C【解析】【分析】 根據三視圖還原幾何體，即可求解【詳解】根據三視圖還原幾何體如圖所示：其中AB AC , PC 平面ABC ,由圖可得：CP

4、 AC 4, AB 2,3 ,所以 BC 2、,7, AP 4、2 2：J，BP . PC2 BC2.44 2.11 4 2，所以最長的棱長2,11.故選：C【點睛】此題考查根據三視圖還原幾何體，計算幾何體中的棱長，關鍵在于正確認識三視圖，準確還原6甲？乙?丙?丁四名同學和一名老師站成一排合影留念若老師站在正中間，甲同學不與老師相鄰,乙同學與老師相鄰，則不同站法種數為（）A. 24B. 12C. 8D. 6【答案】C【解析】【分析】根據特殊元素優先考慮原則，先排乙，再排甲，結合左右對稱原則求解【詳解】由題：老師站中間，第一步：排乙，乙與老師相鄰，2種排法；第二步：排甲，此時甲有兩個位置可以站，

5、2種排法；第三步：排剩下兩位同學，2種排法，所以共8種.故選：C【點睛】此題考查計數原理，關鍵在于弄清計數方法，根據分步和分類計數原理解決實際問7對于向量a , b ,”是“0 ”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據向量的運算法則:rr raa b”不能推出“0”能夠推出rr rraa b”是“b0”的必要不充分條件rr raa barrrrrr【詳解】當b2a0時，滿足aabrrrrrrr若b0，則aba ,所以aab5所以“,不能推出故選：B【點睛】此題考查充分條件與必要條件的關系判斷，關鍵在于弄清向量間的關系，正確辨

6、析 即可2X 18關于函數f （x） X ax 1 e有以下三個判斷 函數恒有兩個零點且兩個零點之積為-1 ； 函數恒有兩個極值點且兩個極值點之積為-1 ； 若X2是函數的一個極值點，則函數極小值為-1.其中正確判斷的個數有（）A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個【答案】C【解析】【分析】函數的零點個數即 X2 ax 1 0的根的個數，利用判別式求解；對函數求導討論導函數的零點問題即可得極值關系【詳解】因為ex1 0 ,方程X2 ax 1 0， =a2 4 0，所以關于X的方程x2 ax 1 0一定有兩個實根，且兩根之積為 -1,所以f () (X ax 1)ex恒有兩個零點且兩個零點之

7、積為-1,即正確；f x x2 a 2 x a 1 ex 1 ， ex 1 0 ，對于 x2 a 2 x a 1 0，2 2 2a 24 a 1 a2 8 0 ,所以 x a 2 x a 1 0 恒有兩個不等實根, 且導函數在這兩個實根附近左右異號,兩根之積為 a 1,函數恒有兩個極值點且兩個極值點之積 為a 1 ,所以錯誤；若 x 2是函數的一個極值點 , f 2 4 2a 4 a 1 0,則 a 1,2x1f x x x 1 e ,2x1x1f x x x 2 e x 2 x 1 e ,x , 2 U 1, , f x 0, x 2,1 ,f x 0,所以函數的增區間為2 , 1, ,減區

8、間為 2,1 ,所以函數的極小值為11 ,所以正確故選：C【點睛】此題考查函數零點問題,利用導函數導論單調性和極值問題,綜合性比較強第二部分(非選擇題 共110分)二?填空題:本大題共 6小題,每小題 5分,共30分.a若m19.已知向量 a【答案】 5【解析】【分析】根據向量垂直,數量積為 0 列方程求解即可詳解】由題：a (a b),所以 a (a b)20，a a b 0所以 9 43 2m 0 ，解得： m 5.故答案為： 5【點睛】此題考查向量數量積的坐標運算，根據兩個向量垂直， 數量積為O建立方程計算求解10.在公差不為零的等差數列 an中，a=2,且a1,a3, a7依次成等比數

9、列,那么數列an的前n項和Sn等于.1 3【答案】n2n2 2【解析】【分析】根據a,a3,a7依次成等比數列，求出公差，即可求解.【詳解】在公差不為零的等差數列an中,a=2,設公差為d,d Ort2且a, a3, a7依次成等比數列，即2 2d 2 2 6d ，d2 d O，d 0,所以 d 1，n n 113所以數列an的前n項和Sn 2n1- n2- n.2 22故答案為：1 n23 n2 2【點睛】此題考查等差數列基本量的計算，根據等比中項的關系列出方程解出公差，根據公式進行數列求和.11.已知中心在原點的雙曲線的右焦點坐標為C-2, 0),且兩條漸近線互相垂直，則此雙曲線的標準方程

10、為.【答案】2 y21【解析】【分析】根據兩條漸近線互相垂直得出漸近線方程，即求出b的值，結合焦點坐標即可求解 .a2 2【詳解】由題雙曲線焦點在X軸，設雙曲線方程 篤每 1, a 0,b 0，a b 兩條漸近線互相垂直，即1 ,得a b，a a又因為右焦點坐標為 (2, 0),所以a2 b22，解得a b 1 ,所以雙曲線的標準方程為：X2 y2 1.故答案為：2 y21【點睛】此題考查根據漸近線的關系結合焦點坐標求雙曲線的基本量，進而得出雙曲線的標 準方程，考查通式通法和基本計算12在 ABC 中,a 3, b 2.6, B 2 A,則 COSB .1【答案】-3【解析】【分析】根據正弦定

11、理建立等量關系求解即可【詳解】在 ABC中,由正弦定理得：- SnE，a Sin A2 .6 sin 2A3 Sin A2、. 6 2sin AcosA C A2cos A3 Sin A所以cos A 32 6 1cosB cos2A 2cos A 121.931故答案為：-3【點睛】此題考查正弦定理的應用，結合三角恒等變換二倍角公式，求三角函數值，關鍵在 于準確掌握基本計算方法正確求解13.已知a,b,a m均為大于0的實數，給出下列五個論,余下的論斷:a b,a b,m 0,m 0,-m -.以其中的兩個論斷為條件a m a斷中選擇一個為結論，請你寫出一個正確的命題 .【答案】推出（答案不

12、唯一還可以推出等）【解析】【分析】 選擇兩個條件根據不等式性質推出第三個條件即可，答案不唯一【詳解】已知a,b,a m均為大于O的實數，選擇推出.a b ,m O ,b m b ab am ab bm am bm a b m則O,a m aa a ma a m a a mb m b所以a m a故答案為：推出【點睛】此題考查根據不等式的性質比較大小，在已知條件中選擇兩個條件推出第三個條件，屬于開放性試題，對思維能力要求比較高14.如圖，某城市中心花園的邊界是圓心為O,直徑為1千米的圓，花園一側有一條直線型公路 I,花園中間有一條公路 AB（AB是圓O的直徑）,規劃在公路I上選兩個點P,Q,并修

13、建兩段直線型 道路PB, QA.規劃要求：道路PB, QA不穿過花園.已知OC I , BD l（ C?D為垂足）,測得 OC=0.9, BD=1.2（單位:千米）.已知修建道路費用為 m元/千米.在規劃要求下，修建道路總費 用的最小值為元.【答案】2.1m【解析】【分析】根據幾何關系考慮道路不穿過花園，求解最小距離，即可得到最小費用尸D2C C【詳解】 L.Bi-*i* I J；* - 一 K如圖：過點 B作直線BP AB交I于P ,取BD與圓的交點 M，連接 MA, MB ,貝U MA MB , 過點A作直線AQ AB交I于Q ,過點A作直線AC I交I于C ,根據圖象關系可得，直線上，點

14、P左側的點與B連成線段不經過圓內部,點Q右側的點與A連成的線段不經過圓的內部，最短距離之和即 PB AC，3 根據幾何關系： PBD BAM QAC，Sin BAM -，5所以 GQS PBD GQS BAMGQS QAC45，所以BP1.5，BDAC2OC ,所以AC0.6，最小距離為2.1千米.修建道路總費用的最小值為2.1m元故答案為：2.1m【點睛】此題考查與圓相關的幾何性質，根據幾何性質解決實際問題，需要注意合理地將實 際問題抽象成純幾何問題求解 .三?解答題：本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程15.已知函數f(X)2cos(x )Sin X .(1)求

15、f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在區間0,才上的最大值和最小值【答案】(1)；(2)最小值0;最大值-32【解析】【分析】(1)對函數進行三角恒等變換得即可得最小正周期;2 整體考慮2X 3孑的取值范圍，求出最大值和最小值【詳解】解：1f (x) 2cos(x 3)SinX 2(空COSX品i in 2X)Sin X1Sin 2x23(1 cos2x) sin(2x )23(1) f(x)最小正周期T=；2(2)因為X0,所以 2x所以當23,即X當2x 3f(0)0 ；0時,f()取得最小值1 ,2所以f(x)在區間0,【點睛】此題考查利刃區間上的值域，關鍵在于利用公式準確16為了解某

16、地區初中交學生的體質健康數據，按總分評定等級為優秀，表2,即X過40 %的學校為先進校.各1 .512(X)取得最大值f上的最小值角恒等變換對的體質健康情子,及格,不求最小正周期,統計了該.良好及其以上的比例之和比例學校等級學校A學校B學校C學校D學校F學校G學校H學校E優秀8%3%2%9%1%22%2%3%良好37%50%23%30%45%46%37%35%及格22%30%33%26%22%17%23%38%不及格33%17%42%35%32%15%38%24%等級學生人數占該校學(1)從8所學校中隨機選出一所學校 ，求該校為先進校的概率;(2) 從8所學校中隨機選出兩所學校，記這兩所學校中

17、不及格比例低于30%勺學校個數為X,求X的分布列；(3) 設8所學校優秀比例的方差為 Si2,良好及其以下比例之和的方差為S22,比較Si2與S22的大小.(只寫出結果)1【答案】(1)； (2)見解析；(3) S2=S222【解析】【分析】(1) 統計出健康測試成績達到良好及其以上的學校個數，即可得到先進校的概率；(2) 根據表格可得：學生不及格率低于30%勺學校有學校B?F?H三所，所以X的取值為0, 1,2, 分別計算出概率即可得到分布列；(3) 考慮優秀的比例為隨機變量Y,則良好及以下的比例之和為Z=1-Y,根據方差關系可得兩個方差相等【詳解】解：(1)8所學校中有 ABEF四所學校學

18、生的體質健康測試成績達到良好及其以上的比例超過40% ,1所以從8所學校中隨機取出一所學校，該校為先進校的概率為 1 ；28所學校中，學生不及格率低于 30%勺學校有學校B?F?H三所，所以X的取值為0, 1, 2.P(X0)P(X1)P(X2)C525Cf14c；c315C8228C33Cf28所以隨機變量X的分布列為:X0125153P142828(3)設優秀的比例為隨機變量Y,則良好及以下的比例之和為Z=1-Y,所以：Si2=S22【點睛】此題考查簡單幾何概率模型求概率，求分布列，以及方差關系的辨析，關鍵在于熟練掌握分布列的求法和方差關系17如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為直

19、角梯形，AD/ BC, SAD1.(1)求證:AB 平面SAD;(2)求平面SCD與平面(3)點E, F分別為線段【答案】(1)見解析;【解析】分析】(1)通過證明ABSAB所成的EF的體積.BC, SB 上的/平面SCD)1D得線面垂直;SA, AB(2)匹；13面棱錐= DAB =90 , SA=3, SB=5, AB 4, BC 2, AD(2)結合第一問結論，建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，即可得二面角的余弦值;(3)根據面面平行關系得出點F的位置，即可得到體積所以AB SA.因為SAI AD【詳解】(1)證明A 3,AB 4,SB 5,又因為 DAB =90所以AB AD

20、,所以AB 平面(2)解：因為SAA, AB AD，建立如圖直角坐標系則 A(0,0, 0) B(O,4, O),所以有C(2,4,0), D(1, O, O), S( O, O, 3).平面SAB的法向量為 AD (1,O,O).設平面SDC的法向量為m (X) y, Z)r UiiV mCD O r Uiy m SD O即 X 4y Ox 3z Or11所以平面SDC的法向量為 m (1,)4 3r UUU所以CoSmgSD 12禍石(3)因為平面AEF/平面SCD,平面 AEF I平面 ABCD=AE,平面SCDI平面 ABCD=CD,所以AE PCD ,平面AEF I平面SBC=EF,

21、平面SCDI平面SBC=SC,所以FE Il SC由 AE P CD , AD/ BC得四邊形AEDC為平行四邊形所以E為BC中點.又 FE H SC,所以F為SB中點.3所以F到平面ABE的距離為一，2 ABE的面積為2,所以VB AEFVF ABE1【點睛】此題考查立體幾何中的線面垂直的證明和求二面角的大小，根據面面平行的性質確 定點的位置求錐體體積2 218.已知橢圓C:篤爲a b1 （a0)的長軸長為4,離心率為點P在橢圓C上.(1) 求橢圓C的標準方程；(2) 已知點M (4, 0),點N(0, n),若以PM為直徑的圓恰好經過線段PN的中點，求n的取值范圍2 2【答案】(I)-1

22、； ( 2)2.5 n 2.54 2【解析】【分析】(1) 根據長軸長和離心率求出標準方程；(2) 取PN的中點為Q,以PM為直徑的圓恰好經過線段PN的中點，所以 MQ丄NP,根據垂直關系建立等量關系，結合點P的坐標取值范圍，即可得解【詳解】解:(1)由橢圓的長軸長 2a=4,得a=2又離心率e C 遼，所以G Qa 2所以b22 2 a G 2.22所以橢圓C的方程為：H 1422 2法一：設點P(0, y。)，則況止14 2所以PN的中點Q（生，上）2 2UUUV XCVCn UuyMQ （寸 4,1）, NP （Xo，Vo n），因為以PM為直徑的圓恰好經過線段 PN的中點IUIiy U

23、ay所以MQ丄NP,則MQNP 0 ,即(x0 4)xo (y0 n)(yo n) 0, 2 22 2 2又因為,所以型8xo 2 n20,4 222所以 n2 冬 8xo 2,Xo 2,2,22函數 f(x0) x 8x0 2 ,x0 2,2的值域為12,20 2所以0 n220所以 2-、5 n 252 2法二：設點P(X0 , y。)，則旦旦1.42設PN的中點為Q因為以PM為直徑的圓恰好經過線段PN的中點所以MQ是線段PN的垂直平分線，所以MP MN即,(x0 4)2 y。216 n22所以 n28x0 2 ,22函數 f(x) d 8X0 2 ,x0 2,2的值域為12,202所以0

24、 n220,所以 2 .5 n 2,5【點睛】此題考查求橢圓的標準方程，根據垂直關系建立等量關系，結合橢圓上的點的坐標特征求出取值范圍19.已知函數 f (x) XSinX cosx.(1)求曲線y f (x)在點(0, f (0)處的切線方程;1(2)求函數g() f()丄2零點的個數.4【答案】(1) y 1； (2)零點的個數為2.【解析】【分析】(1) 求出導函數，得出f (O)0 ,f(0)1即可得到切線方程；1 2(2) 根據g() f() X為偶函數，只需討論在 X (0,)的零點個數，結合導函數分析4單調性即可討論【詳解】解：(1)因為f(X)XCOSX,所以f (0)0，又因

25、為f(0)1，所以曲線y f ()在點(0，f(0)處的切線方程為y 1 ；1 2因為g() f() X為偶函數,g(O)14所以要求g()在X R上零點個數，只需求g()在X (0,)上零點個數即可g () cos X (cosX), X 02 25令 g (X)0,得 X 2k -, X 2k - ，k N33所以g()在(0,)單調遞增，在(一,乞)單調遞減，在(,)單調遞增，3 3 333在(2k-,2k)單調遞減，在(2k-,2k-)單調遞增k N3333列表得:X0(0,)33(T，5F)-K3(3，3)73711(O，)33113g()0+0-0+0-0g()1/極大值極小值/極大值極小值由上表可以看出g(x)在X 2k -(kN )處取得極大值,在X 2k5 ( k N)處取得極小值,g(S)-g(5T)16 25.3636120；25 2360.當k N*且k3 1時31g(2k-) (2k-)33 22-(2k43)2-(2k41(或 g(x) X 1 1X2, g(2k4-)(2k3E)11 -(2k4所以g(x)在X (0,)上只有-個零點1函數g(x) f (x)X2(X R)零點的個數為2.2S) O)【點睛】此題考查求函數在某點處的切線方程，求函數零點的個數，根據奇偶性分類討論,結合單調