1、第十三章第十三章 軸對稱軸對稱 人民教育出版社義務教育教科書八年級數學（上冊）人民教育出版社義務教育教科書八年級數學（上冊） 如圖所示，從如圖所示，從A A地到地到B B地有三條路地有三條路 可供選擇，選走哪條路最近？你可供選擇，選走哪條路最近？你 的理由是什么？的理由是什么？ 兩點之間兩點之間,線段最短線段最短 F E D C B A 在灌溉時，要把河中的水引到在灌溉時，要把河中的水引到 農田農田P處，如何挖渠能使渠道處，如何挖渠能使渠道 最短？最短？你的理由是什么？你的理由是什么？ 垂線段最短垂線段最短 “ “兩點的所有連線中，線段最短兩點的所有連線中，線段最短”、 “連接直線外一點與直線

2、上各點的所有連接直線外一點與直線上各點的所有 線段中，垂線段最短線段中，垂線段最短”等的問題，我們等的問題，我們 稱它們為最短路徑問題現實生活中經稱它們為最短路徑問題現實生活中經 常涉及到選擇最短路徑的問題，常涉及到選擇最短路徑的問題，本節將本節將 利用數學知識利用數學知識繼續繼續探究數學中探究數學中的最短路的最短路 徑問題徑問題 已知：如圖，已知：如圖，A A，B B在直線在直線L L的兩側，在的兩側，在L L 上求一點上求一點P P，使得，使得PA+PBPA+PB最小。最小。 P 連接連接AB,線段線段AB與直線與直線L的交點的交點P ，就是所求。，就是所求。 思考？思考？ 為什么這樣做就

3、能得到最短距為什么這樣做就能得到最短距 離呢？離呢？ 根據：根據：兩點之間線段最短兩點之間線段最短. P 如圖，要在燃氣管道如圖，要在燃氣管道L L上修建一個泵站，分別向上修建一個泵站，分別向A A、 B B兩鎮供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所兩鎮供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所 用的輸氣管線最短？用的輸氣管線最短？ P 所以泵站建在點所以泵站建在點P P可使輸氣管線最短可使輸氣管線最短 應用 A B l B/ P 點點P P的位置即為所求的位置即為所求. . M 作法：作法： 作點作點B B關于直線關于直線l l的對稱點的對稱點B B/ /. . 連接連接ABAB/ /, ,交直線交

4、直線l l于點于點P.P. 已知：如圖已知：如圖,A,A、B B在直線在直線L L的同一側，在的同一側，在L L上上 求一點，使得求一點，使得PA+PBPA+PB最小最小. . 為什么這樣做就能得為什么這樣做就能得 到最短距離呢？到最短距離呢？ MA + MBPA+PB 即即MA + MBPA+PB 三角形任意兩邊之和大于第三邊三角形任意兩邊之和大于第三邊 問題：如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，問題：如圖所示，要在街道旁修建一個奶站， 向居民區向居民區A A、B B提供牛奶，奶站應建在什么地方，提供牛奶，奶站應建在什么地方， 才能使從才能使從A A、B B到它的距離之和最短到它的距離之和最短

5、 練習練習 請你自己動手 試一試！ 只有A 、C、B在一直線上時，才能使 AC+BC最小作點A關于直線“街道”的 對稱點A，然后連接AB，交“街道”于點 C，則點C就是所求的點 D 已知：如圖已知：如圖A是銳角是銳角MON內部任意一點，內部任意一點， 在在MON的兩邊的兩邊OM，ON上各取一點上各取一點B， C，組成三角形，使三角形周長最小，組成三角形，使三角形周長最小. B C D E 分析：分析：當當ABAB、BCBC和和ACAC三條邊的長度恰好能夠體現在三條邊的長度恰好能夠體現在 一條直線上時，三角形的周長最小一條直線上時，三角形的周長最小 已知：如圖已知：如圖A是銳角是銳角MON內部任

6、意一點，內部任意一點， 在在MON的兩邊的兩邊OM，ON上各取一點上各取一點B， C，組成三角形，使三角形周長最小，組成三角形，使三角形周長最小. 1.分別作點分別作點A關于關于OM，ON的對的對 稱點稱點A，A； 2.連接連接A，A，分別交，分別交OM，ON 于點于點B、點、點C; 3.則點則點B、點、點C即為所求即為所求 如圖，A.B兩地在一 條河的兩岸，現要在 河上建一座橋MN， 橋造在何處才能使從 A到B的路徑AMNB最 短？（假設河的兩岸 是平行的直線，橋要 與河垂直） A B 作法：作法：1.1.將點將點B B沿垂直與河岸的方向平移一個沿垂直與河岸的方向平移一個 河寬到河寬到E E

7、， 2.2.連接連接AEAE交河對岸與點交河對岸與點M,M, 則點則點M M為建橋的位置，為建橋的位置，MNMN為所建的橋為所建的橋。 所以橋的位置建在所以橋的位置建在MNMN處，處，ABAB兩地的路程最短兩地的路程最短 A B M N E C D 某班舉行晚會，桌子擺成兩直條某班舉行晚會，桌子擺成兩直條( (如圖中的如圖中的AOAO， BO)BO)，AOAO桌面上擺滿了桔子，桌面上擺滿了桔子，OBOB桌面上擺滿了糖桌面上擺滿了糖 果，坐在果，坐在C C處的學生小明先拿桔子再拿糖果，然處的學生小明先拿桔子再拿糖果，然 后回到座位，請你幫助他設計一條行走路線，后回到座位，請你幫助他設計一條行走路

8、線， 使其所走的總路程最短？使其所走的總路程最短？ 作法：作法：1.作點作點C關于直線關于直線 OA 的的 對稱點點對稱點點D, 2. 作點作點C關于直線關于直線 OB 的對稱點點的對稱點點E, 3.連接連接DE分別交直線分別交直線OA.OB于點M.N， 則CM+MN+CN最短 A O B C 4. 如圖：如圖：C為馬廄，為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要為帳篷，牧馬人某一天要 從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到 河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一 天的最短路線。天的最短路線。 作法：作法：1.作點作點C

9、關于直線關于直線 OA 的的 對稱點點對稱點點F, 2. 作點作點D關于直線關于直線 OB 的對稱點點的對稱點點E, 3.連接連接EF分別交直線分別交直線OA.OB于點G.H， 則CG+GH+DH最短 F A O B D C E G H A B A/ B/ P Q 最短路線：最短路線：A P Q BA P Q B l M N 鞏固反饋：鞏固反饋： 1、如圖，張莊、如圖，張莊A、李莊、李莊B位于河沿的同側，現要在位于河沿的同側，現要在 河沿河沿g上修一提灌站上修一提灌站C向張莊向張莊A、李莊、李莊B提水。當提提水。當提 灌站修在河沿灌站修在河沿g的的C處時，所用水管最短，為處時，所用水管最短，為

10、3千米。千米。 已知已知BC的長為的長為2千米，你能在圖中找出張莊千米，你能在圖中找出張莊A的位的位 置嗎？置嗎？ g . 提灌站提灌站C 李莊李莊B 2、如圖，小河邊有兩個村莊、如圖，小河邊有兩個村莊A,B,要在河邊建一自要在河邊建一自 來水廠向村莊來水廠向村莊A與村莊與村莊B供水。供水。 (1)若要使廠部到若要使廠部到A,B村莊的距離相等，則應選擇在村莊的距離相等，則應選擇在 哪建廠？哪建廠？ （2）若要使廠部到）若要使廠部到A,B村的水管最省料，應建在什村的水管最省料，應建在什 么地方？么地方？ A村村 B村村 3、如圖，兩條公路、如圖，兩條公路OA、OB相交，在兩條公路的相交，在兩條公路的 中間有一個油庫，設為點中間有一個油庫，設為點P。如在兩