1、求軌跡方程的常用方法 求軌跡方程的常用方法 （一）求軌跡方程的一般方法: 1. 定義法：如果動點 P的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、 拋物線）的定義，貝V可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到 軌跡方程。 2. 直譯法：如果動點 P的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷， 但點P滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用 點P的坐標(biāo)（x, y）表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。 3. 參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動點P運動的某個 幾何量t，以此量作為參變數(shù)，分別建立 P點坐標(biāo)x,

2、y與該參數(shù)t的函數(shù)關(guān)系x = f （t）, y = g （t），進而通過消參化為軌跡的普通方程F （x, y）= 0。 4. 代入法（相關(guān)點法）：如果動點 P的運動是由另外某一點 P的運動引發(fā)的，而該 點的運動規(guī)律已知，（該點坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出P （x, y），用（x, y）表示出相關(guān)點P的坐標(biāo)，然后把P的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點P的軌跡 方程。5 :交軌法：在求動點軌跡時，有時會出現(xiàn)要求兩動曲線交點的軌跡問題，這種問 題通常通過解方程組得出交點（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能 直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程），該法經(jīng)常與參數(shù)

3、法并用。 一：用定義法求軌跡方程 例1:已知汕的頂點A, B的坐標(biāo)分別為（-4 , 0）,（ 4, 0） , C為動點，且滿 足 sinB sinA 54 sinC, 求點C的軌跡。 【變式】：已知圓 的圓心為 M1,圓的圓心為 M2 動圓與 這兩個圓外切，求動圓圓心 P的軌跡方程。 二：用直譯法求軌跡方程 此類問題重在尋找數(shù)量關(guān)系。 例2: 條線段兩個端點 A和B分別在x軸和y軸上滑動，且BM=a AM=b求AB中 點M的軌跡方程？ 【變式】：動點P (x,y )到兩定點A (-3, 0)和B (3, 0)的距離的比等于2 (即 求動點P的軌跡方程？ 三：用參數(shù)法求軌跡方程 |PA|PB|

4、，2) 此類方法主要在于設(shè)置合適的參數(shù)，求出參數(shù)方程，最后消參，化為普通方程。注意 參數(shù)的取值范圍。 例3 過點P ( 2, 4)作兩條互相垂直的直線 11 ,12，若11交x軸于A點，12交y 軸于B點， 求線段AB的中點M的軌跡方程。 四：用代入法求軌跡方程 例4點B是橢圓軌跡方程。 【變式】如圖所示，已知 P(4 , 0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且 滿足/ APB=90，求矩形 APBQ的頂點Q xa 22 yb 22 上的動點，A(2a, 0)為定點，求線段 AB的中點M的 五、用交軌法求軌跡方程例5.已知橢圓 xa 22 yb 1 ( a b o)的兩個頂點

5、為 汨九.竝夙0)，與y軸平行的直 # 線交橢圓于P1、P2,求A1P1與A2P2交點M的軌跡方程. 六、用點差法求軌跡方程例6.已知橢圓 x 2 2 ；1, 2 （1）求過點F 且被p平分的弦所在直線的方程； 22 11 （2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程； （3）過j 2, 1引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程； 練習(xí) 1. 在咄t?中，B, C坐標(biāo)分別為（-3，0），（ 3，0），且三角形周長為16,則點A 的軌跡方程是. 2. 兩條直線工導(dǎo)1與啦y 1的交點的軌跡方程是.3.已知圓的方程為 （x-1）+y=1,過原點0作圓的弦0A，則弦的中點M的軌跡方程是4.當(dāng)參數(shù)m隨意變化

6、時， 則拋物線y x22皿1葢皿2 1的頂點的軌跡方程為 。5:點M到點F（4，0） 的距離比它到直線$ 5 （1的距離小1,則點M的軌跡方程為 。6:求與兩定點 0 1, 、距離的比為1： 2的點的軌跡方程為 7.拋物線 的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）與拋物線交于A、B兩點，動點C在拋物線 上，求 ABC重心P的軌跡方程。 8. 已知動點P到定點F（ 1, 0）和直線x=3的距離之和等于4,求點P的軌跡方程。 9. 過原點作直線I和拋物線F x Lx h交于A B兩點，求線段AB的中點M的軌跡 方程。 2 22 高二（上）求軌跡方程的常用方法答案 例1:已知訶的頂點A, B的坐標(biāo)分別為（

7、-4 , 0）,（ 4, 0） , C為動點，且滿 足 sinB si nA 54 sinC, 求點C的軌跡。 54 22 【解析】由“咄s:nA xa sinC,可知 b ;-j 54 c 10，即丨們丨反 io,滿足橢 圓的定義。令橢圓方程為 yb 22 1，則凡I h ；2,則軌跡方程為 III x 2 25 y 2 9 。1 （葢 ，圖形為橢圓（不含左，右頂點） 【點評】熟悉一些基本曲線的定義是用定義法求曲線方程的關(guān)鍵。（1）圓：到定 點的距離等于定長 （2）橢圓：至炳定點的距離之和為常數(shù)（大于兩定點的距離） （3） 雙曲線：到兩定點距離之差的絕對值為常數(shù)（小于兩定點的距離）（4）到

8、定點與定直線距離相等。 【變式1】：1:已知圓的圓心為 M1,圓圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。 解：設(shè)動圓的半徑為 R,由兩圓外切的條件可得： 0 動圓圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點的雙曲線的右支，c=4, a=2, b2=12。 的圓心為M2 動 0 故所求軌跡方程為 2 2 2 2 2: 一動圓與圓0:下 1外切，而與圓C: X y 粗；8【!內(nèi)切，那么動圓的圓心 M 的軌跡是： A :拋物線B:圓C :橢圓D :雙曲線一支 【解答】令動圓半徑為 R則有 二：用 直譯法求曲線軌跡方程 此類問題重在尋找數(shù)量關(guān)系。 例2: 一條線段AB的長等于2a,兩個端點A和B分別在x軸和y軸

9、上滑動，求AB中 點P的軌跡方程？ 解 設(shè)M點的坐標(biāo)為（x,y）由平幾的中線定理：在直角三角形AOB中, 0M= 12AB # Mil R 1|M：| R I ，則|M0|-|MC|=2，滿足雙曲線定義。故選 Do X v 22 y 22 2 a M點的軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓周.【點評】此題中找到了 OM= 12 AB這一等量關(guān)系是此題成功的關(guān)鍵所在。一般直譯法有下 列幾種情況： 1 ）代入題設(shè)中的已知等量關(guān)系：若動點的規(guī)律由題設(shè)中的已知等量關(guān)系明顯給出， 則采用直接將數(shù)量關(guān)系代數(shù)化的方法求其軌跡。 2 ）列出符合題設(shè)條件的等式：有時題中無坐標(biāo)系，需選定適當(dāng)位置的坐標(biāo)系，再根 據(jù)題設(shè)條

10、件列出等式，得出其軌跡方程。 3 ）運用有關(guān)公式：有時要運用符合題設(shè)的有關(guān)公式，使其公式中含有動點坐標(biāo)，并 作相應(yīng)的恒等變換即得其軌跡方程。 4 ）借助平幾中的有關(guān)定理和性質(zhì)：有時動點規(guī)律的數(shù)量關(guān)系不明顯，這時可借助平 面幾何中的有關(guān)定理、性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質(zhì)等等，從而 分析出其數(shù)量的關(guān)系，這種借助幾何定理的方法是求動點軌跡的重要方法 【變式2】：動點P（x,y ）到兩定點A （-3, 0）和B （3, 0）的距離的比等于2 （即 求動點P的軌跡方程？ 【解答】T卩A -氐 *亡瑪閉 |PA|PB| （x 3） y 2 |PA|PB| ,2) 2 2 2 代入 2得

11、 (Xv(x ) y 2 222 2 x 3) y 2 -lx :J) -ly 化簡得(x 5) 2+y2=16,軌跡是以(5, 0)為圓心，4為半徑的圓. 三：用參數(shù)法求曲線軌跡方程 此類方法主要在于設(shè)置合適的參數(shù)，求出參數(shù)方程，最后消參，化為普通方程。注意 參數(shù)的取值范圍。 例3 過點P ( 2, 4)作兩條互相垂直的直線11 , 12，若11交x軸于A點，12交y 軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程。 【解析】 分析1 :從運動的角度觀察發(fā)現(xiàn)，點M的運動是由直線11引發(fā)的，可設(shè)出11的斜率 k作為參數(shù)，建立動點 M坐標(biāo)(x, y)滿足的參數(shù)方程。 解法1:設(shè)M( x, y)，設(shè)直線1

12、1的方程為y 4= k (x 2) ,( k工0) 由112,則直線12的方程為F 4H與x軸交點A的坐標(biāo)為電 W與y 軸交點B的坐標(biāo)為(0,1 :飛為AB的中點， 4k2k 1k (x 2) ,0), ), 4 2 2k 1 x 2k (k為參數(shù)) 2 4 1 k y 2 2k 消去 k，得 x+ 2y 5= 0。 另外，當(dāng)k= 0時，AB中點為M( 1, 2),滿足上述軌跡方程；當(dāng)k不存在時，AB中 點為M( 1，2)，也滿足上述軌跡方程。綜上所述，M的軌跡方程為x+ 2y 5= 0。 分析2:解法1中在利用k1k2 = 1時，需注意k1、k2是否存在，故而分情形討論， 能否避開討論呢？只

13、需利用厶PAB為直角三角形的幾何特性： 12|AB| 解法 2:設(shè) M(x, y)，連結(jié) MP 則 A (2x, 0) , B (0, 2y) , v 11 丄 12，二 PAB 為直角三角形由直角三角形的性質(zhì) (x 2j (y -1) 2 ，啊 12 |AB| 2 2 (2x)(2y) 化簡，得x+ 2y 5= 0,此即M的軌跡方程。 分析3:設(shè)M(x, y)，由已知11丄12，聯(lián)想到兩直線垂直的充要條件：k1k2 = 1, 即可列出軌跡方程，關(guān)鍵是如何用M點坐標(biāo)表示A、B兩點坐標(biāo)。事實上，由 M為AB的中 點，易找出它們的坐標(biāo)之間的聯(lián)系。 解法 3:設(shè) M(x, y) ,vm 為 AB中點

14、，二 A ( 2x, 0), B (0, 2y)。又 11 , 12 過 點 P (2, 4),且 11 丄 12 PAL PB 從而 kPA kPB= 1, 而 klJA 4 4 02 2x -1 2y20 ,k PB x 2y b 0 4 2y 1,化簡，得 2 2x2 注意到11 Lx軸時，12丄y軸，此時A (2, 0), B (0, 4) 中點M( 1, 2)，經(jīng)檢驗，它也滿足方程 x + 2y 5 = 0綜上可知，點M的軌跡方程為 x + 2y 5 = 0?！军c評】 1 )解法1用了參數(shù)法，消參時應(yīng)注意取值范圍。解法2, 3為直譯法，運用了 kPA- kPB= -1, riH 12

15、 |AB|這些等量關(guān)系。 用參數(shù)法求解時，一般參數(shù)可選用具有某種物理或幾何意義的量，如時間，速度，距 離，角 度，有向線段的數(shù)量，直線的斜率，點的橫，縱坐標(biāo)等。也可以沒有具體的意義，選 定參變量還要特別注意它的取值范圍對動點坐標(biāo)取值范圍的影響【變式3】過圓O: x2 +y2= 4外一點A(4，0)，作圓的割線，求割線被圓截得的弦BC的中點M的軌跡。 解法一：“幾何法” 設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y ),因為點M是弦BC的中點，所以O(shè)ML BC, 2 2 2 2 22 2 所以 |OM | + | MA | = | OA | , 即(x+y)+(x-4 )+y=16 化簡得：(x - 2) 2+ y2

16、 =4 由方程 與方程x +y= 4得兩圓的交點的橫坐標(biāo)為 1,所以點M的軌跡方程為 (x -2) 2+ y2 =4 (0XV 1)。所以M的軌跡是以(2, 0)為圓心，2為半徑的圓在圓 O 內(nèi)的部分。 解法二：“參數(shù)法” 設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y ) , B (x1,y1 ) ,C (x2,y2 )直線AB的方程為y=k(x - 4),由直 線與圓的方程得(1+k) x - 8kx +16k -4=0(*),由點M為BC的中點，所以 x= yx 2 2 2 2 2 xl x2 4k 22 1 k ,又OML BC所以 k=（2）由方程（1）（ 2） 13 消去k得（x 2） 2+ y2 =4,

17、又由方程（* ）的厶。得k2 2 2 ,所以xv 1. 所以點M的軌跡方程為（x 2） + y =4 （0 xv 1）所以M的軌跡是以（2, 0）為圓 心，2為半徑的圓在圓0內(nèi)的部分。 四：用代入法等其它方法求軌跡方程例4.點B是橢圓軌跡方程。 分析：題中涉及了三個點 A、B、M其中A為定點，而 B M為動點，且點B的運動是 有規(guī)律的，顯然 M的運動是由B的運動而引發(fā)的，可見 M B為相關(guān)點，故采用相關(guān)點法 求動點M的軌跡方程。 【解析】設(shè)動點 M的坐標(biāo)為（x，y），而設(shè)B點坐標(biāo)為（x0，y0）則由M為線段AB 中點，可得 x xO 2x 2a 2 9 J xa 22 yb 22 AB的中點M

18、的 點 B(xO，y 上的動點，A(2a, 0)為定點，求線段 即點B坐標(biāo)可表為(2x 2a, 2y)又 2 2 )在橢圓 xa 22 yb 22 上 xOa 2 yOb 2 從而有 (2x 2a) 2 2 (2y)b 2 2 2 1, 整理，得動點M的軌跡方程為 1 ix a) a 2 4yb 2 2 1 【點評】代入法的關(guān)鍵在于找到動點和其相關(guān)點坐標(biāo)間的等量關(guān)系 【變式4】如圖所示，已知 P(4，0)是圓x+y=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿 足/ APB=90，求矩形 APBQ的頂點Q 【解析】：設(shè)AB的中點為R,坐標(biāo)為(x,y)，則在Rt ABP22 中，|AR|=|PR|又因

19、為R是弦AB的中點，依垂徑定理在Rt OAR中，|AR|2=|AO|2 |OR|2=36 (x2+y2) 又 |AI-J- Hk -G:-)2 注 所以有(x 4)2+y2=36 (x2+y2),即x2+y2 4x 10=0因此點 R在一個圓上，而當(dāng) R 在此圓上運動時，Q點即在 所求的軌跡上運動 設(shè)Q(x,y) , R(x1,y1)，因為R是PQ的中點，所以x仁代入方程x2+y2 4x 10=0,得 (x 42 )( x 42 ,yi y 02 2 y2 )4 2 2 X 42 10=0 整理得x+y=56,五、用交軌法求軌跡方程 2 xa 22 yb 22 i 六、用點差法求軌跡方程 分析

20、：此題中四問都跟弦中點有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法. 解：設(shè)弦兩端點分別為 M羞1, F1 , 必吃，線段MN的中點11 X，則 - . 己 2；;22, 刃工2 奴，F(xiàn) F ?丫， 2 1 一得 xl x2 xl x2 2 yl 2 yl -2 （j . 由題意知）：1 x2,則上式兩端同除以x2,有 xl x2 2 yl y2 yl y2xl x2yl y2xl x2 U, U. 將代入得工古 （1）將 X 12 V 12 代入，得 yl y2xl x2 2 12 ，故所求直線方程為：入?yún)В?. 14 將代入橢圓方程工削:得訃取 14 23 U,爲(wèi)4 6U符合題意， 2x仃：.：I為所

21、求. (2) 將 yl y2xl x2yl y2xl x2 (橢圓內(nèi)部分)2代入得所求軌跡方程為：畀屯0. (3) 將 y lx 2 代入得所求軌跡方程為:衛(wèi)2心 蓉0.(橢圓內(nèi)部分) 練習(xí)1【正確解答】ABC為三角形，故A, B, C不能三點共線。軌跡方程里應(yīng)除去點 m d, x 2 即軌跡方程為 25 16 1 (x 5) 2.兩條直線與川X y 10的交點的軌跡方程是.【解答】：直接消去 參數(shù)m即得(交軌法):工 3:已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,過原點O作圓的弦OA,則弦的中點 M的軌跡方程是 【解答】：令M點的坐標(biāo)為(x,y),則A的坐標(biāo)為(2x,2y),代入圓的方程里面得；

22、 14 （x 0） 22 4:當(dāng)參數(shù)m隨意變化時，則拋物線 y x2川1 x的頂點的軌跡方程為 【分析】：把所求軌跡上的動點坐標(biāo)x, y分別用已有的參數(shù) m來表示，然后消去參 數(shù)m 1便可得到動點的軌跡方程?！窘獯稹浚簰佄锞€方程可化為戈IU 12 54 2 v m w 4 它的頂點坐標(biāo)為A 1 34 V m f * 消去參數(shù)m得：y x 故所求動點的軌跡方程為 丄扎：:。 5:點M到點F（4，0）的距離比它到直線的距離小1,則點M的軌跡方程為 【分析】：點M到點F（4，0）的距離比它到直線戈5 0的距離小1,意味著點M到 點F（4，0）的距離與它到直線戈；-I I）的距離相等。由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可寫出點M 的軌跡方程。 【解答】：依題意，點 M到點F （4, 0）的距離與它到直線孟 -1的距離相