




版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內容提供方,若內容存在侵權,請進行舉報或認領
文檔簡介
1、求軌跡方程的常用方法 求軌跡方程的常用方法 (一)求軌跡方程的一般方法: 1. 定義法:如果動點 P的運動規律合乎我們已知的某種曲線(如圓、橢圓、雙曲線、 拋物線)的定義,貝V可先設出軌跡方程,再根據已知條件,待定方程中的常數,即可得到 軌跡方程。 2. 直譯法:如果動點 P的運動規律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷, 但點P滿足的等量關系易于建立,則可以先表示出點P所滿足的幾何上的等量關系,再用 點P的坐標(x, y)表示該等量關系式,即可得到軌跡方程。 3. 參數法:如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效,則可尋求引發動點P運動的某個 幾何量t,以此量作為參變數,分別建立 P點坐標x,
2、y與該參數t的函數關系x = f (t), y = g (t),進而通過消參化為軌跡的普通方程F (x, y)= 0。 4. 代入法(相關點法):如果動點 P的運動是由另外某一點 P的運動引發的,而該 點的運動規律已知,(該點坐標滿足某已知曲線方程),則可以設出P (x, y),用(x, y)表示出相關點P的坐標,然后把P的坐標代入已知曲線方程,即可得到動點P的軌跡 方程。5 :交軌法:在求動點軌跡時,有時會出現要求兩動曲線交點的軌跡問題,這種問 題通常通過解方程組得出交點(含參數)的坐標,再消去參數求得所求的軌跡方程(若能 直接消去兩方程的參數,也可直接消去參數得到軌跡方程),該法經常與參數
3、法并用。 一:用定義法求軌跡方程 例1:已知汕的頂點A, B的坐標分別為(-4 , 0),( 4, 0) , C為動點,且滿 足 sinB sinA 54 sinC, 求點C的軌跡。 【變式】:已知圓 的圓心為 M1,圓的圓心為 M2 動圓與 這兩個圓外切,求動圓圓心 P的軌跡方程。 二:用直譯法求軌跡方程 此類問題重在尋找數量關系。 例2: 條線段兩個端點 A和B分別在x軸和y軸上滑動,且BM=a AM=b求AB中 點M的軌跡方程? 【變式】:動點P (x,y )到兩定點A (-3, 0)和B (3, 0)的距離的比等于2 (即 求動點P的軌跡方程? 三:用參數法求軌跡方程 |PA|PB|
4、,2) 此類方法主要在于設置合適的參數,求出參數方程,最后消參,化為普通方程。注意 參數的取值范圍。 例3 過點P ( 2, 4)作兩條互相垂直的直線 11 ,12,若11交x軸于A點,12交y 軸于B點, 求線段AB的中點M的軌跡方程。 四:用代入法求軌跡方程 例4點B是橢圓軌跡方程。 【變式】如圖所示,已知 P(4 , 0)是圓x2+y2=36內的一點,A、B是圓上兩動點,且 滿足/ APB=90,求矩形 APBQ的頂點Q xa 22 yb 22 上的動點,A(2a, 0)為定點,求線段 AB的中點M的 五、用交軌法求軌跡方程例5.已知橢圓 xa 22 yb 1 ( a b o)的兩個頂點
5、為 汨九.竝夙0),與y軸平行的直 # 線交橢圓于P1、P2,求A1P1與A2P2交點M的軌跡方程. 六、用點差法求軌跡方程例6.已知橢圓 x 2 2 ;1, 2 (1)求過點F 且被p平分的弦所在直線的方程; 22 11 (2)求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程; (3)過j 2, 1引橢圓的割線,求截得的弦的中點的軌跡方程; 練習 1. 在咄t?中,B, C坐標分別為(-3,0),( 3,0),且三角形周長為16,則點A 的軌跡方程是. 2. 兩條直線工導1與啦y 1的交點的軌跡方程是.3.已知圓的方程為 (x-1)+y=1,過原點0作圓的弦0A,則弦的中點M的軌跡方程是4.當參數m隨意變化
6、時, 則拋物線y x22皿1葢皿2 1的頂點的軌跡方程為 。5:點M到點F(4,0) 的距離比它到直線$ 5 (1的距離小1,則點M的軌跡方程為 。6:求與兩定點 0 1, 、距離的比為1: 2的點的軌跡方程為 7.拋物線 的通徑(過焦點且垂直于對稱軸的弦)與拋物線交于A、B兩點,動點C在拋物線 上,求 ABC重心P的軌跡方程。 8. 已知動點P到定點F( 1, 0)和直線x=3的距離之和等于4,求點P的軌跡方程。 9. 過原點作直線I和拋物線F x Lx h交于A B兩點,求線段AB的中點M的軌跡 方程。 2 22 高二(上)求軌跡方程的常用方法答案 例1:已知訶的頂點A, B的坐標分別為(
7、-4 , 0),( 4, 0) , C為動點,且滿 足 sinB si nA 54 sinC, 求點C的軌跡。 54 22 【解析】由“咄s:nA xa sinC,可知 b ;-j 54 c 10,即丨們丨反 io,滿足橢 圓的定義。令橢圓方程為 yb 22 1,則凡I h ;2,則軌跡方程為 III x 2 25 y 2 9 。1 (葢 ,圖形為橢圓(不含左,右頂點) 【點評】熟悉一些基本曲線的定義是用定義法求曲線方程的關鍵。(1)圓:到定 點的距離等于定長 (2)橢圓:至炳定點的距離之和為常數(大于兩定點的距離) (3) 雙曲線:到兩定點距離之差的絕對值為常數(小于兩定點的距離)(4)到
8、定點與定直線距離相等。 【變式1】:1:已知圓的圓心為 M1,圓圓與這兩個圓外切,求動圓圓心P的軌跡方程。 解:設動圓的半徑為 R,由兩圓外切的條件可得: 0 動圓圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點的雙曲線的右支,c=4, a=2, b2=12。 的圓心為M2 動 0 故所求軌跡方程為 2 2 2 2 2: 一動圓與圓0:下 1外切,而與圓C: X y 粗;8【!內切,那么動圓的圓心 M 的軌跡是: A :拋物線B:圓C :橢圓D :雙曲線一支 【解答】令動圓半徑為 R則有 二:用 直譯法求曲線軌跡方程 此類問題重在尋找數量關系。 例2: 一條線段AB的長等于2a,兩個端點A和B分別在x軸和y軸
9、上滑動,求AB中 點P的軌跡方程? 解 設M點的坐標為(x,y)由平幾的中線定理:在直角三角形AOB中, 0M= 12AB # Mil R 1|M:| R I ,則|M0|-|MC|=2,滿足雙曲線定義。故選 Do X v 22 y 22 2 a M點的軌跡是以O為圓心,a為半徑的圓周.【點評】此題中找到了 OM= 12 AB這一等量關系是此題成功的關鍵所在。一般直譯法有下 列幾種情況: 1 )代入題設中的已知等量關系:若動點的規律由題設中的已知等量關系明顯給出, 則采用直接將數量關系代數化的方法求其軌跡。 2 )列出符合題設條件的等式:有時題中無坐標系,需選定適當位置的坐標系,再根 據題設條
10、件列出等式,得出其軌跡方程。 3 )運用有關公式:有時要運用符合題設的有關公式,使其公式中含有動點坐標,并 作相應的恒等變換即得其軌跡方程。 4 )借助平幾中的有關定理和性質:有時動點規律的數量關系不明顯,這時可借助平 面幾何中的有關定理、性質、勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質等等,從而 分析出其數量的關系,這種借助幾何定理的方法是求動點軌跡的重要方法 【變式2】:動點P(x,y )到兩定點A (-3, 0)和B (3, 0)的距離的比等于2 (即 求動點P的軌跡方程? 【解答】T卩A -氐 *亡瑪閉 |PA|PB| (x 3) y 2 |PA|PB| ,2) 2 2 2 代入 2得
11、 (Xv(x ) y 2 222 2 x 3) y 2 -lx :J) -ly 化簡得(x 5) 2+y2=16,軌跡是以(5, 0)為圓心,4為半徑的圓. 三:用參數法求曲線軌跡方程 此類方法主要在于設置合適的參數,求出參數方程,最后消參,化為普通方程。注意 參數的取值范圍。 例3 過點P ( 2, 4)作兩條互相垂直的直線11 , 12,若11交x軸于A點,12交y 軸于B點,求線段AB的中點M的軌跡方程。 【解析】 分析1 :從運動的角度觀察發現,點M的運動是由直線11引發的,可設出11的斜率 k作為參數,建立動點 M坐標(x, y)滿足的參數方程。 解法1:設M( x, y),設直線1
12、1的方程為y 4= k (x 2) ,( k工0) 由112,則直線12的方程為F 4H與x軸交點A的坐標為電 W與y 軸交點B的坐標為(0,1 :飛為AB的中點, 4k2k 1k (x 2) ,0), ), 4 2 2k 1 x 2k (k為參數) 2 4 1 k y 2 2k 消去 k,得 x+ 2y 5= 0。 另外,當k= 0時,AB中點為M( 1, 2),滿足上述軌跡方程;當k不存在時,AB中 點為M( 1,2),也滿足上述軌跡方程。綜上所述,M的軌跡方程為x+ 2y 5= 0。 分析2:解法1中在利用k1k2 = 1時,需注意k1、k2是否存在,故而分情形討論, 能否避開討論呢?只
13、需利用厶PAB為直角三角形的幾何特性: 12|AB| 解法 2:設 M(x, y),連結 MP 則 A (2x, 0) , B (0, 2y) , v 11 丄 12,二 PAB 為直角三角形由直角三角形的性質 (x 2j (y -1) 2 ,啊 12 |AB| 2 2 (2x)(2y) 化簡,得x+ 2y 5= 0,此即M的軌跡方程。 分析3:設M(x, y),由已知11丄12,聯想到兩直線垂直的充要條件:k1k2 = 1, 即可列出軌跡方程,關鍵是如何用M點坐標表示A、B兩點坐標。事實上,由 M為AB的中 點,易找出它們的坐標之間的聯系。 解法 3:設 M(x, y) ,vm 為 AB中點
14、,二 A ( 2x, 0), B (0, 2y)。又 11 , 12 過 點 P (2, 4),且 11 丄 12 PAL PB 從而 kPA kPB= 1, 而 klJA 4 4 02 2x -1 2y20 ,k PB x 2y b 0 4 2y 1,化簡,得 2 2x2 注意到11 Lx軸時,12丄y軸,此時A (2, 0), B (0, 4) 中點M( 1, 2),經檢驗,它也滿足方程 x + 2y 5 = 0綜上可知,點M的軌跡方程為 x + 2y 5 = 0。【點評】 1 )解法1用了參數法,消參時應注意取值范圍。解法2, 3為直譯法,運用了 kPA- kPB= -1, riH 12
15、 |AB|這些等量關系。 用參數法求解時,一般參數可選用具有某種物理或幾何意義的量,如時間,速度,距 離,角 度,有向線段的數量,直線的斜率,點的橫,縱坐標等。也可以沒有具體的意義,選 定參變量還要特別注意它的取值范圍對動點坐標取值范圍的影響【變式3】過圓O: x2 +y2= 4外一點A(4,0),作圓的割線,求割線被圓截得的弦BC的中點M的軌跡。 解法一:“幾何法” 設點M的坐標為(x,y ),因為點M是弦BC的中點,所以OML BC, 2 2 2 2 22 2 所以 |OM | + | MA | = | OA | , 即(x+y)+(x-4 )+y=16 化簡得:(x - 2) 2+ y2
16、 =4 由方程 與方程x +y= 4得兩圓的交點的橫坐標為 1,所以點M的軌跡方程為 (x -2) 2+ y2 =4 (0XV 1)。所以M的軌跡是以(2, 0)為圓心,2為半徑的圓在圓 O 內的部分。 解法二:“參數法” 設點M的坐標為(x,y ) , B (x1,y1 ) ,C (x2,y2 )直線AB的方程為y=k(x - 4),由直 線與圓的方程得(1+k) x - 8kx +16k -4=0(*),由點M為BC的中點,所以 x= yx 2 2 2 2 2 xl x2 4k 22 1 k ,又OML BC所以 k=(2)由方程(1)( 2) 13 消去k得(x 2) 2+ y2 =4,
17、又由方程(* )的厶。得k2 2 2 ,所以xv 1. 所以點M的軌跡方程為(x 2) + y =4 (0 xv 1)所以M的軌跡是以(2, 0)為圓 心,2為半徑的圓在圓0內的部分。 四:用代入法等其它方法求軌跡方程例4.點B是橢圓軌跡方程。 分析:題中涉及了三個點 A、B、M其中A為定點,而 B M為動點,且點B的運動是 有規律的,顯然 M的運動是由B的運動而引發的,可見 M B為相關點,故采用相關點法 求動點M的軌跡方程。 【解析】設動點 M的坐標為(x,y),而設B點坐標為(x0,y0)則由M為線段AB 中點,可得 x xO 2x 2a 2 9 J xa 22 yb 22 AB的中點M
18、的 點 B(xO,y 上的動點,A(2a, 0)為定點,求線段 即點B坐標可表為(2x 2a, 2y)又 2 2 )在橢圓 xa 22 yb 22 上 xOa 2 yOb 2 從而有 (2x 2a) 2 2 (2y)b 2 2 2 1, 整理,得動點M的軌跡方程為 1 ix a) a 2 4yb 2 2 1 【點評】代入法的關鍵在于找到動點和其相關點坐標間的等量關系 【變式4】如圖所示,已知 P(4,0)是圓x+y=36內的一點,A、B是圓上兩動點,且滿 足/ APB=90,求矩形 APBQ的頂點Q 【解析】:設AB的中點為R,坐標為(x,y),則在Rt ABP22 中,|AR|=|PR|又因
19、為R是弦AB的中點,依垂徑定理在Rt OAR中,|AR|2=|AO|2 |OR|2=36 (x2+y2) 又 |AI-J- Hk -G:-)2 注 所以有(x 4)2+y2=36 (x2+y2),即x2+y2 4x 10=0因此點 R在一個圓上,而當 R 在此圓上運動時,Q點即在 所求的軌跡上運動 設Q(x,y) , R(x1,y1),因為R是PQ的中點,所以x仁代入方程x2+y2 4x 10=0,得 (x 42 )( x 42 ,yi y 02 2 y2 )4 2 2 X 42 10=0 整理得x+y=56,五、用交軌法求軌跡方程 2 xa 22 yb 22 i 六、用點差法求軌跡方程 分析
20、:此題中四問都跟弦中點有關,因此可考慮設弦端坐標的方法. 解:設弦兩端點分別為 M羞1, F1 , 必吃,線段MN的中點11 X,則 - . 己 2;;22, 刃工2 奴,F F ?丫, 2 1 一得 xl x2 xl x2 2 yl 2 yl -2 (j . 由題意知):1 x2,則上式兩端同除以x2,有 xl x2 2 yl y2 yl y2xl x2yl y2xl x2 U, U. 將代入得工古 (1)將 X 12 V 12 代入,得 yl y2xl x2 2 12 ,故所求直線方程為:入収:0. 14 將代入橢圓方程工削:得訃取 14 23 U,爲4 6U符合題意, 2x仃:.:I為所
21、求. (2) 將 yl y2xl x2yl y2xl x2 (橢圓內部分)2代入得所求軌跡方程為:畀屯0. (3) 將 y lx 2 代入得所求軌跡方程為:衛2心 蓉0.(橢圓內部分) 練習1【正確解答】ABC為三角形,故A, B, C不能三點共線。軌跡方程里應除去點 m d, x 2 即軌跡方程為 25 16 1 (x 5) 2.兩條直線與川X y 10的交點的軌跡方程是.【解答】:直接消去 參數m即得(交軌法):工 3:已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,過原點O作圓的弦OA,則弦的中點 M的軌跡方程是 【解答】:令M點的坐標為(x,y),則A的坐標為(2x,2y),代入圓的方程里面得;
22、 14 (x 0) 22 4:當參數m隨意變化時,則拋物線 y x2川1 x的頂點的軌跡方程為 【分析】:把所求軌跡上的動點坐標x, y分別用已有的參數 m來表示,然后消去參 數m 1便可得到動點的軌跡方程。【解答】:拋物線方程可化為戈IU 12 54 2 v m w 4 它的頂點坐標為A 1 34 V m f * 消去參數m得:y x 故所求動點的軌跡方程為 丄扎::。 5:點M到點F(4,0)的距離比它到直線的距離小1,則點M的軌跡方程為 【分析】:點M到點F(4,0)的距離比它到直線戈5 0的距離小1,意味著點M到 點F(4,0)的距離與它到直線戈;-I I)的距離相等。由拋物線標準方程可寫出點M 的軌跡方程。 【解答】:依題意,點 M到點F (4, 0)的距離與它到直線孟 -1的距離相
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網頁內容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業或盈利用途。
- 5. 人人文庫網僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內容的表現方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容,請與我們聯系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 地震預警員崗位面試問題及答案
- 櫥柜設計師崗位面試問題及答案
- 寵物醫生崗位面試問題及答案
- 沖壓工程師崗位面試問題及答案
- 2025屆陜西省寶雞市金臺高級中學高二化學第二學期期末監測試題含解析
- 2025屆河南省商丘市城隍鄉湯莊中學高二下化學期末聯考模擬試題含解析
- 安徽省定遠縣張橋中學2025年化學高二下期末學業水平測試模擬試題含解析
- 2025屆廣東省揭陽市惠來一中化學高二下期末學業水平測試模擬試題含解析
- 福建省福州市屏東中學2025屆高二下化學期末調研模擬試題含解析
- 四川省成都市溫江中學2025屆高一下化學期末經典模擬試題含解析
- 2024年中國安全應急產業發展研究報告
- 2024年優居房產加盟業務保密協議3篇
- 中國當代文學專題-003-國開機考復習資料
- 企業自然災害安全應急預案
- 高新技術企業研發費用管理辦法
- 老年急重癥診療及護理
- 中小學家長會期中期末家長會253
- 驅動電機與電機控制器
- 醫聯體協議書(2024版)
- 2023年全國職業院校技能大賽-中藥傳統技能賽項規程
- 11 《愛蓮說》對比閱讀-2024-2025中考語文文言文閱讀專項訓練(含答案)
評論
0/150
提交評論