1、西南大學第六屆大學生數學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了西南大學第六屆大學生數學建模競賽的競賽規則.我們完全明白，雖然本次競賽采取分散自行答卷的機制，但在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從a/b/c/d中選擇一項填寫

2、）： c 我們的參賽報名號為（如果設置報名號的話）： 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 專業： 軟件與工程 2. 專業：數學與應用數學 3. 專業：數學與應用數學 日期： 2012 年 4 月 21日競賽組委會評閱編號（由競賽組委會評閱前進行編號）：西南大學第六屆大學生數學建模競賽編 號 專 用 頁競賽組委會評閱編號（由競賽組委會評閱前進行編號）：評閱記錄（可供評閱時使用）：評閱人碎片化趨勢下的奧運會商業模式 關 鍵 詞： 網絡宣傳 信息傳播 非線性規劃 最優成本摘 要網絡宣傳作為一種新生的宣傳模式，在現代市場競爭中為其他企業提供了一種有力的宣傳工具，本文就在題目給出的環境下的宣傳及成本問題進

3、行研究，展開討論、分析和建立數學模型，利用數學軟件進行求解。對于問題一：只考慮僅存在一名社交網絡的專業推廣者在奧運會期間進行企業宣傳，假設一個粉絲傳播新聞的概率為，建立數學模型，找到網絡推廣過程中的傳播量。用spss分析數據求得重復傳播的重復傳播率和傳播的概率，進一步完善數學模型。建立數學模型 利用matlab畫出圖像并求解得一條含有該企業廣告的奧運會新聞可以被7892600人觀看到。對于問題二：基于問題一的假設，用spss分析重復率與理論看到的人數的關系，建立傳染病模型 利用matlab畫出圖像并求解得至少需要雇傭10名專業社交網絡推廣者才能實現；最終看到新聞的人數是確定的，而宣傳者不確定的

4、情況下，采用線性規劃的方法建立數學模型，建立成本與宣傳者的的目標函數，根據假設針對函數中的自變量進行限制，當成本達到最大值時就是該函數的最優解。建立非線性回歸模型 采用外點罰函數法程序，利用matlab求解并分析得該企業最合理用人方案是雇傭10名專業推廣者，不雇傭兼職宣傳者。在網絡化的時代里，宣傳的手段使得更多企業更好的利用奧運會的機會進行宣傳，基于該模型能賺取更多的利益，讓企業在競爭激烈的經濟環境下得到更好的發展。一、問題的重述與分析網絡相對而言是一種新興的蘊含著巨大潛力的宣傳營銷方式,包括從專業推廣者推廣信息開始經過好友推廣等一系列推廣,到最后幾乎覆蓋全網絡。在網絡環境下，研究網絡宣傳的效

5、率以及怎樣最有效的利用網絡問題，具有著重要的理論和現實意義。對于第一問：僅存在一名專業推廣者的情況，相關已知條件有如下表所示： 推廣人數/天一個專業推廣者500一個粉絲20（1）假設專業推廣者的推廣是必然的，即專業推廣者每天都在推廣傳播。而粉絲的推廣是不確定的，即由于受到各種因素的影響，粉絲可能不會繼續進行推廣，不妨假設一個粉絲推廣、傳播含有企業廣告的奧運新聞的概率為 ，即粉絲的實際推廣為500以及20。建立數學模型，確定傳播過程中的總傳播量。根據建立的數學模型，求解網絡推廣過程中的傳播量。（2）在（1）的假設下，考慮到每個人會有相同的好友，因此會產生傳播的重復，假設在傳播過程中重復傳播的重復

6、傳播率為，運用已有的數學分析軟件，從題目給出的數據中分析出的值。進而進一步再完善數學模型，確定該企業的廣告在網絡上的實際傳播量。根據數學模型，求解網絡上一條含有該企業廣告的奧運會新聞可以被多少人觀看到。對于第二問：相關的已知條件如下表所示：推廣人數/天工資/天一個專業推廣者500500一個兼職宣傳者3550根據假設公司的潛在用戶量是確定的，為2108人且他們都在使用社交網絡，企業希望廣告宣傳覆蓋其中40% 的人群。建立數學模型，研究在僅使用專業推廣者的情況下的可行性。并根據建立的數學模型，考慮在含有兼職推廣者的情況下的企業最合理的用人方案。二、符號說明表示推廣的天數表示t時刻理論上看到新聞的人

7、數表示t時刻重復看到新聞的人數表示t時刻實際看到新聞的人數表示一個粉絲推廣、傳播含有企業廣告的奧運新聞的概率表示在信息傳播過程中重復傳播的重復傳播率表示一個專業推廣者每天新增的粉絲人數表示一個普通網絡用戶每天新增的粉絲人數表示所考察的地區范圍的總人口數表示t時刻沒有看到新聞的人數占總人數的比例表示t時刻已經看到新聞的人數占總人數的比例表示在t 時刻看到新聞的人每天傳播新聞的平均人數表示一名專業推廣者的推廣人數表示一名兼職宣傳者的推廣人數表示雇傭專業推廣者人數表示雇傭兼職宣傳者人數表示節點j 在t，t + t時段內處于未看到信息狀態的概率表示節點j 從未看到狀態轉移到已看到狀態的概率表示在t 時

8、刻從具有k 條邊的未看到節點連接到一個看到節點的概率表示度為k的節點與度為k的節點鄰接的條件概率表示一個擁有k條邊的節點在它連接到一個度為k 的未看到節點的條件下，處于看到信息狀態的概率表示在t 時刻度為k的看到信息節點的密度三、模型假設1.在信息傳播期內所考察的地區范圍不考慮人口的出生、死亡、流動等種群動力因素。所考察的地區范圍總人口數始終保持一個常數；2.假設在傳播過程中傳播者不受任何影響，不考慮由于特殊原因網絡癱瘓導致無法繼續傳播的情況；3.專業推廣者每天都在推廣傳播信息；4.粉絲間存在停止傳播信息的情況；5.粉絲間存在重復傳播信息的情況；6.粉絲間的傳播不是集中的，而是離散的。四、模型

9、建立和求解4.1問題一的解決方案及模型4.1.1相應分析 對于信息在網絡中的傳播，具有復雜網絡傳播的特性。（1）無標度網絡的建立針對所考察的地區范圍構造一個無標度網絡。首先給出少數孤立的節點 ,每一個時間內增加一個新的節點，并和已經存在的節點按照一定的概率選擇k條邊相連；選擇的概率與節點度成正比，該節點的連接邊數越多，則再次被選上的機會就增多。在生成的無標度網絡上。節點代表每個人，邊代表個體之間的聯系，整個網絡代表傳播關系。具有聯系的人之間可以傳播信息。設在一個周期，信息成功傳播的概率為 。初始化時，隨機的假設某個人開始傳播，根據其在網絡中的位置和關系，其周遍各個體在一個周期內以 概率中成為看

10、到信息的人，則這些看到信息的人又以這一概率向其聯系的人傳播信息，從而實現信息在整個組織網絡中的演化與傳播。（2）假設一個節點j在t時刻處于未看到信息狀態， 表示節點j在t，t+t時段內處于未看到信息i狀態的概率， 表示節點j從未看到狀態轉移到已看到狀態的概率且 其中 （1）式中，g=g(t)表示在t時刻節點j的鄰居中看到信息節點的數量.假設節點j含有k條邊，g是具有如下二項分布的隨機變量: （2）式中， 表示在t時刻從具有k條邊的未看到信息節點連接到一個看到信息節點的概率。 可寫為如下形式:（3）式中， 為度相關函數，表示度為k的節點與度為k的節點鄰接的條件概率;表示一個擁有k條邊的節點在它連

11、接到一個度為k的未看到信息節點的條件下，處于看到信息狀態的概率;表示在t時刻度為k的看到信息節點的密度.所以，得到度為k的節點在t，t+t時段內處于未看到信息狀態的平均轉移概率 如下: （4）同理，假設 表示節點 在 時段內從看到信息狀態轉移到免疫狀的概率， 表示節點 保持看到信息狀態的概率且于是 ，得到度為 的節點在 時段內處于看到信息狀態的平均轉移概率 如下:（5） 對數坐標下的度分布隨參數變化曲線圖像（一）（3）聚類系數一個節點 的聚類系數 反映了它的鄰居之間互相連接的程度網絡的平均聚系數： （6）反映了通過三邊連接三點而成的三角形子圖在全網絡里的密度，引入三角連接概率p,從而由參數 和

12、 共同控制網絡結構的變化和權值的分配。 更深入的研究則要涉及到度為k 的節點的平均聚類系數： （7）在很多情況下,是一個的冪律下降函數,說明度小的節點屬于平均聚類系數大的連通社區,反之,度大的節點屬于平均聚類系數小的連通社區。對數坐標下平均聚類系數與度的關系隨參數變化曲線圖像（二）對數坐標下平均聚類系數與度的關系隨參數變化曲線圖像（三）4.1.2信息傳播模型的建立 對于問題一，僅存在一名專業推廣者的情況，相關已知條件有如下表所示： 推廣人數/天一個專業推廣者500一個粉絲20由假設知道，專業推廣者的推廣是必然的，即專業推廣者每天都在推廣傳播。一個粉絲推廣、傳播含有企業廣告的奧運新聞的概率為 ，

13、即粉絲的實際推廣為500 以及20 。問題一的推廣關系圖如下所示： 再根據前面的模型假設，從復雜網絡傳播的角度考慮，當不考慮重復傳播時，每天實際看到新聞的人數與天數如下表：天數人數123t則建立模型： （8）4.1.3求解并分析模型根據模型：我們利用spss軟件對附件socialgraph中的數據進行處理，得出理論看到新聞人數、實際看到新聞的人數、重復人數、推廣人數和重復率。（理論看到新聞的人數=實際看到新聞的人數+重復看到新聞的人數）如表格（一）：推廣人數理論看到新聞人數實際看到新聞的人數重復人數重復率25085694663771931722.5418%5001833531230996025

14、432.8623%7502728401768259601535.1910%100036076222760513315736.9099%125044864627046417818239.7155%150052265230866121399140.9433%175059982635032124950541.5962%200067526138623328902842.8024%225075434242655932778343.4528%250283554246509837044444.3358%由spss軟件分析的數據知， ，并代入模型中所以模型變為：經過matlab軟件繪制模型圖像得一名專業推廣者

15、能推廣的人數曲線：圖像（四）因此由圖像可知：當時，從結果中得出，奧運會開始后，一條含有企業廣告的奧運會新聞可以被約7892600人觀看到。4.2問題二的解決方案及模型4.2.1傳染病模型的建立根據假設在傳播過程中重復傳播的重復傳播率為一個專業推廣者每天新增的粉絲人數為一個普通網絡用戶每天新增的粉絲人數為在t 時刻看到新聞的人每天傳播新聞的平均人數則有： （9）在t 時刻每個傳播者每天可以使 個人看到新聞因為看到新聞的人數為 ，則在t時刻理論看到新聞人數則實際上每天看到新聞的人數為： （10）且有在問題一里面，我們已經分析了附件socialgraph的數據，畫出了表格利用表中數據，通過matla

16、b，畫出并分析相關圖像實際看到新聞的人數（橫軸）與重復率(縱軸)的關系圖圖像（五）理論看到新聞的人數（橫軸）與重復率(縱軸)的關系圖圖像（六）重復率（橫軸）與理論看到新聞的人數（縱軸）的關系圖圖像（七）根據圖像（五）和（六）畫出的圖像可以得到：隨著實際看到新聞的人數的增加，重復率在逐漸增加，增長速率逐漸減慢。隨著理論看到新聞的人數的增加，重復率在逐漸增加，增長速率逐漸減慢。根據圖像（七），我們用matlab擬合，可以推導出重復率與理論看到新聞的人數的關系為 （11）又因為，所以因次建立模型： （12）對于所建模型進行進一步的分析因為所考察的地區范圍的總人數很大，那么專業推廣者的人數相對于總人數

17、來說非常小，所以我們可以忽略不計，一個社交網絡的專業推廣者平均每天可以新增500 個粉絲，普通網絡用戶平均每天可以新增20 個粉絲。那么我們將 個專業推廣者看作25 個粉絲，因此恒為一個常數20，且 則變化上述模型得： （13）4.2.2求解并分析傳染病模型根據模型：經過matlab軟件繪制模型圖像當專業推廣者的人數為9時t（橫軸）與(縱軸)的關系圖 圖像（八）當專業推廣者的人數為10時t（橫軸）與(縱軸)的關系圖圖像（九）分析圖像當專業推廣者的人數為9時，實際看到的人數少于8千萬當專業推廣者的人數為10時，實際看到的人數達到了8千萬因此，得出結論，至少需要雇傭10名專業社交網絡推廣者才能實現

18、。4.2.3非線性回歸模型的建立(1)現在分析僅一名兼職宣傳者，第100天時，能讓多少人看到新聞相對于問題一，根據模型假設，從復雜網絡傳播的角度考慮，當不考慮重復傳播時，每天實際看到新聞的人數與天數如下表：天數人數123t則建立模型： （14）其中 經過matlab軟件繪制模型圖像得一名兼職宣傳者能推廣的人數曲線繪制出的圖像為：圖像（十）（2）相關的已知條件如下表所示：推廣人數/天工資/天專業推廣者500500兼職宣傳者3550根據假設表示專業社交網絡推廣者的人數，表示兼職宣傳者的人數由題意知道需要討論如何調整傳播量滿足最小覆蓋率和最低的雇傭成本。專業推廣者每天的工資是500 元，雇傭兼職宣傳

19、者，每天僅需要付50 元的工資，自變量的非線性約束條件為： 表示雇傭推廣者所用的成本，則目標函數為所以建立非線性規劃模型： （15）符號min表示“求最小值”，符號s.t.表示“受約束于”。4.2.4求解并分析非線性回歸模型根據約束特點構造 “罰函數”，然后將其加到目標函數中去，將約束最優化問題的求解轉化為一系列無約束問題的求解。極小點或者無限地向可行域靠近，或者一直保持在可行集內移動，直到收斂于原來約束最優化問題極小點。外點罰函數法程序流程圖如下圖示：外點罰函數法程序流程圖對于問題構造一個函數為其中 是一個逐漸增大的參數，稱為懲罰因子。又稱為問題的增廣目標函數。顯然，增廣目標函數是定義在上的

20、一個無約束函數。由增廣目標函數的構造知當時 此時的最優解就是問題的最優解：當時，此時就與問題有相同的最優解。當時，迅速變大的原因是通過懲罰因子來實現。在用外點罰函數法求解問題：（1）首先構造增廣目標函數。（2）然后按照無約束優化方法求解。（3）如果求出的最優解為，則判斷是否屬于。如果，則是問題的最優解。如果，則不是問題的最優解，此時說明原來的懲罰因子給的太小了，需要加大懲罰因子，使得，然后再重新計算的最優值。在matlab中進行規劃并求解得到結果： 從結果得出，該企業最合理用人方案是雇傭10名專業推廣者，不雇傭兼職宣傳者。五、模型的評價及推廣5.1模型的評價問題一模型:現在是信息網絡時代，在網

21、絡上我們可以找到更多有用的數據，數據越多，使得模型的精確度越高。在這個前提下,根據網絡數據進一步的驗證了該模型的可靠性、真實性，而且所得結論恰好能夠與客觀事實相吻合，從而進一步說明模型是合理的。 現在的企業在實際宣傳實際中，隨著科技的發達，網絡傳播的應用越來越廣泛了，但是現在還是以傳統的宣傳方式為主要宣傳方式，在短時間內相比較，網絡宣傳方式還是比不上傳統宣傳方式，我們要搜集更多的數據，才能做出更較合理的方案。問題二模型: 我們采用線性規劃的模型，線性規劃的理論和方法都比較成熟，線性規劃對于解決該用人問題既簡單又準確，把求解傳播量和雇傭成本的多目標問題轉化成單目標問題，使得問題簡化。運用到實際中

22、去，一些企業不一定滿足于40%的覆蓋率而是追求更高的覆蓋率以及凈收入，因此需要我們去查找更多有用的數據來對模型進行完善。5.2模型的推廣 隨著世界經濟的發展，我們已經步入信息化時代，網絡宣傳的手段是適應全球信息化大潮而產生的，主要是利用網絡信息傳播這個體系以及復雜網絡的相互關系，這樣不僅能使那些不能與奧運會合作的企業，開闊了一個新的資源地。不僅能夠達到奧運會的宣傳效果，而且能夠讓更多的企業相繼加入來合作，就產生了更多的競爭，讓企業在競爭激烈的經濟環境下得到更好的發展。六、參考文獻【1】汪小帆 李翔 陳關榮,復雜網絡:理論及其應用,清華大學出版社,2006.4【2】鄭漢鼎 刁在筠,數學規劃m, 山東:山東教育出版社,1997.12【3】j d murray,mathematical modelling in epidemiology m,springer,berlin, 1980【4】姜啟源 謝金星 葉俊,數學模型（第三版）,高等教育出版社 2003.2【5】胡婉麗,知識在組織內傳播的復雜網絡模型:算法及模擬、運籌與管理