1、第第2 2章章 投影法基礎知識投影法基礎知識 2.1 2.1 投影法概念及其分類投影法概念及其分類 一、投影的方法一、投影的方法 二、投影的分類二、投影的分類 1. 1. 中心投影法中心投影法 2. 2. 平行投影法平行投影法 （1 1）斜投影法）斜投影法 （2 2）正投影法）正投影法 3. 3. 軸測投影圖軸測投影圖 三、正投影的基本特性三、正投影的基本特性 四、三面投影體系的建立四、三面投影體系的建立 五、三視圖的形成五、三視圖的形成 六、三視圖的投影關系六、三視圖的投影關系 當燈光或太陽光照射 物體時，在地面或墻 上就會產生與原物體 相同或相似的影子， 人們根據這個自然現 象，總結出將空

2、間物 體表達為平面圖形的 方法，即投影法。 一、投影的方法一、投影的方法 a 投影 b 投影線 在投影法中向物 體投射的光線， 稱為投影線 在投影法中， 出現影像的 平面稱為投 影面 在投影法中，所 得影像的集合輪 廓，稱為投影或 投影圖 二、投影的分類二、投影的分類 1.1.中心投影法中心投影法 S 投射中心 a b a 形體 物體的中 心投影 投射線 當投射中心與投影面的距離有限當投射中心與投影面的距離有限 時，所有投射線均交于投射中心。時，所有投射線均交于投射中心。 投射中心、物體、投影投射中心、物體、投影 面三者之間的相對距離對投面三者之間的相對距離對投 影的大小有影響。影的大小有影響

3、。 優點：優點：具有真實感，圖具有真實感，圖 形符合人的視覺規律；形符合人的視覺規律； 缺點：缺點：作圖復雜、度量作圖復雜、度量 性較差。性較差。 用中心投影法繪制用中心投影法繪制 房屋的透視圖房屋的透視圖 .透視投影圖透視投影圖用于建筑物的效果表現圖及工業用于建筑物的效果表現圖及工業 產品的展示圖等，一般美術作品都符合透視投影的規律。產品的展示圖等，一般美術作品都符合透視投影的規律。 優點優點：符合視覺規律、圖形逼真、立體感強；：符合視覺規律、圖形逼真、立體感強； 缺點缺點：一般不能直接度量，繪制過程也較復雜。：一般不能直接度量，繪制過程也較復雜。 a b c 90 投射線方向 2.2.平行

4、投影法 平行投影法 （ （1 1）斜投影法）斜投影法 90 投射線方向 a b c （2 2）正投影法）正投影法 工程上常用的幾種投影圖工程上常用的幾種投影圖 1. 1. 多面正投影圖 多面正投影圖 （2 2）多面正投影圖）多面正投影圖 2.軸測投影圖 Z X O Y S 3. 3. 標高投影圖標高投影圖 1 5 2 0 25 1 5 2 0 25 1 5 2 0 25 2.2 正投影的基本性質 性質真實 性 積 聚 性 類 似 性 圖 例 投 影 特 性 直線、平面平行于投 影面，則在平行的投影面 上的投影反映直線實長或 平面的實形。 直線、平面、柱面垂 直于投影面，則在垂直的 投影面上的投

5、影分別積聚 為點、直線、曲線。 當直線、平面傾斜于 投影面時，直線的投影仍 為直線，平面的投影為平 面圖形的類似形。 （） 性質 圖 例 投 影 特 性 平 行 性 從 屬 性 定 比 性 直線或曲線上點的投 影必在直線或曲線的投影 上；平面或曲面上點、線 的投影必在該平面或曲面 的投影上。 點分線段的比，投影 后保持不變；空間兩平行 線段長度的比，投影后保 持不變。 說 明 1.類似形：指平面圖形投影后所得的投影圖形，與原平面圖形保持基本特征不變。即邊數相等， 凸、凹狀態相同，平行關系、曲直關系保持不變。 2.本書約定：空間點、線、面用大寫字母表示，其投影用對應的小寫字母表示。 空間相互平行

6、的直線， 其投影一定平行；空間相互 平行的平面，其有積聚性的 投影對應平行。 四、三面投影體系的建立 如圖所示是三個形狀不同的物體，它們在同一個投影 面上的投影是相同的。很明顯若不附加其它說明，僅 憑這一個投影面上的投影，是不能表示清楚物體的實 際形狀和大小的。 水平投影面 - H HV - OX 正面投影面 - V V W - OZ 側面投影面 - W HW - OY Z Y W O 一般需將物體放置在如圖所示的三面投影體系中，分別向三個投影 面進行投影，然后將所得到的三個投影聯系起來，互相補充，即可 反映出物體的真實形狀和大小。 五、三視圖的形成 六、三視圖的投影關系 從三視圖的形成過程和

7、投 影面展開的方法中，可明 確以下關系： 1 1位置關系位置關系 根據三個投影面的相對位 置及投影面展開的規定， 三視圖的位置關系是：以 主視圖為準，俯視圖在主 視圖的正下邊，左視圖在 主視圖的正右邊； 2方位關系方位關系 任何物體都有前后、左右、上 下六個方位。而每個視圖只能 表示其四個方位，如圖所示。 在三視圖中，主、左視圖表示 物體的上、下；主、俯視圖表 示物體的左、右；俯、左視圖 表示物體的前后。靠近主視圖 的一面是物體的后面，遠離主 視圖的一面是物體的前面。 3 3三等關系三等關系 任何物體都有長、寬、高三個 尺度，若將物體左右方向（X 方向）的尺度稱為長，上下方 向（Z方向）尺度稱

8、為高，前 后方向（Y方向）尺度稱為寬， 則在三視圖上（如圖所示）主、 俯視圖均反映了物體的長度， 主、左視圖均反映了物體的高 度，俯、左視圖均反映了物體 的寬度。都應符合三等關系）。 長長 對對 正正 V H W 高平齊高平齊 寬相等寬相等 長對正長對正 高平齊高平齊 寬相等寬相等 主視圖主視圖 俯視圖俯視圖 左視圖左視圖 物物 體體 的的 三三 視視 圖圖 長對正 高平齊 寬相等 2.3 點、直線、平面的投影 空間物體都是由面圍成的，而面可視為線的軌 跡，線則是點的軌跡，所以點是最基本的幾何 元素。學習和掌握幾何元素的投影規律和特性， 才能透徹理解工程圖樣所表示物體的具體結構 形狀。 點的投

9、影 O 一、 三投影面體系中點的投影 點A的水平投影 a 點A的正面投影 a 點A的側面投影 a H a a a VW XO Z YW YH a a a A 1. aaz = aay =Aa = xA 2. aax = aaz =Aa =yA 3. aax =aa y = Aa=zA 二、點的直角坐標與三面投影的關系 V X Z Y W O ay ax az x y z a a a A 1. aa X軸，aaz = aay = XA 2. aaZ軸， aax =aa y = ZA 3. aax = aaz =YA 三、三投影面體系中點的投影規律 四、特殊點的投影 H V OX b b c c

10、Cc c a b Bb Aa a a 五、五、 兩點的相對位置兩點的相對位置 根據兩點相對于投影面的距離確 定，如圖所示： （1）距離W面遠者在左，近者在 右（根據V、H的投影分析）； （2）距離V面遠者在前，近者在 后（根據H、W面的投影分析）； （3）距離H面遠者在上，近者在 下（根據V、W面的投影分析）。 兩點中x值大的點 在左 兩點中y 值大的點 在前 兩點中z 值大的點 在上 a a a b b b B A 例3：已知A、B兩點的兩面的投影 求作：第三面投影并確定其相對位置。 A、B兩點的相對位置 （1）按照點的投影關系分別求得A、B兩 點的第三面投影； （2）根據A、B兩點的三個坐

11、標值的大小 判斷其相對位置 XBXA， B點在左，A點在右 ZAZB， A點在上，B點在下 YAYB， B點在后，A點在前 （3）結論：A點在B點的右前上方，B點 在A點的左后下方。 一一 重影點的投影重影點的投影 c d(c) d C D a(b) a b A B 例題例題1 已知點A的正面與側面投影，求點A的水平投影。 a 注：因為平面是無限大的，所注：因為平面是無限大的，所 以以 一般不畫出平面邊框。一般不畫出平面邊框。 例題例題2 已知點A在點B之前5毫米，之上9毫米，之右8 毫米，求點A的投影。 a a a 9 8 5 一、直線段對于一個投影面的投影 二、直線段在三面投影體系中的投影

12、特性 三、求一般位置直線段的實長及對投影面的傾角 四、直線上點的投影 五、兩直線的相對位置 直線的投影 基本要求 直線的投影仍為直線，特殊情況下為一點。 a b c(d) 一、直線段對于一個投影面的投影 空間直線段對于一個投影面的位置，有傾斜、平行、垂直 三種。三種不同的位置具有不同的投影特性。 收縮性 真實性 積聚性 1.直線平行于一個投影面 (1) 水平線 (2) 正平線 (3) 側平線 二、直線段在三面投影體系中的投影特性 (1) 水平線 只平行于水平投影面的直線 a a b a b b X a b ab b a O z YH YW A B 投影特性：1ab OX ; ab OYW 2

13、ab=AB 3反映、 角的真實大小 （2）正平線只平行于正面投影面的直線 a a b a b b X a b a b b a O Z YH YW A B 投影特性： 1 ab OX ; a b OZ 2 a b=AB 3 反映、角的真實大小 （3）側平線只平行于側面投影面的直線 a a b a b b A B 投影特性： 1 ab OZ ; ab OYH 2 ab =AB 3反映 、 角的真實大小 X Z a b b b a O YH YW a 2.直線垂直于一個投影面 (1) 鉛垂線 (2) 正垂線 (3) 側垂線 b a(b) a a b Z b X a b a(b) O YH YW a

14、投影特性：1 a b 積聚 成一點 2 a bOX ; a b OYW 3 a b = a b = AB （1）鉛垂線 垂直于水平投影面的直線 A B （2）正垂線 垂直于正投影面的直線 b ab a b a 投影特性： 1 ab 積聚 成一點 2 ab OX ; ab OZ 3 ab = ab =AB A B z X ab b a O YH YW a b （3）側垂線 垂直于側投影面的直線 投影特性： 1 ab 積聚 成一點 2 ab OYH ; ab OZ 3 ab = ab =AB A B b a ab a b Z X ab b a O YH YW a b 3.從屬于投影面的直線 (1)

15、從屬于投影面的直線 (2)從屬于投影軸的直線 從屬于V 面的直線 Z X a b a O YH YW a b b B b b a b a A a 從屬于V 投影面的鉛垂線 Z YW b X a b a(b) O YH a 從屬于OX軸的直線 Z X ab a O YH YW abb 四、作圖 1求直線的實長及對水平投影面的夾角角 2求直線的實長及對正面投影面的夾角角 3求直線的實長及對側面投影面的夾角角 例題1 三、求一般位置直線段的實長及對投影面的傾角三、求一般位置直線段的實長及對投影面的傾角 一般位置直線 A B b b a b a a Z Xa a a O Y Y b b b 投影特性：

16、1 a b、 ab、a b均小于實長 2 a b、ab、a b均傾斜于投影軸 3不反映 、 、 實角 如圖，由直線AB及其對H面的投影所形 成的平面ABba上的直角三角形ABC中可 知，其兩直角邊分別為：AC=ab、BC= 而斜邊AB即為實長，該直線段對H面的 傾角BAC=，而B、A點的高度坐標差， 可從正投影、的坐標求得。 C |zA-zB | AB （1） 求直線的實長及對水平投影面的夾角 |zA-zB| AB ab |zA-zB| AB |zA-zB| ab （2） 求直線的實長及對正面投影面的夾角 |yA-yB| a X a b b ab AB AB ab |yA-yB| |yA-yB

17、| AB |yA-yB| （3） 求直線的實長及對側面投影面的夾角 A B b b a b a a |xA-xB| |xA-xB| 例題例題1 已知 線段的實長AB，求它的水平投影。 a |zA-zB| ab AB ab |zA-zB| 直線上的點具有兩個特性： 1從屬性從屬性 若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。利用 這一特性可以在直線上找點，或判斷已知點是否在直線上。 2定比性定比性 屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b 利用這一特性，在不作側面投影的情況下，可以在側平線上找點或判斷已

18、知 點是否在側平線上。 例題2 例題3 例題4 四、直線上點的投影 c c 例題例題2 2 已知線段AB的投影圖，試將AB分成21兩段，求分 點C的投影c、c 。 例題例題3 3 已知點C在線段AB上，求點C 的正面投影。 c c ca bc 例題例題4 已知線段AB的投影，試定出屬于線段AB的點C的投影， 使BC 的實長等于已知長度L。 c L AB zA-zB c ab 五、兩直線的相對位置五、兩直線的相對位置 一、平行兩直線 二、相交兩直線 三、交叉兩直線 四、交叉兩直線重影點投影的可見性 判斷 例題5 例題6 例題7 一、平行兩直線 1若空間兩直線相互平行，則它們的同名投影必然相互平行

19、。 反之，如果兩直線的各個同名投影相互平行，則此兩直線在空間也 一定相互平行。 2平行兩線段之比等于其投影之比。 b a a d b b c c X b a a b d c d c 二、相交兩直線 當兩直線相交時，它們在各投影面上的同名投影也必然相交， 且交點符合空間一點的投影規律。反之亦然。 b X a a b k c d d c k 三、 交叉兩直線 凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。 b X a a b c d d c 1 1 (2 ) 2 四、交叉兩直線重影點投影的可見性判斷 (3 )4 1(2) 4 3 3 4 1 2 1 2 例題例題5 5 判斷兩直線的相對位置 d a c

20、 b o YW YH z 例題例題6 6 判斷兩直線的相對位置 1 1d c 1 1 例題例題7 7 判斷兩直線重影點的可見性 3(4) 3 4 1 2 1(2) 直角投影定理直角投影定理 一、垂直相交的兩直線的投影 定理一定理一垂直相交的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時， 則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。 定理二定理二 相交兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一 條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。 二、交叉垂直的兩直線的投影 定理三定理三相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時， 則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。 定理四定理四兩直線在同一投影面上的投

21、影反映直角，且有一條直 線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。 例題8 例題9 例題10 一、垂直相交的兩直線的投影 c X ba c b a AB垂直于AC,且AB平行于H面,則有ab ac AB垂直于MN,且AB平行于H面,則有ab mm 二、交叉垂直的兩直線的投影 例題例題8 8 過點A作線段EF的垂線AB，并使AB平行于V 面。 b b f 例題例題9 9 過點E作線段AB、CD的公垂線EF。 f e e b 例題例題1010 作三角形ABC，ABC為直角，使BC在MN 上，且BCAB =23。 bc AB ab |yA-yB| bc=BC c a a 平面的投影 平面的表示法

22、 用幾何元素表示平面有五種形式：用幾何元素表示平面有五種形式： 不在一直線上的三個點；不在一直線上的三個點； 一直線和直線外一點；一直線和直線外一點； 相交二直線；相交二直線； 平行二直線；平行二直線； 任意平面圖形任意平面圖形 一、用幾何元素表示平面 b a a c b c b a a c b c a a b c b c a bc a b c d d 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性 一、投影面的垂直面一、投影面的垂直面 P PH 投影特性 (1) H面上的投影abc積聚為一條線 (2) abc、 abc為ABC的類似形 (3) abc與OX、 OY的夾角反映、角的真實大小 A

23、B C a c b a b a b b a b c cc 1、 鉛垂面鉛垂面 2、 正垂面正垂面 投影特性投影特性: 1、a b c 積聚為一條線積聚為一條線 2 、 abc、 a b c 為為 ABC的類似形的類似形 3 、 a b 與與OX、OZ 的夾角的夾角反映反映、 角的真實大小角的真實大小 Z X a b a b b a O Y Y c c c 3 、側垂面、側垂面 投影特性：投影特性：1、 abc積聚為一條線積聚為一條線 2 、 abc、 abc為為 ABC的類似形的類似形 3 、 abc與與OZ、 OY的夾角的夾角反映反映、角的真角的真 實大小實大小 Y z x a bb b a

24、 o Y a c cc 二、投影面的平行面二、投影面的平行面 1、水平面、水平面 投影特性：投影特性： 1、 abc、 abc積聚為一條線，具有積聚性。積聚為一條線，具有積聚性。 2 、 水平投影水平投影abc反映反映 ABC實形實形 Z c YX abb b a o Y acc 2 、正平面、正平面 投影特性：投影特性： 1、abc 、abc積聚為一條線，具有積聚性。積聚為一條線，具有積聚性。 2 、正平面投影、正平面投影abc 反映反映 ABC實形實形 。 c Y a b b o Y a c b c a X Z 3 、 側平面側平面 投影特性：投影特性： 1、 abc 、 a b c 積聚為一條線，具有積聚性。積聚為一條線，具有積聚性。 2 、