1、求曲線方程的幾種常用方法宜君縣高級中學馬衛娟已知動點所滿足的條件，求動點的軌跡方程是平面解析幾何的一個重要 題型。下面就通過實例介紹幾種求曲線方程的常用方法。一.直接法：即課本中主要介紹的方法。若命題中所求曲線上的動點與已 知條件能直接發生關系，這時，設曲線上動點的坐標為(x,y),再根據命題中的已 知條件，研究動點形成的幾何特征，運用幾何或代數的基本公式、定理等列出含 有x,y的關系式，從而得到軌跡方程。例1.在直角3bc中，斜邊是定長2a(a0),求直角頂點c的軌跡方程。解法一：以ab所在直線為x軸，線段ab的中垂線為y軸建立直角坐 標系(如圖所示)則有：a(-a,0)、b(a,0),設動

2、點c的坐標為(x,y)222則滿足條件的點c的集合為p=c/ac +|bc =|ab| 2 2-所以(x a)2 y2jx-a)2 y2 = 2a即 x2 y2 = a2因為當點c與a、b重合時，直角3bc不存在，所以軌跡中應除去a、 b兩點，既x * 士 a。222故所求點c的軌跡萬程為x + y =a(x士a)。解法二:如解法一建立直角坐標系，設a(-a,0)、b(a,0)、c(x,y).ac ibc.kacackbcbc-1精品資料一1 (1)222化簡得：x + y = a (2)由于x # a時，方程(1)與(2)不等價，222所以所求點c的軌跡方程為x + y = a (x。士a)

3、。解法三：如解法一建立直角坐標系，則： a(-a,0)、b(a,0),設c(x,y)1連接co,則有：co =-|ab所以 x2 y2 = -2 2a = a222即 x y = a軌跡中應除去a, b兩點(理由同解法一)222故所求點c的軌跡萬程為x + y = a (x# a)。說明：利用直接法求曲線方程的一般步驟(1)建立適當的直角坐標系，用(x,y)表示曲線上任意點m的坐標；(2)寫出適合條件p的點m的集合p=mp(m);(3)用坐標表示條件p(m),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)為最簡形式；(5)證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點。(此步驟常省略不寫，

4、但一定要注意所求方程中所表示的點是否都在曲線上， 注意特殊點)。直接法是求曲線方程的基本方法。本例雖給出了三種解法，但實質上 都是利用等量關系，直接求出軌跡方程。二.中間變量法(相關點法)如果所求軌跡上的動點p(x,y)與已知曲線上的動點m(x,y)相互制約，那么可根據動點m在已知曲線上的運動規律求出動點 p的軌跡方程。例2.已知一條長為6的線段兩端點a、b分別在x軸，y軸上滑動，求ab中點m的軌跡方程。解:由題意可設a(a,0) , b(0,b)m(x,y). ab =6 a2 +b2 = 36 (1)又.m(x,y)是ab的中點a ax =2b32x2y 2代入(1)得：(2x)2化簡得：

5、x(2y)2 = 36y2 = 922所以ab中點m的軌跡方程是x+y = 9。說明：此解法在求軌跡方程時應用廣泛，并多與線段定比分點坐標公式相結合。三.參數法：即通過一個(或若干個)中間變量的介入，使得點的坐標之間 確立一定的間接關系，從而消去中間變量求得動點軌跡。例3:過不在坐標軸上的定點 m(a,b)的動直線交兩坐標軸于點 a、b,過a、b作坐標軸的垂線交于點p,求交點p的軌跡方程。解：如圖，設p(x,y),并設過點m的動直線為：y-b=k(x-a)b 、(k存在且 kr),貝u： a(0,b-ak), b(a-jo) kbbx = a 所以p(a-1b-ak)即： kky = b - ak消去參數k即得交點p的軌跡方程為：(x - a)(y - b) = ab。說明：本題通過參數k把x, y聯系在一起。在利用參數法求軌跡時，要適當的設定參數，即應使動點坐標 x, y便于 用參數表示，最終應將參數方程化為普通方程。以上介紹了求曲線方程的幾種常用方法，即直接法，中間變量法及參數 法。求曲線方程的關鍵是仔細審題，分析已知條件和曲線的特征，尋找曲線 上的任一點(動點)所滿足的條件，然后把動