1、兩角差的余弦公式教學設計 一、教材內容解析 (1) 內容：高中數學人教A版必修4第三章三角恒等變換第一 節第一課時， 兩角差的余弦公式， 是用兩個單角的三角函數值來表示 兩個差角的余弦值。揭示單角三角函數與復角三角函數的內在聯系， 開辟了三角函數研究的新領域。 (2) 地位：這一內容是任意角三角函數知識的延伸，是后繼內容兩 角和與差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知識基礎，起著承 上啟下的作用。 ( 3)作用分析：兩角差的余弦公式是三角恒等變換這一章的基 礎和出發點，是在學生掌握了任意角的三角函數、 平面向量的基礎上， 進一步研究用單角的三角函數表示兩角差的三角函數。 教材采用了一 種學生

2、易于接受的推導方法， 即先用數形結合的思想， 借助于單位圓 中的三角函數線，推出a,p,a p均為銳角時的公式。對于a, B為任意角時的情況，教材運用向量的知識進行了探究，使得公式的 得出成為一個純粹的代數運算過程， 學生易于理解和掌握， 同時也有 利于提高學生運用向量解決相關問題的意識和能力。 (4)重點與難點：兩角差的余弦公式的探索推導將是本節的重點， 探索過程中老師的組織和適當的引導是本節課的難點， 因為這不僅是 學習積極性的問題，還有探索過程中必用的基礎知識是否具備的問 題，以及對已經學過的知識和方法應用能力等問題。 二、教學目標的設置： （1）知識與技能目標：掌握公式的兩種證明方法，

3、數形結合法和向 量法；學會運用分類討論思想完善證明；熟記公式的結構特征，學會 公式最簡單的應用。 （2）過程與方法目標：以學生學習向量數量積時物理學中力做功的 例子為引例，創設問題情景，經歷用向量數量積推導兩角差余弦公式 的過程，進一步體會向量方法的應用。經歷三角函數線推導兩角差的 余弦公式的過程，加強新舊知識的聯系，鍛煉應用已學過的知識與方 法解決問題的能力，使學生從直觀角度加強對差角公式結構形式的認 識，從而體會數形結合的數學思想方法。 （3）情感、態度與價值觀目標：體驗科學探索的過程，鼓勵學生大 膽質疑、猜想，培養學生的“問題意識”，使學生感受科學探索的樂 趣和勇氣，通過對猜想的驗證，對

4、公式證明的完善，培養學生實事求 是的科學態度和科學精神，感受運用新知解決實際問題的成就感。 三、學生學情分析： 學生在前兩章的學習內容中，學習了單角三角函數以及向量的相 關知識；初步掌握了一些同角三角函數關系式； 對三角函數的定義也 由銳角三角函數擴展到任意角的三角函數； 會借助單位圓分析有關三 角函數的問題。但還遠未達到綜合運用這些方法自主探究和證明的水 平，讓他們做好比較充分的預習，在所有學生獨立探究這個內容時， 教師在做恰當的引導。 四、教學策略分析： 嘗試“將帶著學生走向知識”的探究式教學模式，充分尊重學生 的主體地位。讓學生在頭腦中主動地對知識進行自主構建，教學過程 中設置了從生活走

5、入知識，從特殊到一般，從猜想到理論證明的探究 過程，將學生可能出現的解答思路直觀地呈現在學生面前，用多種方 法的對比呈現，剖析部分學生出現的錯誤，讓學生在糾錯的過程中獲 得新知，培養學生嚴密的思維習慣，嘗試自我提高的喜悅，為學生全 面發展打下基礎。 五、教學過程設計分析: 1.提出問題，引入新課 引例：如圖所示，一個斜 坡的高為6m,斜坡的水平 長度為8m,已知作用在物 體上的力F與水平方向 的夾角為60 ,且大小為10N，在力F的作用下物體沿 斜坡運動了 3m,求力F作用在物體上的功 W? 解：W = F S |F S (60)=30cos(60 ). 提出問題： 1) 、解決問題需要求什么

6、？ 2) 、你能找到哪些與有關的條件？ 3) 、能否利用這些條件求出cos(60 ) ?如果能，提 出你的猜想。 4) 、怎樣檢驗這些猜想是否正確？ 設計意圖：以 生活實例引出 本節課題，感 受數學與實際 的聯系。使學 生增強應用意 識。而如何求 兩角差的余 弦，又是迫切 解決的問題， 增加了學生對 知識的渴望， 激發學生的積 極性。同時也 讓學生體會數 2 .觀察聯想，推導公式 展示課件反問：會不會是coscos cos 呢？ 經過學生對特殊值的驗證cos 6030 COS60 cos30 發現公示不成立。 思考：公式不成立的原因是？ 邊與單位圓的交點為R， POR二，xOP二-，過 P作P

7、M垂直于x軸，OM就是角的余弦線。那 么如何用 與 的正弦線，余弦線來表示 OM呢？ 發現 OM=OB+BM=OA cos +APsin cos cos sin sin 即為：coscos cos sin sin ( 與 都為銳角， 且b a 方法二：請同學觀察這個式子的結構特征，與 a?b=xi X2 yi y有怎樣的聯系呢？ 在單位圓中作出任意角，的終邊與單位圓的交點 學知識的產 生，發展過程。 設計意圖：加 強新舊知識的 聯系，鍛煉應 用已學過的知 識與方法解決 問題的能力， 使學生從直觀 角度加強對差 角公式結構形 式的認識。 設計意圖：讓 學生經歷用向 量知識解決一 個數學問題的 過

8、程，是學生 體會向量方法 A ( cos , sin ), B (cos , sin )是學生產生與向 量數量積的聯系？ 得出公式 coscos cos sin sin 方法小結：1）對比一下兩種證明方 法，你認為哪種更簡潔？向量在我們 數學探究過程中是一種非常簡潔有效的工具，在今后 的學習中我們還將繼續領悟向量在數學探究過程中 的魅力! 2）處理一般探索性問題的方法：先猜想-再證明 3 .例題分析，推廣應用 例1:利用差角余弦公式求cos15的值。 問題1： 15可用哪兩個特殊角來表示？ 預計學生兩種解法： cos15 cos(45 30 )或 cos15 cos(60 45 ) 解：方法一

9、：cos15 cos(45 30 ) = cos45 cos30 sin 45 sin 30 方法二：cos 15cos(60 45 ) 咕6- 2 = cos60 cos45 sin 60 sin 45 = 4 思考1：求出cos15的值后，你能進一步求sin 75的值 嗎？ 思考2 :解決引例中的問題cos(60 ) ? 的應用 設計意圖：使 學生通過應用 理解公式最基 礎的練習，為 后面變換函數 種類的思考做 出鋪墊，應用 所學知識解決 實際問題，獲 得成功的喜 悅。 設計意圖：使 學生通過應用 鞏固練習：求 cos15 cos 105 sin 15 sin 105 = 例 2：已知 s

10、in 4， cos 13，第三 象限角，求cos 的值。 問題1 :根據公式要計算cos 要先求單角的哪些 三角函數值? 解：由sin , ，得 cos . 1 sin2 2 又由cos 得sin 5 13 、 1 cos2 第三象限角， 12 13 理解公式最基 礎的練習。思 考使用公式前 作出必要的準 備，作出必要 準備運用同角 三角函數的知 識。 則cos cos cos sin sin =（5）（ 4 12 5 13 33 65 問題2:如果去掉條件 “是第三象限角”怎樣求 cos 的值? 4.探究思考，鞏固深化: P12 7 練習 1,2,3,4, 課后思考：適當變換兩角差的余弦公式

11、中兩角的形 式，例如取 為-，你能得到哪些結論? 5. 總結概括，加深理解: 1) 公式的探索過程：猜想 證明應用 2) 兩角差的余弦公式：cos cos cos sin sin 3) 已知一個角的正弦（或余弦）值，求該角的余弦 （或正弦）值時，要注意該角所在的象限，從而確定 設計意圖：下 節課公式的推 導做鋪墊。 設計意圖：讓 學生通過小 結，讓學生反 思過程加深對 公式的推導過 程，及公式的 結構特征。 該角的三角函數值符號 6. 作業：P13 7: 1 (1)(3),2, 3, 4 7. 板書設計： 設計意圖：突 出本節課的重 點。 公式： 證明一： 3.1.1兩角差的余弦公式 證明二： 例1: 例2： 小結：