1、2019 年甘肅省天水一中高考數學三模試卷（文科）副標題題號一二三總分得分一、選擇題（本大題共12 小題，共 60.0分）1.若集合 M= x|（x+1）（ x-3） 0 ，集合 N= x|x 1 ，則 MN 等于（）A. （ 1，3）B. （ -， -1）C. （ -1， 1）D. （ -3， 1）2.i 為虛數單位，若復數（ 1+mi）（ 1+ i）是純虛數，則實數m=（）A. -1B. 0C. 1D.0或13.若 x，y 滿足約束條件，則的最小值為（）A. -1B. -2C. 1D. 24. 數學名著算學啟蒙中有關于“松竹并生”的問題：松長四尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長

2、等如圖，是源于其思想的一個程序框圖若輸入的a，b分別為 8、 2，則輸出的n=（）A. 2B. 3C. 5D. 45.“不等式x2-2x+m0在 R 上恒成立”的一個充分不必要條件是（）A. m1B. m1C. m0D.m26.ABCA B Cab c2c cosB=2a+bC=）的內角， ， 的對邊分別為，已知?，則 （A. 30B. 60C. 120 D. 150 7.ABCD 為長方形， AB=2， BC=1，O 為AB 的中點，在長方形ABCD 內隨機取一點，取到的點到 O 的距離大于 1 的概率為（）A.B.C.D.8. 一個三棱錐的三視圖是三個直角三角形，如圖所示， 則該三棱錐的外

3、接球的表面積為（）第1頁，共 17頁A.29B. 30C.D.216 9.ABC外接圓的半徑為1O，且2+=|=|? 等于（），圓心為，則A.B.C. 3D.10.2PFQ，已知拋物線 y =2 x的焦點為 F，點 P在拋物線上， 以 PF 為邊作一個等邊三角形若點 Q 在拋物線的準線上，則|PF|=（）A. 1B. 2C. 2D. 211. 一個封閉的棱長為 2 的正方體容器，當水平放置時，如圖，水面的高度正好為棱長的一半若將該正方體任意旋轉，則容器里水面的最大高度為（）A.1B.C.D.12. 定義在 R 上的函數 y=f（ x），滿足 f（ 3-x） =f（ x）， f （ x）為 f（

4、 x）的導函數，且（ x- ） f（ x） 0，若 x1 x2，且 x1+x2 3，則有（）A. f（ x1） f（ x2）B. f（x1） f （x2）C. f（ x1） =f（ x2）D. 不確定二、填空題（本大題共4 小題，共20.0 分）13.已知直線 y=ax-2 和 y=（ a+2 ） x+1 互相垂直，則實數 a 等于 _f x=3 在點（ 1，f（ 1）處的切線的傾斜角為，則的14.）x已知曲線 （值為 _15. 過點 A（4，1）的圓 C 與直線 x-y-1=0 相切于點 B（ 2，1），則圓 C 的方程為 _16.f x =f x）在區間m 4上的值域為-1，2，設函數（）

5、，若 （，則實數 m 的取值范圍為 _三、解答題（本大題共7 小題，共 82.0 分）17.已知等比數列 an 是遞增數列，且a1+a5= ， a2a4=4（ 1）求數列 an 的通項公式（ 2）若 bn=nan（ nN* ），求數列 bn 的前 n 項和 Sn第2頁，共 17頁18. 如圖：在五面體 ABCDEF 中，四邊形 EDCF 是正方形， ,AD=DE =1， ADE=90， ADC =DCB=120 （ ）求證：平面 ABCD 平面 EDCF ；（ ）求三棱錐 A-BDF 的體積19.某市場研究人員為了了解產業園引進的甲公司前期的經營狀況，對該公司2018 年連續六個月的利潤進行了

6、統計，并根據得到的數據繪制了相應的折線圖，如圖所示（ 1）由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月利潤y（單位：百萬元）與月份代碼 x 之間的關系， 求 y 關于 x 的線性回歸方程， 并預測該公司 2019 年 3 月份的利潤；（ 2）甲公司新研制了一款產品， 需要采購一批新型材料， 現有 A，B 兩種型號的新型材料可供選擇， 按規定每種新型材料最多可使用4 個月，但新材料的不穩定性會導致材料損壞的年限不相同，現對A， B 兩種型號的新型材料對應的產品各100 件進行科學模擬測試，得到兩種新型材料使用壽命的頻數統計如表：使用壽命1 個月2 個月3 個月4 個月總計材料類型A203535101

7、00B10304020100如果你是甲公司的負責人，你會選擇采購哪款新型材料？參考數據：yi=96，xiyi=371參考公式：回歸直線方程為=x+，其中=第3頁，共 17頁20. 已知O為坐標原點， 橢圓C：=1 ab0F（ -c，0），1（ ）的左、右焦點分別為F2（ c，0），過焦點且垂直于x 軸的直線與橢圓 C 相交所得的弦長為3，直線 y=-與橢圓 C 相切（ ）求橢圓 C 的標準方程；（ ）是否存在直線 l：y=k（x+c）與橢圓 C 相交于 E，D 兩點，使得（） 1？若存在，求k 的取值范圍；若不存在，請說明理由！21. 已知函數 f（ x） =ax-1-ln x（ aR）（ ）

8、討論函數 f（ x）的單調性；（ ）若函數f（ x）在 x=1 處取得極值，不等式f（ x）bx-2 對任意 x（ 0， +）恒成立，求實數b 的取值范圍第4頁，共 17頁22.在平面直角坐標系xOy 中，直線l 的參數方程為（其中 t 為參數， 0 ）以坐標原點為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C 的極坐標方2程為 sin =4cos（ 1）求 l 和 C 的直角坐標方程；（ 2）若 l 與 C 相交于 A，B 兩點，且 |AB |=8，求 23. 設函數 f（ x） =|2x+a|-|x-2|（ xR， aR）（ ）當 a=-1 時，求不等式 f（ x） 0 的解集；（ ）若 f

9、（ x） -1 在 xR 上恒成立，求實數a 的取值范圍第5頁，共 17頁y=-2x ，當過點（0，-1）時，直線答案和解析1.【答案】 C【解析】解：解二次不等式（x+1）（x-3 ）0 得：-1x3，即M= （-1，3），又集合 N=x|x 1= （-，1），所以 MN= （-1，1），故選：C由二次不等式的解法得： M= （-1，3），由集合交集及其運算得：MN= （-1，1），得解本題考查了二次不等式的解法及集合交集及其運算，屬簡單題2.【答案】 C【解析】解：（1+mi）（1+i）=（1-m）+（1+m）i是純虛數，即m=1故選：C直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案本題考查了復

10、數代數形式的乘除運算，考 查了復數的基本概念，是基 礎題3.【答案】 A【解析】解：x，y 滿足約束條件的平面區域如下 圖所示：平移直線 y=-2x，由圖易得，當 x=0，y=-1 時，即經過 A 時，目標函數 z=2x+y 的最小值為：-1故選：A先根據約 束條件畫出平面區域，然后平移直 線在 y 軸上的截距最大，從而求出所求本題主要考查了簡單的線性規劃，以及利用幾何意 義求最值，屬于基礎題4.【答案】 C【解析】第6頁，共 17頁解：n=1，a=8+4=12，b=4，ab 否，n=2，n=2，a=12+6=18，b=8，ab 否，n=3，n=3，a=18+9=27，b=16，a b 否，n

11、=4，n=4，a=27+=40.5，b=32，ab 否，n=5，n=5，a=40.5+20.25=60.75，b=64，a b 是，輸出 n=5，故選：C根據條件 進行模擬運算即可本題主要考查程序框圖的識別和識別，結合條件進行模擬運算是解決本 題的關鍵5.【答案】 D【解析】解：“不等式 x20在R2 “即” ，“上恒成立 ”的充要條件 為：“（ ）-2x+m-2 -4m 0m 1又 “m2是“”m1的“充分不必要條件，即 “不等式 x20在R上恒成立 ”的一個充分不必要條件是： ” ，“-2x+mm2故選：D由二次不等式恒成立 問題得：“不等式 x2-2x+m0在 R 上恒成立 ”的充要條件

12、2為：“（-2）-4m 0“即” m 1，“由充分必要條件得： “m2是“”m1的“充分不必要條件，即 “不等式 x 2-2x+m0在 R 上恒成立 ”的一個充分不必要條件是： ”m2，“得解本題考查了二次不等式恒成立 問題及充分必要條件，屬 簡單題6.【答案】 C【解析】解：根據題意，若 2c?cosB=2a+b，則有：2c=2a+b，整理得：a2+b2-c2=-ab，可得：cosC=-，又在 ABC 中，0 C 180，C=120 故選：C第7頁，共 17頁結合題意，由余弦定理可得 2c變2 22=-ab，根據=2a+b， 形可得 a +b -c余弦定理可求 cosC的值 結圍，分析可得答

13、案，合C的范本題考查三角形中的幾何計查應用，屬于基礎題算，考 了余弦定理的7.【答案】 B【解析】解：已知如圖所示：長方形面積為 2，以 O 為圓心，1 為半徑作圓，在矩形內部的部分（半圓）面積為因此取到的點到 O 的距離大于 1 的概率 P=1-故選：B本題考查的知識點是幾何概型的意義鍵，關 是要找出點到 O 的距離大于 1 的點對應的圖形的面積，并將其和長方形面積一齊代入幾何概型 計算公式進行求解“”為線長積積段度、面 、體 等，幾何概型的概率估算公式中的 幾何度量 ，可以而且這個 “幾何度量 ”只與 “大小 ”有關，而與形狀和位置無關解決的步 驟均為：求出滿足條件 A 的基本事件 對應的

14、“幾何度量 ”N（A ），再求出總的基本事件對應的 “幾何度量 ”N，最后根據 P=求解8.【答案】 A【解析】解：由三視圖復原幾何體，幾何體是底面是直角三角形，一條側棱垂直底面直角 頂點的三棱 錐；把它擴展為長方體，兩者有相同的外接球，它的對角線的長為球的直徑：，球的半徑為：該三棱錐的外接球的表面 積為：，故選：A幾何體復原為底面是直角三角形，一條側棱垂直底面直角頂點的三棱錐 擴，第8頁，共 17頁展為長方體，長方體的對角線的長，就是外接球的直徑，然后求其的表面 積本題考查三視圖，幾何體的外接球的表面 積，考查空間想象能力，計算能力，是基礎題9.【答案】 C【解析】解：，O，B，C 共線，B

15、C 為圓的直徑，如圖AB AC ，=1，|BC|=2，|AC|=，故ACB=則，故選：C利用向量的運算法 則將已知等式化 簡得到，得到 BC 為直徑，故ABC 為直角三角形，求出三 邊長可得 ACB 的值，利用兩個向量的數量 積的定義求出的值本題主要考查向量在幾何中的 應用、向量的數量積，向量垂直的充要條件等基本知識 求出ABC 為直角三角形及三 邊長，是解題的關鍵【答案】 B10.【解析】線標線（x-），解：拋物 的焦點坐（ ，0），可得直 PF：y=可得：，可得：x=，則 y=，|PF|=2故選：B求出拋物 線的焦點坐 標（ ，0），利用拋物線的簡單性質求出直線方程，然后第9頁，共 17頁

16、求出結果本題考查拋物線的簡單性質的應用，考查轉化思想以及 計算能力11.【答案】 C【解析】解：正方體的對角線長為 2，故當正方體旋 轉的新位置的最大高度 為 2，又水的體 積是正方體體 積的一半，容器里水面的最大高度為對角線的一半，即最大液面高度為故選：C根據水的體 積為容器體積的一半可知液面高度 為物體新位置高度的一半本題考查了幾何體的體 積計算，屬于基礎題12.【答案】 B【解析】解：f（3-x ）=f（x），函數 圖象關于直 線 x=對稱，又 f （x）0當 x時，函數是減函數當 x時，函數是增函數x1 x2，且x 1+x2 3x1，x2（ ，+）f（x 1）f（x2）故選：B圖象關于

17、直線x=對稱，再由“f （x）0”可由 “f（3-x）=f（x）”，知函數知：當x時，函數是減函數當 x時“x x ，且x3”，得知x，x，函數是增函數，最后由1 21+x212（ ，+），應用單調性定義得到結論 第10 頁，共 17頁本題主要考 查函數的 對稱性和 單調性，這里還考查了導數，當導數大于零 時，函數是增函數，當導數小于零 時，函數是減函數13.【答案】 -1【解析】解：直線 y=ax-2 和 y=（a+2）x+1 互相垂直，他們的斜率之 積等于 -1，即 a（a+2）=-1，a=-1，故答案為：-1利用斜率都存在的兩直 線垂直，斜率之積等于 -1，解方程求出實數 a的值本題考查

18、斜率都存在的兩直 線垂直，斜率之積等于 -114.【答案】【解析】解：因為：曲線 f（x）=x3所以：函數 f（x）的導函數 f （x）=2x2，可得：f（1）=2，因為：曲線 f（x）=x3 在點（1，f （1）處的切線的傾斜角為 ，所以：tan =f（1）=2，所以：=故答案為： 求出函數的 導數，求得 f （x）在點（1，f（1）處切線 斜率，利用同角三角函數關系式即可化 簡得解本題考查導數的幾何意 義：函數在某點處的導數即為曲線在該點處切線的斜率，同時考查三角函數化 簡求值，屬于基礎題15.【答案】 （ x-3）2 +y2=2【解析】解：直線 x-y-1=0 的斜率為 1，過點 B 直

19、徑所在直 線方程斜率 為 -1，B（2，1），此直 線方程為 y-1=-（x-2），即x+y-3=0，第11 頁，共 17頁設圓心 C 坐標為（a，3-a），|AC|=|BC|，即解得：a=3，圓心 C 坐標為（3，0），半徑為22則圓 C 方程為（x-3 ）+y =222故答案為：（x-3）+y =2=，求出直線 x-y-1=0 的斜率，利用兩直線垂直時斜率的乘 積為 -1 求出過點 B 的直徑所在直 線方程的斜率，求出此直 線方程，根據直線方程設出圓心 C 坐標，根據 |AC|=|BC|，利用兩點間的距離公式列出方程，求出方程的解確定出C 坐標，進而確定出半徑，寫出 圓的方程即可此題考查了

20、圓的標準方程，涉及的知識有：兩點間的距離公式，兩直線垂直時斜率滿足的關系，求出圓心坐標與半徑是解本 題的關鍵16.【答案】 -8， -1【解析】解：函數f （x）的圖象如圖所示，結合圖象易得當 m-8 ，-1時，f （x）-1，2故答案為：-8 ，-1函數 f （x）的圖象如圖所示，結合圖象易得答案本題考查了函數的 值域和定義域的關系，關鍵是畫圖，屬于基礎題17.2， a2a4=4= a3 =4【答案】 解：（ 1）由 an 是遞增等比數列， a1+a5=a1 1 4，； +a q =解得： a1= ， q=2；數列 an 的通項公式：an=2n-2；（ 2）由 bn=nan （nN* ），n

21、-2bn=n?2；第12 頁，共 17頁S1= ；那么 S-1+201+n 2n-2，n=122 +32 +012?n-2n-1，則 2Sn=12 +22 +32 +（ n-1） 2+n?2將 -得： Sn=+n?2n-1；即： Sn=-1+202n-2） +n?2n -1n-1（2+2+2 +2=+n 2?【解析】（1）根據an是遞增等比數列，a1+a5=，即可求解數列a n的通項a2a4=4公式（2）由bn=nan（nN* ），可得數列b n 的通項公式，利用錯位相減法即可求解前n 項和 Sn本題主要考查數列通項公式以及前 n 項和的求解，利用錯位相減法是解決本題的關鍵18.【答案】 （

22、）證明： 在五面體 ABCDEF 中，四邊形 EDCF 是正方形， ADE =90，AD DE ， CD DE ，AD CD =D， DE 平面 ABCD ，DE ? 平面 EDCF ， 平面 ABCD 平面 EDCF （ ）解：DE 平面 ABCD ，四邊形 EDCF 是正方形，AD =DE=1， ADE =90 ， ADC=DCB =120 三棱錐 A-BDF 的體積：VA-BDF=VF-ABD =1= 【解析】本題考查面面垂直的 證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基 礎知識 ，考查運算求解能力，考查數形結合思想，是中檔題（）推導出 AD DE，CDDE

23、，從而 DE平面 ABCD ，由此能證明平面第13 頁，共 17頁ABCD 平面 EDCF錐 A-BDF 的體積 VA-BDF =VF-ABD =，由此能求出結果（）三棱19.組，即（ 1， 11），（ 2，【答案】 解：（ 1）由折線圖可知統計數據（ x， y）共有 613），（ 3， 16），（ 4， 15），（ 5，20），（ 6， 21）計算可得 =3.5， =yi = 96=16 ，所以=2，=-?=16-2 3.5=9 所以月度利潤 x 與月份代碼 x 之間的線性回歸方程為=2x+9，當 x=11 時， =211+9=31 故預計甲公司2019 年 3 月份的利潤為31 百萬元（

24、2） A 型新材料對應產品的使用壽命的平均數為=2.35 ，B 型新材料對應的產品的使用壽命的平均數為=2.7， 應該采購B 新新材料【解析】（1）由折線圖可知統計數據（x ，y）共有6 組，即（1，11），2（，13），3（，16），4（，15），5（，20），6（，21）根據這 6 組數據可求得 線性回歸方程，再令 x=11，可得；（2）比較 A ，B 兩種新材料的使用壽命的平均進行比 較可得本題考查了線性回歸方程，屬中檔題20.【答案】 解：（ ） 在=1（ a b 0）中，令 x=c，可得 y= ，過焦點且垂直于x 軸的直線與橢圓C 相交所得的弦長為3， =3 ，直線 y=-與橢圓 C

25、 相切，b=，a=2a2=4， b2=3 故橢圓 C 的方程為+=1；（ ）由（ ）可知 c=1 ，則直線l 的方程為y=k（ x+1 ），第14 頁，共 17頁聯立，可得（ 4k2+3） x2+8k2x+4 k2-12=0，則 =64k4-4（4k2+3）（ 4k2-12）=144 （ k2+1） 0，x1+x2=-， x1x2=，y1y2=k2（ x1+1 ）（ x2 +1） =-，（）1， ? 1，（ x2-1， y2）（ x1-1， y1） =x1x2 -（x1+x2） +1+y1 y2 1，即+1-1，2整理可得k 4，直線 l 存在，且k 的取值范圍為（-2， 2）【解析】題線與橢

26、圓C 相切，可得 b=，解之即（）由 意可得=3，以及直 y=-得 a，b，從而寫出橢圓 C 的方程；（）聯立方程組，根據韋達定理和向量的運算，即可求出k 的取值范圍本題考查了直線方程，橢圓的簡單性質、向量的運算等基礎知識與基本技能方法，考查了運算求解能力， 轉化與化歸能力，屬于中檔題21.【答案】 解：（ ）函數 f（ x）的定義域為（0， +）.若 a0，則 f（ x） 0，f（x）在（ 0，+）上遞減；若 a 0，則由 f（ x） 0 得：；由 f（ x） 0 得：f（x）在上遞減，在遞增（ ） 函數 f（ x）在 x=1 處取得極值，f（ 1） =0 ，即 a-1=0 ，解得： a=1

27、f（x） =x-1-ln x由 f（ x） bx-2 得： x-1-ln xbx-2，x 0，第15 頁，共 17頁令，則由 g（x） 0 得： xe2；由 g（x） 0 得： 0x e2所以， g（ x）在（ 0， e2）上遞減，在（e2， +）遞增，【解析】（）對函數進行求導，然后令導函數大于 0 求出 x 的范圍，令導函數小于 0 求出 x 的范圍，即可得到答案；（）由函數f（x）在x=1 處取得極值求出 a 的值，再依據不等式恒成立 時所取的條件，求出實數 b 的取值范圍即可本題主要考查導函數的正 負與原函數的 單調性之間的關系，即當導函數大于0 時原函數單調遞增，當導函數小于 0 時原函數單調遞減，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值掌握不等式恒成立 時所取的條件22.【答案】 解：（1）直線l的