1、高三數學總復習知識點 主編：楊林森目錄一、高一上1、 數與式的計算 32、 集合 63、 函數及其性質 84、 幾個基本初等函數 105、 三角函數 132、 高一下1、 解析幾何() 142、 三角函數() 183、 圓 214、 平面向量 235、 數列 266、 不等式 293、 高二上1、 命題與邏輯推理 312、 解析幾何() 333、 立體幾何 414、 復數 464、 高二下1、 計數法 492、 概率() 543、 統計() 565、 附錄 附錄() 59 附錄() 61 附錄() 62六、附錄答案（另附）高三數學總復習知識點高一數學 （一）高一上學期： 1.數與式的計算 （實

2、數的概念） （1）常用的數集符號：自然數集：N 整數：Z 有理數集：Q 實數集：R （2）絕對值： . 數軸上兩點A,B的坐標分別為，則A,B之間的距離 例：化簡 (實數的運算)（1）實數運算的順序：先乘方、開方，然后乘除，再加減，有括號先進行括號內的運算.（2）指數冪的推廣： 正整數指數冪： （a為正整數） 分數指數冪： （，n為正整數） （） 負整數指數冪、零指數冪： ， （） （3）實數指數冪的運算法則： 例：1. 2. （式的計算） 乘法公式： 平方差公式： 完全平方公式： 立方和、差公式： 例：計算. (分式運算與根式化簡) 一、分式. 1.定義：式子叫做分式，其中表示兩個整式，且中

3、含有字母，. 2.分式的基本性質：（1）. （2）分式的符號法則：分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變. 3.分式的運算：（1）加減： . （2）乘除：； . （3）乘方：. 二、二次根式. 1.二次根式的性質：（1） ； （2） （3） （4） 2.二次根式的運算. （1）加減運算的實質是合并同類二次根式，其步驟是先化簡，后找“同類”合并. （2）做乘法時，要靈活運用乘法公式；做除法時，有時要寫為分數的形式，然后進行分母有理化. （3）化簡時要注意的正負性，尤其是隱含的正負性. 例：（1）當式子的值為零時，的值是_ （2）化簡：； 2.集合 （集合及其表示）（1）

4、 集合的中元素的三個特性： 元素的確定性 元素的互異性 元素的無序性（2） 集合的表示法：列舉法；描述法；維恩圖法.（3）集合的分類：有限集 含有有限個元素的集合 無限集 含有無限個元素的集合 空集 不含任何元素的集合 例：1.下列四組對象，能構成集合的是 （ ） A.某班所有高個子的學生 B.著名的藝術家 C.一切很大的書 D.倒數等于它自身的實數 （數集） （1）基本數集：非負整數集（即自然數集） 記作：N正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R （2）一般數集：除了基本數集以外的其他數集.例：用 _N -9_Z _Q _R （集合之間的關系） （1）“包含”關系子集 注意：

5、有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。 (2)“相等”關系：A=B (55，且55，則5=5) 實例：設 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同則兩集合相等”即： 任何一個集合是它本身的子集。AA 真子集:如果AB,且A B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA) 如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB 同時 BA 那么A=B (3) 不含任何元素的集合叫做空集，記為規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有n個元素的集合，含有個子集，個真子集 例：1.集合a，b，c 的真子集共有 個 2.若集合M=y|y=x2-2x+1,xR,

6、N=x|x0，則M與N的關系是 .3.設集合A=，B=，若AB，則的取值范圍是 （集合的運算）運算類型交 集并 集補 集定 義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集記作AB（讀作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集記作：AB（讀作A并B），即AB =x|xA，或xB)設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）記作，即CSA=韋恩圖示SA性 質AA=A A=AB=BAABA ABBAA=AA=AAB=BAABABB(CuA) (CuB)= Cu (AB)(Cu

7、A) (CuB)= Cu(AB)A (CuA)=UA (CuA)= 例：1.已知集合A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若BC，AC=，求m的值. 3.函數及其性質 （函數的概念及表示方法） 1.函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數記作： y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合f(x)| xA 叫做函數的值域

8、 （函數的定義域與值域） 1.定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數不小于零； (3)對數式的真數必須大于零；(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零， (7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.u 相同函數的判斷方法：表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；定義域一致 (兩點必須同時具備)2.值域 : 先考慮其定義域(1)觀察

9、法 (2)配方法(3)代換法例：求下列函數的定義域： （函數的基本性質）1.函數的單調性(局部性質)（1）增函數設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是增函數.區間D稱為y=f(x)的單調增區間.如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1x2 時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.注意：函數的單調性是函數的局部性質；（2） 圖象的特點如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(

10、x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.(3).函數單調區間與單調性的判定方法(A) 定義法： 任取x1，x2D，且x110a10a1定義域x0定義域x0值域為R值域為R在R上遞增在R上遞減函數圖象都過定點（1，0）函數圖象都過定點（1，0）例：1.函數y=log(2x2-3x+1)的遞減區間為 2.若函數在區間上的最大值是最小值的3倍，則a= 3.已知，（1）求的定義域（2）求使的的取值范圍_. 5.三角函數 （注：本章以公式為主！） （其中） sin(90 -a) = cosa, cos(90 -a) = sina. s

11、in(90 +a) = cosa, cos(90 +a) = -sina.sin(270 -a) = -cosa, cos(270 -a) = -sina. sin(270 +a) = -cosa, cos(270 +a) = sina. （二）高一下學期： 1.解析幾何（I） (平面直線) (1).數軸上兩點間的距離公式：|AB|=|X1-X2|. (2).x軸上兩點間的距離公式： |AB|=|X2-X1|，其中A(X1,0),B(X2,0). (3).與x軸平行的直線上兩點的距離：|AB|=|X1-X2|，其中A(X1,y),B(X2,y). (4).y軸上兩點間的距離公式： |AB|=|

12、y2-y1|，其中A(0,y1),B(0,y2). (5).與y軸平行的直線上兩點的距離：|AB|=|y1-y2|，其中A(x,y1),B(x,y2). (6).任意兩點間的距離公式：|AB|=，其中A(X1,y1),B(X2,y2). 例：1.求下列各組兩點之間的距離 （1）A(-3,9),B(-3,4) (2) A(4,7),B(10,7) (3) A(3,-2),B(4,5) 2.已知A(3,x),B(3,9),|AB|=8,求x的值. (7).直線與x軸平行時，傾斜角規定為0. (8).直線的傾斜角的范圍時0. (9).直線的斜率：直線的傾斜角的正切tan是直線的斜率，通常用k表 示

13、即k=tan （）. (10).任何一條直線都有傾斜角，但不是所有的直線都有斜率. (11).除了=（lx軸）外，角與其正切tan是一一對應的，也可用 tan 表 示的傾 斜程度. (12).傾斜角與斜率之間的關系為： 當 =0，即直線l平行于x軸時，k=0. 當0，即直線l的傾斜角為銳角時，k0. 當，即直線l的傾斜角為鈍角時，k0. 當=，即直線l平行于y軸時，k不存在，反之亦然. (13).斜率公式：平面上的過兩點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)的直線的斜率 為 k=(x1x2) 當x1=x2時，直線垂直于x軸，的斜率不存在. 例：1.若三點A(,m),B(-2,3),C(

14、3,-2)在同一條直線上，求m的值. 2.求經過A(-2,0),B(-5,3)兩點的直線斜率、傾斜角. （平面直線的方程） (1).點斜式方程 直線l的斜率為k，過已知點A(X0,y0) 設p(x,y)為直線上任意異于A的一點，已知k得 K= 即 y-y0=k(x-x0) (2).斜截式方程 在點斜式方程中，如果點A在y軸上，坐標A(0,6),此時直線的點斜式方程可 化為 y=kx+b (b是直線在y軸上的截距) (3).直線方程的一般式 形如Ax+By+C=0(A,B不同時為0)的方程叫做直線的一般式方程. 由Ax+By+C=0(B0),可求得直線的斜率k=- ,截距b=- 注：二元一次方程

15、都是直線的方程，直線方程都是二元一次方程. 例：1.求過M(4，-2)，且滿足下列條件的直線方程 斜率k為-3 且過N(3,-1) 平行于x軸 平行于y軸 2.求直線在x軸、y軸上的截距以及與坐標軸圍成的三角形的面積. 3.直線過點A(-2,3)且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4，求直線的 方程. (直線間的位置關系) (1).兩條直線平行 k1=k2,(k1,k2都存在) (2).兩條直線垂直 k1=-,即k1k2=-1 (3).求相交直線的交點 , ,(方程組的解就是兩直線的交點） (4).點到直線的距離 設點M(x0,y0)為直線外一點，過M向AB引垂線， 垂足為D,把線段MD的長d叫點

16、M到直線AB的距離. 改寫的方程為,以代入，得： 即 (5).兩條平行直線間的距離 即 () 例：1.已知直線與直線平行，求的值. 2.已知中，A(2，-1)，B(4,3)，C(3，-2) 求 BC邊上的高所在的直線. 過C與AB平行的直線方程. 3.求和:過點(7，-2)，(5,2)的交點坐標. 4.求點p(4,0)關于直線的對稱點的坐標. 2.三角函數(II) (兩角和與差的三角公式) 正弦： 余弦： 正切： 例：1.求證： 2.已知，求. 3.已知 求的值. 3.已知，且都是第二項限角 求 (倍角公式) 正弦： 余弦： 正切： ()注把化為一個角的一種三角函數為，其中 ， 例：1.已知，

17、求的值. 2.求的值. 3.已知，求的值. (正弦定理) 定義：三角形內角的正弦與對邊的對應比相等. 公式：(R表示三角形外接圓的圓心) 公式的適用范圍：已知兩夾角一邊 已知兩邊一對角（可能有兩個解） 已知兩角一對邊 (余弦定理) 定義：三角形任一內角的對邊的平方，等于鄰邊平方和減去鄰邊同這個內角余弦乘 積的二倍. 公式： 公式的適用范圍：已知三邊 已知兩邊夾一角 (三角形的面積公式) 例：1.已知在中，, 解此三角形. 2.在中，已知， 求和. 3.圓 (圓的標準方程) 以c(a,b)為圓心，半徑為r，時，點p(x,y)在圓上，則 . 注：當圓心為原點o(0,0)時， (x0,y0)在圓上是

18、切點，則切點已知的且現方程為 例：1.求過點A(2,-3)，B(-2,-5),且圓心在直線 上的直線方程. (直線與圓的位置關系) (1). 直線與圓的位置關系的判定：位置關系示意圖像代數方法幾何方法方程組（1）方程組（2）相交二解相切一解相離無解 點(x,y)為圓心 弦長問題： 補充：特殊位置的圓的方程 與x軸相切 與y軸相切 圓上的點到直線的最短距離： 圓上的點到直線的最長距離： (d為點到直線的距離) 例：1.已知直線被 截得的弦長為8，求的值. (圓與圓的位置關系) 外離:(、為兩圓的半徑) 外切： 相交： 內切： 內含： 判斷兩個圓的位置關系 求出圓心距： ，再根據概念，判斷. 例：

19、1.已知圓，圓 ，判斷兩圓的位置關系. (圓的一般方程) (1). 公式：，圓心為 半徑為 例： 1.圓的圓心坐標和半徑 分別為_ 4.平面向量1向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向(2)向量的表示：幾何表示法 ，；坐標表示法(3)向量的長度：即向量的大小，記作(4)特殊的向量：零向量0單位向量為單位向量1注意區別零向量和零(5)相等的向量：大小相等，方向相同(6)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量(7)向量的夾角 夾角的范圍是： (8) 的幾何意義： 等于的長度與

20、在方向上的投影的乘積 在上的投影為(9)平移： 點按平移得到；函數按平移得到。4 向量的運算：向量的加減法，數與向量的乘積，向量的數量積（內積）及其各運算的坐標表示和性質見下表： 運算類型幾何方法坐標方法運算性質向量加法1平行四邊形法則（共起點構造平行四邊形）2三角（多邊）形法則（向量首尾相連）向量減法三角形法則（共起點向被減）數乘向量1是一個向量,滿足:20時,與同向;0時, 與異向;=0時, =0向量的數量積是一個實數1或或時, =02且時, ，5重要定理、公式：(1)平面向量基本定理是同一平面內兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內任一向量，有且僅有一對實數，使對于基底，有 已知，C是A

21、、B中點，則以原點為起點的三個向量的終點A、B、C在同一條直線上的充要條件是，其中，(2)兩個向量平行的充要條件（）存在惟一的實數l使得（注意，時，顯然）；若則（可以為）向量的共線 是證明三點共線的重要依據（需注意說明兩個向量有公共點）(3)兩個向量垂直的充要條件當，時，0 (4)向量夾角的情況夾角為銳角（其中即為不同向共線）夾角為鈍角（其中即為不反向共線）夾角為直角向量之間的夾角常用來判斷三角形的形狀。（判斷三角形的形狀也可以利用正余弦定理） 5.數列 (遞推數列與前n項和公式) (1).數列的前n項和 (2).設數列的前n項和為，則 例：1.在數列中， 求求數列的通項公式. 問數列的前多少

22、項之和最大？ (等差數列) (1).要證明數列為等差數列，只要證明(常數)即 可. (2).等差數列的通項公式： ； (3).等差中項： 兩個數a,b有等差中項A,且. (4).若已知三個數成等差數列，可設這三個數為. (5).等差數列的前n項和 ； ； (6).等差數列的通項為 例：1.等差數列中，求. 2.在等差數列中，已知， 求. (等比數列) (1).要證明數列為等比數列，只要證明 (2).等比數列的通項公式 (3).等比中項： (4).等比數列的前n項和 當q=1時， 當q1時， (5).在等差數列中，其前m項和記為, 則 成等差數列. (6).在等比數列中，其前m項和記為, 則 成

23、等比數列. (7).在等比數列中，有. 為奇數時，； 為偶數時，. (8).設為等比數列，若，且, 則 例：1.在等比數列中，和是方程 的兩個根，求. 2.求等比數列從第5項到第8項的和. 3.數列的通項公式為，求數列的前n 項和. 6.不等式 (不等式及其基本性質) (1).基本性質1：不等式兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個式，不等號方向不變. (2).基本性質2：不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號方向不變. (3).基本性質3：不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個負數，不等號方向變向. (等式或不等式的等價表示) (1).對于任意兩個實數，有 (2).若(對稱性) (3).

24、若(傳遞性) (4).若(相加法則) (5).若(相乘法則) 例：1.比較實數與的大小. (一元二次不等式) (1).形如為一元二 次不等式 (2).一元二次不等式的解集一元二次不等式，其中，且 空集 空集 例: 1.已知不等式的解集為，試求 的值. 2.已知函數. (1).求的定義域. (2).若，求的取值范圍. (絕對值不等式) (1).若不等式中含有絕對值號，且變量x出現在絕對值號內，則該不等 式叫做絕對值不等式. (2).基本絕對值不等式：. 例：1.解絕對值不等式.高二數學（1） 高二上學期： 1. 命題與邏輯推理 （命題） （1）命題：能夠判斷對錯的語句。 （2）真命題：正確的命題。 假命題：錯誤的命題。 （3）命題的表示：常常用小寫英文字母來表示命題。 例：判斷下列語句是否為命題。 是有理數；6是2的倍數；1是質數嗎？ （命題的邏輯聯結） （1）pqp且q真真真真假假假真假假假假 （2）pqp或q真真真真假真假真真假假假 （3）非：若是兩個命題，如果否定了，則把叫做“非” 或“的非”。 注：若為真，則非為假；若為假，則非為真。 例：已知命題：四邊形的一組對邊平行，：四邊形的一組對邊相等，請指出下列命題的真假。且；或；非。 (充分