1、微積分入門精華,定積分,第一節 定積分的概念與性質,微積分入門精華,實例1 （求曲邊梯形的面積）,一、問題的提出,微積分入門精華,用矩形面積近似取代曲邊梯形面積,顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積,（四個小矩形）,（九個小矩形）,微積分入門精華,曲邊梯形如圖所示，,微積分入門精華,曲邊梯形面積的近似值為,曲邊梯形面積為,微積分入門精華,實例2 （求變速直線運動的路程）,思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值,微積分入門精華,（1）分割,（2）求和,（3）取極限,路程的精確值,微積

2、分入門精華,二、定積分的定義,定義,微積分入門精華,記為,積分上限,積分下限,積分和,微積分入門精華,注意：,微積分入門精華,定理1,定理2,三、存在定理,微積分入門精華,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積的負值,四、定積分的幾何意義,微積分入門精華,幾何意義：,微積分入門精華,例1 利用定義計算定積分,解,微積分入門精華,五、定積分 的性質,微積分入門精華,證,（此性質可以推廣到有限多個函數作和的情況）,性質1,微積分入門精華,證,性質2,微積分入門精華,補充：不論 的相對位置如何, 上式總成立.,例 若,（定積分對于積分區間具有可加性）,則,性質3,微積分入門精華,證,性質4,性質5,微積分入

3、門精華,解,令,于是,可以直接作出答案,微積分入門精華,性質5的推論：,證,（1）,微積分入門精華,證,說明： 可積性是顯然的.,性質5的推論：,（2）,微積分入門精華,證,（此性質可用于估計積分值的大致范圍）,性質6,曲邊梯形的面積 夾在兩個矩形之間,微積分入門精華,解,例2 不計算定積分 估計 的大小,微積分入門精華,證,由閉區間上連續函數的介值定理知,性質7（Th5.1 定積分第一中值定理）,積分中值公式,微積分入門精華,使,即,積分中值公式的幾何解釋：,微積分入門精華,Th5.2(推廣的積分第一中值定理）,微積分入門精華,考察定積分,記,積分上限函數,六、積分上限函數及其導數,微積分入

4、門精華,證,微積分入門精華,由積分中值定理得,微積分入門精華,計算下列導數,微積分入門精華,補充,證,微積分入門精華,例1 求,解,分析：這是 型不定式，應用洛必達法則.,微積分入門精華,定理2（原函數存在定理）,定理的重要意義：,（1）肯定了連續函數的原函數是存在的.,（2）初步揭示了積分學中的定積分與原函數之間的聯系.,微積分入門精華,定理 3（微積分基本公式）,證,七 牛頓萊布尼茨公式,微積分入門精華,令,令,牛頓萊布尼茨公式,微積分入門精華,微積分基本公式表明：,注意,求定積分問題轉化為求原函數的問題.,微積分入門精華,例4 求,原式,例5 設 , 求 .,解,解,微積分入門精華,例6

5、 求,解,由圖形可知,微積分入門精華,則有,1. 微積分基本公式,積分中值定理,微分中值定理,牛頓 萊布尼茨公式,微積分入門精華,定理,八、換元公式,微積分入門精華,證,微積分入門精華,應用換元公式時應注意:,（1）,（2）,微積分入門精華,例1 計算,例2 計算,微積分入門精華,例1 計算,解,湊微分是第一類換元積分法，特點是不要明顯地換元，也就不要更換積分的上下限。,微積分入門精華,例2 計算,解,原式,微積分入門精華,例3 計算,解,微積分入門精華,三角代換和根式代換,微積分入門精華,例4 計算,解,令,原式,明顯換元,微積分入門精華,證,微積分入門精華,奇函數,例6 計算,解,原式,偶

6、函數,單位圓的面積,微積分入門精華,總結： 1、定積分公式 2、定積分計算方法（直接代入，湊微分，根式代換，三角代換） 3、根式和三角代換為明顯的代換，所以換元要換上下限 4、 介紹了積分上限函數 5、積分上限函數是原函數 6、計算上限函數的導數,微積分入門精華,證,（1）設,微積分入門精華,（2）,由此計算,設,微積分入門精華,推導,九、分部積分公式,微積分入門精華,例 計算,解,微積分入門精華,例2 計算,解,令,則,微積分入門精華,例3 計算,解,例4 計算,微積分入門精華,例5 計算,解,微積分入門精華,第四節 廣義積分一、無窮限的廣義積分,微積分入門精華,例1 計算廣義積分,解,簡記

7、為,微積分入門精華,例1 計算廣義積分,解,微積分入門精華,證,微積分入門精華,微積分入門精華,微積分入門精華,微積分入門精華,微積分入門精華,微積分入門精華,微積分入門精華,回顧,曲邊梯形求面積的問題,第五節、定積分應用,微積分入門精華,1、幾何上的應用,微積分入門精華,面積,微積分入門精華,微積分入門精華,一、平面圖形的面積,1. 直角坐標情形,設曲線,與直線,及 x 軸所圍曲,則,邊梯形面積為 A ,右圖所示圖形，面積元素為,微積分入門精華,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積,微積分入門精華,有時也會選 y 為積分變量,微積分入門精華,解,（1）作圖 （2）求出兩曲線的交點,（3） 選 為積

8、分變量,（4）代公式,微積分入門精華,解,兩曲線的交點,選 為積分變量,微積分入門精華,解題步驟：,(2) 求出交點；,(3) 選擇合適的積分變量，確定積分區間，計算。,(1) 畫出草圖；,微積分入門精華,例3. 求橢圓,解: 利用對稱性 ,所圍圖形的面積 .,有,利用橢圓的參數方程,應用定積分換元法得,當 a = b 時得圓面積公式,微積分入門精華,二、立體體積,設所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x),則對應于小區間,的體積元素為,因此所求立體體積為,上連續,1. 已知平行截面面積函數的立體體積,微積分入門精華,例1. 一平面經過半徑為R 的圓柱體的底圓中心 ,并,與底面交成 角,解: 如圖所示取坐標系,則圓的方程為,垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為,利用對稱性,計算該平面截圓柱體所得立體的體積 .,微積分入門精華,思考: 可否選擇 y 作積分變量 ?,此時截面面積函數是什么 ?,如何用定積分表示體積 ?,提示:,微積分入門精華,旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體這直線叫做旋轉軸,圓柱,圓錐,圓臺,旋轉體的體積,微積分入門精華,當考慮連續曲線段,軸旋轉一周圍成的立體體積時,有,當考慮連續曲線段,繞 y 軸旋轉一周圍成的立體體積時,有,2. 旋轉體的體積,微積分入門精華,旋轉體的體積為,微積分入門精華,例1. 計算