1、2.7圓,命題解讀,考綱解讀,理解圓的有關概念.理解弧、弦、圓心角的概念,了解點與圓的位置關系,掌握圓的性質、圓周角定理及其推論,理解圓內接四邊形對角互補.了解三角形的內心與外心以及直線與圓的位置關系.掌握切線的概念,掌握切線與過切點的半徑之間的關系.會過圓上一點畫圓的切線.掌握弧長及扇形面積的計算公式.了解正多邊形的概念、正多邊形與圓的關系,命題解讀,考綱解讀,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點1圓的有關概念與性質 1.圓的有關概念 (1)圓:圓是到定點的距離等于定長的點的集合;這個定點叫做圓心,這個定長叫做半徑;圓心確定了圓的位置,半徑確定了圓的大小. (2)弧:圓上兩點間的

2、部分叫做弧;小于半圓的弧叫做劣弧,大于半圓的弧叫做優弧. (3)弦:連接圓上兩點間的線段叫做弦;直徑是圓中最大的弦. (4)圓心角:頂點在圓心的角叫做圓心角. (5)圓周角:頂點在圓上,兩邊都和圓相交的角叫做圓周角. (6)等圓:半徑相等的圓叫做等圓. (7)等弧:在同圓或等圓中,能夠重合的弧叫做等弧. (8)弦心距:圓心到弦的距離,叫做弦心距,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,2.圓的基本性質 (1)同圓或等圓的半徑相等. (2)圓的直徑等于同圓或等圓半徑的2倍. (3)弧的度數等于它所對圓心角的度數. (4)圓既是中心對稱圖形,圓心是對稱中心,也是軸對稱圖形,過圓心的每一條直線都

3、是它的對稱軸,還是旋轉對稱圖形,繞圓心旋轉任何一個角度都與原圖形重合. 3.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系 定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對弦的弦心距相等. 推論:在同圓或等圓中,圓心角相等,弦相等,弦的弦心距相等,弦對的弧相等,如果以上四條中有一條成立,那么另外三條也成立,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,4.垂徑定理 (1)垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧. (2)垂徑定理的推論: a.圓的兩條平行弦所夾的弧相等. b.一條直線如果具有:經過圓心,垂直于弦,平分弦,平分弦所對的弧,這四條中有兩條成立,則這條直線也滿足其余的

4、兩條. 5.圓周角定理 (1)圓周角定理:同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半. (2)圓周角定理的推論:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等;相等的圓周角所對的弧也相等. 半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90的圓周角所對的弦是直徑、所對的弧是半圓,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,6.圓內接四邊形的性質 圓內接四邊形的對角互補;圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角(相鄰的內角的對角,圓的有關性質”常作的輔助線 有弦時,過圓心作弦的垂線段、過弦的一個端點作半徑,這樣由“弦的一半、表示弦心距的垂線段、圓的半徑”構成了直角三角形; 有直徑時,作出這條直徑所對的圓周角,

5、這個圓周角是直角;如果有圓周角是直角,作出它對的弦,這條弦就是直徑,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,典例1(2016蘭州)如圖,四邊形ABCD內接于O,若四邊形ABCO是平行四邊形,則ADC的大小為 () A.40 B.50 C.60 D.75 【解析】設ADC=,ABC=.四邊形ABCO是平行四邊形,ABC=AOC=. 解得=120,=60,ADC=60. 【答案】 C,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,方法指導】有關圓周角、圓內接四邊形的問題 題目中或圖形中,有圓周角、圓內接四邊形時,往往利用圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角、同弧所對的圓周角相等,轉移角,或利

6、用圓內接四邊形的對角互補、同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半,求角的度數,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,典例2(2016福建三明)如圖,AB是O的弦,半徑OCAB于點D,若O的半徑為5,AB=8,則CD的長是 () A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】 A,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,變式訓練1】(2016四川眉山)如圖,A,D是O上的兩個點,BC是直徑.若D=32,則OAC= ( B ) A.64 B.58 C.72 D.55 【解析】BC是直徑, D=32, B=D=32, BAC=90. OA=OB, BAO=B=32,OAC=BAC-BAO=90-

7、32=58,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,變式訓練2】(2016貴州安順)如圖,AB是O的直徑,弦CDAB于點E,若AB=8,CD=6,則 BE= . 【解析】連接OC.弦CDAB于點E,CD=6,CE=ED,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點2與圓有關的位置關系 1.點和圓的位置關系,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,2.直線和圓的位置關系,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,3.切線的性質和判定 (1)切線的性質定理:圓的切線垂直于經過切點的半徑. (2)切線的判定定理:經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線,是圓的切線. (3)切線的判定方法總

8、結,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,與圓有關的位置關系”常作的輔助線 (1)連接圓心和切點得到半徑,這條半徑垂直于切線. (2)要證明一條直線是圓的切線,如果已知這條直線過圓上一點,就連接這點和圓心得到半徑,證明這條半徑垂直于這條直線即可;如果不知這條直線過圓上一點,就過圓心作這條直線的垂線段,證明這條垂線段等于半徑即可,4.切線長及切線長定理 (1)切線長:從圓外一點引圓的兩條切線,這一點到切點之間的線段的長,叫做切線長. (2)切線長定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線,它們的切線長相等,這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,5.三角

9、形的外接圓和內切圓,6.正多邊形和圓 (1)正多邊形和圓:任何一個正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓,而且它們是同心圓. (2)正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑,它的內切圓的半徑叫做這個正多邊形的邊心距,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,典例3(2016湖北咸寧)如圖,點E是ABC的內心,AE的延長線和ABC的外接圓相交于點D,連接BD,BE,CE,若CBD=32,則BEC的度數為. 【解析】在O中,CBD=32,點E是ABC的內心,CAD=BAD=CBD=32, BAC=64,EBC+ECB=(180-64)2=58,BEC=180-58=122. 【答案】 122,備

10、課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,典例4(2016西寧)如圖,D為O上一點,點C在直徑BA的延長線上,且CDA=CBD. (1)求證:CD是O的切線; 【解析】(1)連接OD,利用OB=OD,得OBD=ODB,再利用已知和等量代換證得CDO=90,則CD是O的切線;(2)根據已知條件得到CDACBD,再由相似三角形的性質得到 ,求得CD=4,由切線的性質得到BE=DE,BEBC,最后根據勾股定理列方程即可得到結論,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,答案】 (1)連接OD,OB=OD, OBD=ODB, CDA=CBD,CDA=ODB. 又AB是O的直徑,ADB=90, ADO

11、+ODB=90, ADO+CDA=90,即CDO=90, ODCD, OD是O的半徑,CD是O的切線,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,變式訓練】(2016湖南張家界)如圖,AB是O的直徑,C是O上的一點,直線MN經過點C,過點A作直線MN的垂線,垂足為點D,且BAC=CAD. (1)求證:直線MN是O的切線; (2)若CD=3,CAD=30,求O的半徑. 【答案】 (1)連接OC,因為OA=OC, 所以BAC=ACO. 因為BAC=CAD, 故ACO=CAD, 所以OCAD, 又因為ADMN,所以OCMN, 所以直線MN是O的切線,備課資

12、料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,2)因為AB是O的直徑,則ACB=90, 又ADMN,則ADC=90. 在RtABC和RtACD中,BAC=CAD, 所以RtABCRtACD,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,考點3與圓有關的計算 1.圓的有關計算,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,2.正多邊形的有關計算,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,解析】COB=2CDB=60,OBC是等邊三角形,又E點為OB的中點, CDAB,OCE=30,CE=DE= S陰影= 【答案】 D,方法指導】陰影面積問題求解的常用技巧 有的陰

13、影是規則的如扇形,這時只需找夠條件即可代入扇形面積公式S扇形= lr求出其面積;有的陰影是不規則的,這就需要把這個陰影進行分割或拓展,分割成幾個規則圖形分別求其面積再相加即可,或拓展成較大的規則圖形的面積再減去多余的規則圖形的面積,備課資料,考點掃描,考點1,考點2,考點3,變式訓練】如圖,菱形ABCD的邊長為2,A=60,以點B為圓心的圓與AD,DC相切,與AB,CB的延長線分別相交于點E,F,則圖中陰影部分的面積為 ( A,備課資料,考點掃描,1.有關圓的分類討論問題,解析】求有公共頂點的兩條弦的夾角,要分圓心在夾角內還是夾角外.有兩種情況:如圖1所示:連接OA,過點O作OEAB于點E,O

14、FAC于點F,OEA=OFA=90,由垂徑定理得AE=BE,備課資料,考點掃描,OAE=30,OAF=45, BAC=OAF-OAE=45-30=15. 【答案】 75或15,備課資料,考點掃描,2.有關圓的綜合探究題 典例2已知:O上兩個定點A,B和兩個動點C,D,AC與BD交于點E. (1)如圖1,求證:EAEC=EBED; (3)如圖3,若ACBD,點O到AD的距離為2,求BC的長,備課資料,考點掃描,備課資料,考點掃描,備課資料,考點掃描,3)如圖,連接AO并延長交O于點F,連接DF, AF為O的直徑. ADF=90. 過點O作OHAD于點H, AH=DH,OHDF, AO=OF,DF

15、=2OH=4. ACBD,AEB=ADF=90, ABE=F, ABEAFD, BAE=FAD, BC=DF=4,命題點2,命題點1,命題點3,命題點4,命題點1垂徑定理及推論(常考) 1.(2011安徽第13題)如圖,O的兩條弦AB,CD互相垂直,垂足為E,且AB=CD,已知 CE=1,ED=3,則O的半徑是 . 【解析】本題考查垂徑定理.連接OD,過點O分別作OF,OG垂直于CD,AB,AB=CD,由垂徑定理知,CF=FD,命題點5,命題點2,命題點1,命題點3,命題點4,2.(2014安徽第19題)如圖,在O中,半徑OC與弦AB垂直,垂足為E,以OC為直徑的圓與弦AB的一個交點為F,D是

16、CF延長線與O的交點.若OE=4,OF=6,求O的半徑和CD的長. 解:OC為小圓的直徑, OFC=90,即OFCD. CF=DF. OEAB, OEF=OFC=90. 又FOE=COF, OEFOFC,命題點5,命題點2,命題點1,命題點3,命題點4,命題點5,命題點2,命題點1,命題點3,命題點4,命題點2圓周角定理及推論(常考) 3.(2013安徽第10題)如圖,點P是等邊三角形ABC外接圓O上的點,在以下判斷中,不正確的是 ( C ) A.當弦PB最長時,APC是等腰三角形 B.當APC是等腰三角形,POAC C.當POAC時,ACP=30 D.當ACP=30時,BPC是直角三角形,命

17、題點5,命題點2,命題點1,命題點3,命題點4,解析】本題考查等腰三角形和圓的有關性質.當弦PB最長時,PB為直徑,又因為ABC為等邊三角形,所以PBAC,由垂徑定理可知,PA=PC,故A正確.當APC是等腰三角形時,分兩種情況:點P在 上,則CP為圓的直徑,有CBP=90,故D正確,命題點5,命題點2,命題點1,命題點3,命題點4,命題點3切線的性質及判定(冷考) 4.(2009安徽第16題)如圖,MP切O于點M,直線PO交O于點A,B,弦ACMP. 求證:MOBC. 解:AB是O的直徑, ACB=90. MP為O的切線, PMO=90. MPAC, P=CAB, MOP=CBA, MOBC,命題點5,命題點2,命題點1,命題點3,命題點4,命題點4三角形的外接圓與內切圓(常考) 5.(2010安徽第13題)如圖,ABC內接于O,AC是O的直徑,ACB=50,點D是 上一點,則D=40. 【