1、已知三角函數(shù)值求角【學習目標】1、掌握已知三角函數(shù)值求角的解題步驟；2、要求學生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函數(shù)的意義，會由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出范圍內(nèi)的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符號表示角或角的集合【要點梳理】 要點一：反正弦，反余弦，反正切函數(shù)的定義（1）一般地，對于正弦函數(shù)，如果已知函數(shù)值，那么在上有唯一的值和它對應，記為（其中）即（）表示上正弦等于的那個角（2）在區(qū)間上符合條件的角，記為（3）一般地，如果，且，那么對每一個正切值，在開區(qū)間內(nèi)，有且只有一個角，使符合上述條件的角，記為要點二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角的一個三角函數(shù)值求角，所得的

2、角不一定只有一個，角的個數(shù)要根據(jù)角的取值范圍來確定，這個范圍應該在題目中給定，如果在這個范圍內(nèi)有已知三角函數(shù)值的角不止一個，解法可以分為以下幾步：第一步，決定角可能是第幾象限角.第二步，如果函數(shù)值為正數(shù)，則先求出對應的銳角；如果函數(shù)值為負數(shù)，則先求出與其絕對值對應的銳角.第三步，如果函數(shù)值為負數(shù)，則可根據(jù)可能是第幾象限角，得出(0，2)內(nèi)對應的角；如果它是第二象限角，那么可表示為；如果它是第三或第四象限角，那么可表示為或2.第四步，如果要求(0，2)以外對應的角，則可利用終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值這一規(guī)律寫出結(jié)果.【典型例題】類型一：已知正弦值、余弦值，求角例1已知，（1），（2），求角.

3、【思路點撥】因為所給的正弦值是負數(shù)，所以先求出其絕對值對應的銳角，然后在求出其他象限的角【解析】（1）由知的正弦值是個負值，所以是第三象限或第四象限的角因為，所以第三象限的那個角是，第四象限的角是（2）在上符合條件的角是所有與終邊相同的角和所有與終邊相同的角因此的取值集合為【總結(jié)升華】（1）定象限，根據(jù)三角函數(shù)值的符號確定角是第幾象限角(2)找銳角；如果三角函數(shù)值為正，則可直接求出對應的銳角，如果三角函數(shù)值為負，則求出與其絕對值對應的銳角 (3)寫形式根據(jù) pa，2 p - a 的誘導公式寫出結(jié)果第二象限角：；第三象限角： 第四象限角： 如果要求出 0 ，2 p 范圍以外的角則可利用終邊相同的

4、角的三角函數(shù)值相等寫出所有結(jié)果例2（1）已知cosx07660，且x0，求x；（2）已知cosx0.7660，且x0，2，求x的取值集合.【思路點撥】因為所給的余弦值是負數(shù)，所以先求出其絕對值對應的銳角，然后再求出其他象限的角【解析】（1）由余弦曲線可知ycosx在0，上是減函數(shù)又由已知cosx0.76600得x是一個鈍角又由cos(x)cosx07660利用計算器求得x符合條件的有且只有一個角.（2）cosx076600，所以x是第二或第三象限角，由ycosx在0，上是減函數(shù)ycosx在，2上是增函數(shù)因為cos()cos()= 0.7660. 可知：符合條件的角有且只有兩個，即第二象限角或第

5、三象限角所求角x的集合是，. 舉一反三：【變式1】已知sinX= - 0.3332,且X 0 ， ，求角X的取值集合【答案】或【變式2】根據(jù)下列條件，求ABC的內(nèi)角A（1） （2）【思路點撥】因為A為ABC的內(nèi)角，所以0A.根據(jù)余弦函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)遞減的，故符合條件的A只有一個，而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，在中符合條件的有兩個.【解析】（1）A為ABC的內(nèi)角 0A余弦函數(shù)在區(qū)間中為減函數(shù)，所以符合條件的角A只有一個 （2）0A，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，在內(nèi)符合條件的角A有兩個類型二：已知正切值，求角例3已知【思路點撥】由正切函數(shù)的單調(diào)性可知，在開區(qū)間內(nèi)，符合條件的角只有一個，而在內(nèi)，符合條件的就有兩個

6、.再根據(jù)正切函數(shù)的周期性可知，第（3）題中符合條件的角就有無窮多個了.【解析】（1）由正切函數(shù)在開區(qū)間上是增函數(shù)可知；符合的角只有一個，即（2）是第二或第四象限角，又，由正切函數(shù)在區(qū)間、上是增函數(shù)知，符合的角有兩個. 且（3）正切函數(shù)的最小正周期為只需在長為一個周期的區(qū)間上求出滿足條件的，再加上即可在（1）中，舉一反三：【變式1】(1)已知tanx，x(，)，求x.(2)已知tanx，且x0，2，求x的取值集合.【思路點撥】(1)由正切曲線可知ytanx在(，)上是增函數(shù)；可知符合條件的角有且只有一個，利用計算器可求得x=1826(2)由正切函數(shù)的周期性，可知當x時，tanx且0，2所求x的集合是，類型三：反三函數(shù)的綜合應用例4已知分別是方程的兩個根，求.【思路點撥】利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系和同角三角函數(shù)關(guān)系式求k，然后利用的值求.【解析】是方程兩個根 22，得：整理得：解得：又 k=3應舍去，k= 1當k=1時，原方程為 例5求證arctan1+arctan2+arctan3=【思路點撥】由于等式右邊的三個角都在開區(qū)間內(nèi)，故三個角的和在開區(qū)間（0