1、第2章電路的等效變換,2.1單口電路等效的概念 2.2實(shí)際電源的兩種模型及其等效互換 2.3不含獨(dú)立源單口電路的等效 2.4含獨(dú)立源單口電路的等效 *2.5電阻Y形連接與形連接的等效變換 2.6理想電源的等效轉(zhuǎn)移 習(xí)題2,2.1單口電路等效的概念對外只有兩個端鈕的電路稱為二端電路或單口電路，進(jìn)出這兩個端鈕的電流為同一電流。圖2.1-1所示為兩個單口電路N1和N2,圖2.1-1單口電路等效概念說明圖,先討論電阻的串聯(lián)等效。設(shè)有兩個單口電路N1和N2，如圖2.1-2所示，N1由兩個電阻R1、R2串聯(lián)而成，N2僅由一個電阻Req構(gòu)成。顯然，N1和N2的內(nèi)部結(jié)構(gòu)完全不同。在圖2.1-2所示的電壓、電流

2、關(guān)聯(lián)參考方向下，由KVL及歐姆定律，對圖(a)有u=u1+u2=R1i+R2i=(R1+R2)i(2.1-1)對圖(b)有u=Reqi(2.1-2) 根據(jù)單口電路等效的定義，如果Req=R1+R2(2.1-3,圖2.1-2兩個電阻串聯(lián)等效,電阻串聯(lián)有分壓關(guān)系。若已知串聯(lián)電阻電路兩端的總電壓，則各電阻上分有的電壓為式(2.1-4)為兩串聯(lián)電阻的分壓公式。該式表明：串聯(lián)電阻的電壓與其電阻值成正比，即電阻越大，分得的電壓越大,2.1-4,以上是兩個電阻串聯(lián)導(dǎo)出的公式，可將其推廣到n個電阻串聯(lián)的一般情況，如圖2.1-3所示，則串聯(lián)電阻電路的總電壓等效電阻分壓公式,2.1-5,2.1-6,2.1-7,圖

3、2.1-3n個電阻串聯(lián)等效,圖2.1-4(a)是兩個電阻并聯(lián)構(gòu)成的單口電路N1，圖2.1-4 (b)是僅由一個電阻構(gòu)成的單口電路N2。在圖2.1-4所示的電壓、電流關(guān)聯(lián)參考方向下，由KCL和歐姆定律，對圖(a)有對圖(b)有,2.1-8,2.1-9,圖2.1-4兩個電阻并聯(lián)等效,根據(jù)單口電路等效的定義，如果即 Geq=G1+G2 (2.1-11,2.1-10,由式(2.1-9)可得到兩個電阻并聯(lián)時的等效電阻公式為此式在電路分析中經(jīng)常用到，應(yīng)當(dāng)記住。為了書寫方便，我們常用符號“”表示電阻的并聯(lián)。如圖2.1-4(a)所示，并聯(lián)等效電阻可寫為Req=R1R2 (2.1-13,2.1-12,電阻并聯(lián)有

4、分流關(guān)系。若已知并聯(lián)電阻電路的總電流，則兩并聯(lián)電阻支路上的電流分別為或,2.1-14,2.1-15,以上是兩個電阻并聯(lián)導(dǎo)出的公式，同樣也可推廣到n個電阻并聯(lián)的一般情況，如圖2.1-5所示，則并聯(lián)電阻電路的總電流等效電阻,2.1-16,2.1-17,圖2.1-5n個電阻并聯(lián)等效,亦可寫為 或等效電導(dǎo)分流公式,2.1-18,2.1-19,2.1-20,2.2實(shí)際電源的兩種模型及其等效互換為了測試其外特性(伏安特性)，我們將一個實(shí)際電源外接一負(fù)載電阻R，見圖2.2-1(a)。調(diào)節(jié)電阻R，隨著R的不同，端電壓u和電流i也不同，測得實(shí)際電源的外特性(即u-i關(guān)系曲線)如圖2.1-1(b)所示。根據(jù)此特性

5、曲線，可作出實(shí)際電源的兩種電路模型,圖2.2-1實(shí)際電源的外特性測試,2.2.1實(shí)際電源的兩種模型1 實(shí)際電源的電壓源模型由圖2.2-1(b)所示的實(shí)際電源的外特性可看出，實(shí)際電流的端電壓u隨著輸出電流i的增大而逐漸下降。為了表征這一特性，可用一個理想電壓源和一個電阻串聯(lián)組合來作為實(shí)際電源的電路模型，如圖2.2-2(a)所示，稱為實(shí)際電源的電壓源模型。根據(jù)KVL，得端口伏安關(guān)系為u=usRsi (2.2-1)由式(2.2-1)繪出其伏安特性曲線如圖2.2-2(b)所示。該特性曲線為一條直線，直線的斜率為Rs。實(shí)際電源的內(nèi)電阻Rs越小，其特性越接近于理想電壓源,圖2.2-2實(shí)際電源的電壓源模型及

6、其伏安特性,由式(2.2-1)和圖2.2-2可看出，當(dāng)電壓源模型端口開路時，輸出電流i=0，端電壓u=uoc=us (2.2-2)這種情況在圖2.2-2(b)中對應(yīng)于特性曲線與縱坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A當(dāng)電壓源模型端口短路時，端電壓u=0，輸出電流比較式(2.2-2)與式(2.2-3)，可得,2.2-3,2.2-4,2 實(shí)際電源的電流源模型 實(shí)際電源還可用一個理想電流源is和一個電阻Rs的并聯(lián)組合作為其電路模型，如圖2.2-3(a)所示，稱為實(shí)際電源的電流源模型。圖中，is稱為源電流，為電源產(chǎn)生的定值電流；Rs為實(shí)際電源的內(nèi)電阻，也可用電導(dǎo)Gs表示，稱為內(nèi)電導(dǎo)。根據(jù)KCL，得端口的伏安關(guān)系為由式(2.2

7、-5)繪出其伏安特性曲線如圖2.2-3(b)所示。該特性曲線也是一條直線，直線的斜率為。顯然，實(shí)際電源的內(nèi)電阻Rs越大，其特性越接近于理想電流源,2.2-5,圖2.2-3實(shí)際電源的電流源模型及其伏安特性,由式(2.2-5)和圖2.2-3可看出，當(dāng)電流源模型端口開路時，輸出電流i=0，端電壓 u=uoc=isRs (2.2-6)這就是特性曲線與橫坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。當(dāng)電流源模型端口短路時，端電壓u=0，輸出電流i=isc=is (2.2-7)這就是特性曲線與縱坐標(biāo)軸的交點(diǎn),2.2.2兩種電源模型的等效互換為了便于討論兩種電源模型等效互換的條件，我們把它們一起表示在圖2.2-4中，并將電流源模型中的內(nèi)阻

8、暫記為Rs。根據(jù)KVL，由圖2.2-4(a)得電壓源模型端口的VAR為 u=usRsi (2.2-8)根據(jù)KCL，由圖2.2-4(b)得電流源模型端口的VAR為將上式改寫為u=RsisRsi (2.2-10,2.2-9,圖2.2-4兩種電源模型的等效互換,如果兩種電源模型等效，則它們端口的伏安關(guān)系應(yīng)該完全相同。比較式(2.2-8)和式(2.2-10)，可得到兩種電源模型的等效條件為由式(2.2-11)，可方便地由一個電壓源模型得到其等效電流源模型, 反之亦然。兩種電源模型的等效互換關(guān)系如圖2.2-5所示,2.2-11,圖2.2-5兩種電源模型的等效互換,上述兩種電源模型的等效互換方法也適用于受

9、控源，即受控電壓源和電阻的串聯(lián)組合與受控電流源和電阻的并聯(lián)組合可以等效互換。但應(yīng)注意，在變換過程中，控制量必須保留。例如，圖2.2-6(a)所示的受控電流源與電阻的并聯(lián)組合可等效為圖2.2-6(b)所示的受控電壓源與電阻的串聯(lián)組合,圖2.2-6受控源的等效互換,例2.2-1】試求圖2.2-7(a)所示電源的等效電流源模型和圖2.2-7(b)所示電源的等效電壓源模型,圖2.2-7例2.2-1用圖,解由圖2.2-5(a)所示的電壓源模型等效為電流源模型可知，對圖2.2-7(a)所示的電壓源模型，其等效電流源的電流為，并聯(lián)電阻Rs=5 W，故得等效電流源如圖2.2-7(c)所示。由圖2.2-5(b)

10、所示的電流源模型等效為電壓源模型可知，對圖2.2-7(b)所示的電流源模型，其等效電壓源的電壓為Rsis=34=12 V，串聯(lián)電阻Rs=3 W，故得等效電壓源如圖2.2-7(d)所示,2.3不含獨(dú)立源單口電路的等效1. 純電阻無源單口電路的等效我們把只含電阻的無源單口電路稱為純電阻無源單口電路。在純電阻無源單口電路中，電阻的連接方式既有串聯(lián)，又有并聯(lián)，稱為電阻混聯(lián)。其等效電阻的計算可用前面介紹的串、并聯(lián)等效化簡方法逐步完成。由于這種電阻混聯(lián)單口電路中各電阻的串、并聯(lián)關(guān)系不易分辨出，所以往往要對原電路進(jìn)行改畫,例2.3-1】如圖2.3-1(a)所示的單口電路，求ab端的等效電阻,圖2.3-1例2

11、.3-1用圖,解該單口電路是由電阻混聯(lián)組成的，為了能更清楚地判別出電阻的串、并聯(lián)關(guān)系，我們將電路適當(dāng)改畫。先選一條路徑，從端鈕a點(diǎn)經(jīng)c點(diǎn)至端鈕b點(diǎn)，然后將剩余的電阻6 W和8 W連接到相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)之間，改畫后的電路如圖2.3-1(b)所示。對圖(b)，應(yīng)用串、并聯(lián)電阻等效公式，可方便地求得ab端的等效電阻,例2.3-2】求圖2.3-2(a)所示電路ab端和cd端的等效電阻,圖2.3-2例2.3-2用圖,解(1) 求圖2.3-2(a)中ab端的等效電阻。相應(yīng)電路如圖2.3-2(b)所示。由圖(b)得Rab=1.5+3(2+4)=3.5 W (2) 求圖2.3-2(a)中cd端的等效電阻。相應(yīng)電路如

12、圖2.3-2(c)所示。由圖(c)得,例2.3-3】求圖2.3-3(a)所示電路ab端的等效電阻,圖2.3-3例2.3-3用圖,解為了判斷電阻的串、并聯(lián)關(guān)系，我們對電路進(jìn)行改畫。先把原電路圖2.3-3(a)中的節(jié)點(diǎn)標(biāo)上字母，接著選一條主路徑，從端鈕a點(diǎn)經(jīng)c、d點(diǎn)至端鈕b點(diǎn)，然后將剩余的電阻連接到相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)之間，改畫后的電路如圖2.3-3(b)所示。將圖(b)中能看出串、并聯(lián)關(guān)系的電阻用其等效電阻代替，得圖2.3-3(c)。由圖(c)可方便地求得Rab=(2+2)4+24=2,2. 含受控源無源單口電路的等效我們把僅含受控源和電阻的單口電路稱為含受控源無源單口電路。含受控源無源單口電路與純電阻無

13、源單口電路一樣，可以等效為一電阻。例如，圖2.3-4(a)所示的電路僅含有受控源和電阻，不含獨(dú)立源，為含受控源無源單口電路,圖2.3-4含受控源無源單口電路的等效,例 2.3-4】求圖2.3-5(a)所示的無源單口電路的等效電阻,圖2.3-5例2.3-4用圖,解本題電路為含受控源無源單口電路，其等效電阻的求取采用外加激勵法。在ab端外加電壓u0，產(chǎn)生端電流i0，u0與i0對單口電路來說參考方向關(guān)聯(lián)，利用電源等效變換將受控電壓源串聯(lián)電阻組合等效為受控電流源并聯(lián)電阻組合，如圖2.3-5(b)所示,例2.3-5】無源單口電路如圖2.3-6(a)所示，求其等效電阻,圖2.3-6例2.3-5用圖,解本題

14、無源單口電路含受控源，應(yīng)采用外加激勵法求其等效電阻。在ab端外加電壓U，產(chǎn)生電流I，如圖2.3-6(b)所示。為便于寫出ab端口的伏安關(guān)系式，利用電阻并聯(lián)電流關(guān)系和電源等效變換，將圖(a)變換為圖(b)。這里應(yīng)注意，在對含受控源電路進(jìn)行等效變換時，控制量始終要保留在電路中,2.4含獨(dú)立源單口電路的等效1. 理想電壓源串聯(lián)等效圖2.4-1(a)所示是n個理想電壓源串聯(lián)組成的單口電路。根據(jù)KVL，很容易證明在任何外接電路下，這一電壓源串聯(lián)組合可等效為一個電壓源，如圖2.4-1(b)所示，等效電壓源的電壓,2.4-1,圖2.4-1理想電壓源串聯(lián)等效,2. 理想電流源并聯(lián)等效圖2.4-2(a)所示是n

15、個理想電流源并聯(lián)組成的單口電路。根據(jù)KCL，在任何外接電路下，可等效為一個電流源，如圖2.4-2(b)所示，等效電流源的電流,2.4-2,圖2.4-2理想電流源并聯(lián)等效,3. 任意二端電路與理想電壓源并聯(lián)等效 圖2.4-3(a)所示是任意二端電路N1與理想電壓源并聯(lián)組成的單口電路。N1可由電阻、獨(dú)立源和受控源等元件構(gòu)成。圖(a)所示的單口電路的VAR是u=us (對任意端電流i) (2.4-3)顯然，式(2.4-3)與理想電壓源的VAR相同。因此，根據(jù)等效的定義，圖2.4-3(a)所示的單口電路可等效為圖(b)所示的電路，即圖(a)的等效電路就是理想電壓源本身,圖2.4-3理想電壓源與任意二端

16、電路并聯(lián)等效,4. 任意二端電路與理想電流源串聯(lián)等效圖2.4-4(a)所示是任意二端電路N1與理想電流源串聯(lián)組成的單口電路。N1可由電阻、獨(dú)立源和受控源構(gòu)成。圖(a)所示的單口電路的VAR是i=is (對任意端電壓u) (2.4-4)顯然，式(2.4-4)與理想電流源的VAR相同。根據(jù)等效的定義，圖2.4-4所示的單口電路可等效為圖(b)所示的電路，即圖(a)的等效電路就是理想電流源本身,圖2.4-4理想電流源與任意二端電路串聯(lián)等效,例2.4-1】圖2.4-5(a)所示為含源單口電路，試用等效變換方法求其最簡等效電路,圖2.4-5例2.4-1用圖,解圖(a)中，8 V理想電壓源與6 A理想電流

17、源串聯(lián)，由圖2.4-4所示的二端電路與理想電流源串聯(lián)等效可知，8 V理想電壓源是多余的，可以短接，于是得到圖(b)。再將圖(b)中10 V理想電壓源串聯(lián)5 電阻組合等效為2 A理想電流源并聯(lián)5 電阻組合，得到圖(c)。最后將圖(c)中兩理想電流源并聯(lián)等效，得到圖(d)，即該單口電路的最簡等效電路。也就是說，圖(a)所示的含源單口電路經(jīng)逐步等效化簡，最后等效為圖(d)所示的實(shí)際電流源模型,例2.4-2】利用電路的等效變換，求圖2.4-6(a)所示的含源單口電路的最簡等效電路,圖2.4-6例2.4-2用圖,解應(yīng)用任意二端電路與理想電流源串聯(lián)等效，圖(a)中與2 A理想電流源串聯(lián)的1 電阻是多余的，

18、可予以短接；應(yīng)用任意二端電路與理想電壓源并聯(lián)等效，圖(a)中與9 V理想電壓源并聯(lián)的支路(2 電阻和4 V理想電壓源串聯(lián)支路)是多余的，可予以斷開，得到圖(b)。將圖(b)中2 A理想電流源并聯(lián)6 電阻組合等效為12 V理想電壓源串聯(lián)6 電阻組合，得到圖(c)。應(yīng)用理想電壓源串聯(lián)等效，將圖(c)等效為圖(d)。圖(d)中，為了使6 電阻與3 電阻并聯(lián)，將3 V理想電壓源串聯(lián)6 電阻組合等效為0.5 A理想電流源并聯(lián)6 電阻組合，得到圖(e)。最后將圖(e)中兩并聯(lián)電阻等效，得到圖(f)。這就是說，圖(a)所示的含源單口電路可等效化簡為圖(f)所示的實(shí)際電流源模型或圖(g)所示的實(shí)際電壓源模型,

19、例2.4-3】求圖2.4-7(a)所示的含源單口電路的最簡等效電路,圖2.4-7例2.4-3用圖,解將圖(a)中受控電流源并聯(lián)電阻組合等效為受控電壓源串聯(lián)電阻組合，得到圖(b)。根據(jù)KVL，對圖(b)列寫端口伏安關(guān)系得U=10+(4+2)I4U整理得U=2+1.2I 由此伏安關(guān)系可作出相應(yīng)的等效電路，如圖(c)所示。圖(c)就是圖(a)的最簡等效電路，亦為一實(shí)際電壓源模型,例2.4-4】電路如圖2.4-8(a)所示，試等效化簡ab以左的單口電路，并求3 電阻的電壓和1 電阻的電流,圖2.4-8例2.4-4用圖,解首先等效化簡ab以左的單口電路。將圖(a)中3 電阻支路移去，余下電路為ab以左的

20、單口電路。把圖中兩個理想電流源并聯(lián)電阻組合等效為兩個理想電壓源串聯(lián)電阻組合，得到圖(b)。將圖(b)進(jìn)一步等效為圖(c)，即ab以左的單口電路的最簡等效電路,2.5電阻Y形連接與形連接的等效變換前面幾節(jié)詳細(xì)介紹了常用的典型二端電路(單口電路)的等效變換方法，如電阻的串并聯(lián)等效、電壓源模型與電流源模型的等效互換、無源單口電路的等效和含源單口電路的等效。這些等效變換方法在電路分析中很重要，應(yīng)該熟練掌握。但有時我們會遇到一些電路，不能用上述方法進(jìn)行等效化簡，例如圖2.5-1(a)所示的電路，電阻間的連接方式既非串聯(lián)，又非并聯(lián)，無法用電阻的串并聯(lián)等效來計算ab端的等效電阻。如果能設(shè)法將圖(a)中虛線框

21、部分等效變換為圖(b)中虛線框部分，那么對圖(b)就可用電阻的串并聯(lián)等效方法求得ab端的等效電阻。本節(jié)介紹的電阻Y形連接和形連接的等效變換可解決這類問題,圖2.5-1電阻Y-連接電路,將三個電阻的一端連接于一個節(jié)點(diǎn)上，而它們的另一端分別連接到三個不同的端鈕上，這樣就構(gòu)成了如圖2.5-2(a)所示的Y形(星形)連接電阻電路，也稱T形電路。如果將三個電阻分別接在每兩個端鈕之間，使三個電阻構(gòu)成一個回路，如圖2.5-2(b)所示，這樣就構(gòu)成了形(三角形)連接的電阻電路，也稱形電路,圖2.5-2Y形和形連接電路,對于Y形電路，由圖2.5-2(a)得各端口的等效電阻,2.5-1,對于形電路，由圖 2.5-

22、2(b)得各端口的等效電阻,2.5-2,兩電路等效的條件是對應(yīng)端口的等效電阻相等，于是有,2.5-3,由式 (2.5-3 )解得由形電路等效變換為Y形電路各電阻間的關(guān)系為,2.5-4,同樣，由式(2.5-3)也可解得由Y形電路等效變換為形電路各電阻間的關(guān)系為,2.5-5,如果Y形電路或形電路為對稱三端電阻電路，即三個電阻相等，則由式(2.5-4)或式(2.5-5)可得如下變換關(guān)系這里，RY、R分別表示Y形和形電路中的每個電阻。在某些電路中，利用電阻Y-等效變換可以把非串并聯(lián)的電阻電路等效為串并聯(lián)電阻電路，使電路得以簡化。【例2.5-1】電路如圖2.5-3(a)所示，求ab端口的等效電阻,2.5

23、-6,圖2.5-3例2.5-1用圖,解圖(a)中電阻間的連接方式不是串并聯(lián)，因此，先利用電阻Y-電路等效變換，將圖(a)虛線框部分的Y形連接等效為形連接，得圖(b)。其中,再應(yīng)用電阻串并聯(lián)等效公式，由圖(b)得ab端口的等效電阻Rab=(37+3.51.5)142.57 【例2.5-2】電路如圖2.5-4(a)所示，求電流I,圖2.5-4例2.5-2用圖,解利用電阻Y-等效變換，將圖(a)等效為圖(b)，再應(yīng)用電阻并聯(lián)公式，得到圖(c)。對圖(c)，根據(jù)電阻分流公式，得回到圖(b)，又由電阻分流公式計算得最后回到原電路圖(a)，對節(jié)點(diǎn)2應(yīng)用KCL，得,2.6理想電源的等效轉(zhuǎn)移1. 理想電壓源的

24、等效轉(zhuǎn)移圖2.6-1(a)所示的電路中，有一理想電壓源連接于節(jié)點(diǎn)a與節(jié)點(diǎn)b之間，可通過節(jié)點(diǎn)a或節(jié)點(diǎn)b將理想電壓源轉(zhuǎn)移到與該節(jié)點(diǎn)相連接的支路中，使這些支路組成實(shí)際電壓源模型。這里，我們通過節(jié)點(diǎn)a將理想電壓源轉(zhuǎn)移到與之相連接的支路中，如圖2.6-1(b)所示。圖(b)與圖(a)的等效性是顯然的，因?yàn)閳D(b)中節(jié)點(diǎn)a的電位與圖(a)中節(jié)點(diǎn)a的電位是相等的。若將圖(b)中兩個極性相同且等值的理想電壓源并聯(lián)，則恢復(fù)為原電路圖(a,圖2.6-1理想電壓源的轉(zhuǎn)移,2. 理想電流源的等效轉(zhuǎn)移圖2.6-2(a)所示的電路中，含有一理想電流源支路，可將理想電流源沿著它所在的回路轉(zhuǎn)移到該回路的其他各個支路中，使這些

25、支路組成實(shí)際電流源模型。這里，我們沿著理想電流源所在的回路A將其轉(zhuǎn)移到該回路中的da支路和ac支路中，如圖2.6-2(b)所示，原理想電流源支路已不存在，可按前述的等效變換方法對電路進(jìn)行化簡。圖(b)與圖(a)也是等效的，因?yàn)槔硐腚娏髟崔D(zhuǎn)移前后，電路中相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的KCL方程是相同的,圖2.6-2理想電流源的轉(zhuǎn)移,例2.6-1】試將圖2.6-3(a)所示的單口電路等效化簡為最簡形式的電壓源模型和電流源模型。解首先根據(jù)理想電壓源的等效轉(zhuǎn)移，將圖(a)中連接于節(jié)點(diǎn)c與節(jié)點(diǎn)d之間的6 V理想電壓源通過節(jié)點(diǎn)c轉(zhuǎn)移到與之相連接的ca支路和cb支路中，如圖(b)所示。然后將圖(b)中的電壓源模型等效變換為電流

26、源模型，得到圖(c)。對圖(c)，應(yīng)用電阻的并聯(lián)公式，得到圖(d)。由圖(d)，再經(jīng)電源的等效變換，得到圖(e)，最后得到圖(f)和圖(g)，即圖(a)所示含源單口電路最簡形式的等效電壓源模型和電流源模型,圖2.6-3例2.6-1用圖,例2.6-2】圖2.6-4(a)所示為電子電路中共基放大電路的交流等效電路，試求電壓增益和輸入電阻Ri,圖2.6-4例2.6-2用圖,解根據(jù)理想電流源的等效轉(zhuǎn)移，將受控電流源沿著它所在的回路轉(zhuǎn)移到該回路中的cb支路和be支路中，如圖2.6-4(b)所示。對圖(b)，有uo=(RCRL)gmubeui=ube 故電壓增益,習(xí)題22-1求題2-1圖所示兩電路中的電流i1和i2,題2-1圖,2-2電路如題2-2圖所示，求電流i,題2-2圖,2-3電路如題2-3圖所示，求電壓uab,題2-3圖,2-