1、江蘇省宿遷市沭陽縣2019-2020學年高二數學上學期期中試題（含解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.數列的通項公式是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據數列前幾項，歸納猜想出數列的通項公式.【詳解】依題意，數列的前幾項為：；則其通項公式.故選：c.【點睛】本小題主要考查歸納推理，考查數列通項公式的猜想，屬于基礎題.2.已知數據的均值為2，那么數據的均值為（ ）a. 2b. 5c. 7d. 4【答案】c【解析】【分析】根據均值線性變換公式，求得新數據的均值.【詳解】由數據的均值為，則數據的均值為

2、.故選：c.【點睛】本小題主要考查數據均值的線性運算：若（）的均值為，則（）的均值為.屬于基礎題.3.已知，那么下列不等式中一定成立的是a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據a，b的符號和范圍，結合不等式的關系進行判斷即可詳解】若，則，則，故a不成立；不一定成立，如a=-5,b=6,故b不成立；，,故c不成立，則，成立，故d正確，故選：d【點睛】本題主要考查不等式性質的應用，根據不等式的關系是解決本題的關鍵比較基礎4.某市的a，b，c三個學校共有學生3000名，且這三個學校學生人數之比為3:3:4.如果用分層抽樣的方法從所有學生中抽取1個容量為200的樣本，那么學校c應抽取的學

3、生數為（ ）a. 60b. 70c. 80d. 30【答案】c【解析】【分析】先求得學校學生占的比例，由此求得學校應抽取的學生數.【詳解】學校c中的學生占的比例為，故學校c應抽取的人數為，故選：c.【點睛】本小題主要考查分層抽樣有關計算，屬于基礎題.5.已知數列的前項和為，且，則的值為（ ）a. -4b. -2c. -6d. -8【答案】a【解析】【分析】根據遞推關系依次求得和的值.【詳解】依題意，數列的前項和為，當時，解得，當時，解得，故選：a.【點睛】本小題主要考查根據數列遞推關系式求某一項，屬于基礎題.6.已知各項為正數的等比數列中，則公比qa. 4b. 3c. 2d. 【答案】c【解析

4、】【分析】由，利用等比數列性質，結合各項為正數求出，從而可得結果.【詳解】，故選c.【點睛】本題主要考查等比數列的性質，以及等比數列基本量運算，意在考查靈活運用所學知識解決問題的能力，屬于簡單題.7.不等式的解集是，則的值為（ ）a. 14b. -14c. 10d. -10【答案】d【解析】【分析】根據一元二次不等式的解集與一元二次不等式對應的一元二次方程的根的對應關系，求得的值，進而求得的值.【詳解】不等式的解集是，可得是一元二次方程的兩個實數根，解得，故選：d.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解集與一元二次不等式對應的一元二次方程的根的對應關系，考查根與系數關系，屬于基礎題.8.設是

5、等比數列，有下列四個命題：是等比數列；是等比數列；是等比數列；是等比數列.其中正確命題的個數是（ ）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】c【解析】【分析】根據等比數列的性質對四個命題逐一分析，由此確定正確命題的個數.【詳解】是等比數列可得（為定值）為常數，故正確，故正確為常數，故正確不一定為常數，故錯誤故選：c.【點睛】本小題主要考查等比數列的性質，屬于基礎題.9.已知數列滿足，若，則（ ）a. -1b. 2c. 3d. 2019【答案】c【解析】【分析】根據遞推關系式判斷出數列是周期為周期數列，由此求得的值.【詳解】依題意，則；所以數列以3為周期的數列，所以，所以.故選：c.【點睛】本小

6、題主要考查數列的周期性，屬于基礎題.10.若，則時，與的大小關系為（ ）a. b. c. d. 隨值變化而變化【答案】a【解析】【分析】利用作差比較法，計算得，由此得出正確選項.【詳解】，且，.故選：a.【點睛】本小題主要考查差比較法比較大小，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于基礎題.11.放射性物質的半衰期定義為每經過時間，該物質的質量會衰退原來的一半，鉛制容器中有兩種放射性物質，開始記錄時容器中物質的質量是物質的質量的2倍，而120小時后兩種物質的質量相等，已知物質的半衰期為7.5小時，則物質的半衰期為（ ）a. 10 小時b. 8 小時c. 12 小時d. 15 小時【答案】b【解析】【

7、分析】由16設mb1則ma2設物質b的半衰期為t由題意可得：2，解得t【詳解】由題意得16又不妨設mb1則ma2設物質b的半衰期為t由題意可得：2，解得t8故選：b【點睛】本題考查了指數函數的實際應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題12.正數滿足,且恒成立,則實數的取值范圍是a. b. c. d. 【答案】b【解析】略二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示，則時速在的汽車大約有_輛.【答案】60【解析】【分析】先求得區間的頻率，由此求得時速在的汽車的數量.【詳解】由已知可得樣本容量為200，又數據落在區間的頻率為時

8、速在的汽車大約有故答案為：60【點睛】本小題主要考查根據頻率分布直方圖計算頻數，屬于基礎題.14.已知數列滿足，則數列的通項公式為_.【答案】【解析】【分析】利用累乘法求得數列的通項公式.【詳解】數列滿足，則當時，所有的式子相乘得，整理得（首項符合通項）.故.故答案為：【點睛】本小題主要考查累乘法求數列的通項公式，屬于基礎題.15.已知函數，則不等式的解集是_【答案】【解析】試題分析：函數，由解得，由解得，故不等式的解集為.考點：分段函數解不等式.16.設正實數滿足，則的最小值為_.【答案】【解析】【分析】設，得到，代入，利用一元二次方程有解，判別式為非負數列不等式，解不等式求得的可能取值范圍

9、，利用基本不等式確定的取值范圍.【詳解】設，所以，代入，得，化簡得，方程有根，化簡，解得或者由，所以，所以，所以.即的最小值為.故答案為：【點睛】本小題主要考查表達式最小值的求法，考查一元二次方程有實數根的條件，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.三、解答題：本大題共6小題，共計70分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明或演算步驟.17.甲、乙兩個同學分別拋擲1枚質地均勻的骰子.（1）求他們拋擲點數相同的概率；（2）求他們拋擲骰子的點數之和是3的倍數的概率.【答案】(1),(2)【解析】【分析】（1）列舉出所有的基本事件，確定拋擲點數相同的事件數，根據古典概型概率計算公

10、式，計算出所求概率.（2）根據（1）中列舉出的基本事件，確定拋擲骰子的點數之和是的倍數的事件數，根據古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】（1）甲、乙兩個同學分別拋擲1枚質地均勻的骰子，基本事件：共有36個，用來表示兩枚骰子向上的點數 記“他們拋擲點數相同”為事件a，則a包含基本事件：（；，共6種，故.（2）記“他們拋擲骰子的點數之和是3的倍數”為事件b，則b包含基本事件有：，共12種.故.【點睛】本小題主要考查列舉法計算古典概型概率問題，屬于基礎題.18.設等差數列的前項和為，已知.（1）求；（2）求數列的前項和.【答案】(1) ,(2)【解析】【分析】（1）將已知條件轉化為的形式列

11、方程組，解方程組求得的值，進而求得數列的通項公式.（2）根據等差數列前項和公式計算出.【詳解】（1）設等差數列的首項為，公差為，由，得，解得，；（2）由，得.【點睛】本小題主要考查等差數列通項公式的基本量計算，考查等差數列前項和公式，屬于基礎題.19.近年來大氣污染防治工作得到各級部門的重視，某企業現有設備下每日生產總成本（單位：萬元）與日產量（單位：噸）之間的函數關系式為，現為了配合環境衛生綜合整治，該企業引進了除塵設備，每噸產品除塵費用為萬元，除塵后當日產量時，總成本.（1）求的值；（2）若每噸產品出廠價為59萬元，試求除塵后日產量為多少時，每噸產品的利潤最大，最大利潤為多少？【答案】(1

12、)2,(2) 除塵后日產量為11噸時，每噸產品的利潤最大，最大利潤為6萬元.【解析】【分析】（1）利用原來的成本加上衛生綜合整治后增加的成本，求得除塵后總成本的表達式，利用，求得的值.（2）由（1）求得除塵后總成本的表達式，進而求得總利潤的表達式，由此求得每噸產品利潤的表達式，利用基本不等式求得每噸產品的利潤的最大值，以及此時對應的日產量.【詳解】（1）由題意，除塵后，當日產量時，總成本，故，解得.（2）由（1），總利潤，每噸產品的利潤，當且僅當，即時取等號，除塵后日產量為11噸時，每噸產品的利潤最大，最大利潤為6萬元.【點睛】本小題主要考查函數在實際生活中的應用，考查利用基本不等式求最值，屬

13、于基礎題.20.數列中，.（1）求；（2）求數列前項和；（3）設，存在數列使得，試求數列的前項和.【答案】（1）,（2）,（3）【解析】【分析】（1）根據，求得的值.（2）利用，化簡后證得是等比數列，由此求得的通項公式.（3）由（2）求得的通項公式，進而求得的通項公式，利用裂項求和法求得數列的前項和.【詳解】（1），. （2）， 是首項為，公比為2的等比數列. （3）， .【點睛】本小題主要考查根據遞推關系證明等比數列，考查裂項求和法，考查對數運算，屬于基礎題.21.一般來說，一個人腳掌越長，他的身高就越高，現對10名成年人的腳掌與身高進行測量，得到數據（單位：cm）作為樣本如表所示：腳掌長（

14、）20212223242526272829身高（）141146154160169176181188197203（1）在上表數據中，以“腳掌長”為橫坐標，“身高”為縱坐標，作出散點圖后，發現散點在一條直線附近，試求“身高”與“腳掌長”之間的線性回歸方程；（2）若某人的腳掌長為26.5cm，試估計此人的身高；（3）在樣本中，從身高180cm以上的4人中隨機抽取2人進行進一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm以上的概率.（參考數據：，）【答案】（1）,（2）腳長為26.5cm的人，身高約為185.5cm；（3）【解析】【分析】（1）根據回歸直線方程計算公式，計算出回歸直線方程.（2）

15、將代入（1）中求得的回歸直線方程，求得身高的估計值.（3）利用列舉法，結合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】（1）由題意知，關于的線性回歸方程為；（2）當時，即腳長為26.5cm的人，身高約為185.5cm；（3）記身高在180cm以上的4人為a，b，c，d，其中c，d為身高190cm，從這4人中隨機抽取2人的情形有：ab，ac，ad，bc，bd，cd共6種，其中有c或d的有5種，所求概率為.【點睛】本小題主要考查回歸直線方程的計算，考查利用回歸直線方程進行預測，考查古典概型概率計算問題的求解，考查運算求解能力，屬于中檔題.22.已知函數的值域為，記函數.（1）求實數的值；（2）存在使得不等式成立，求實數的取值范圍；（3）若關于的方程有5個不等的實數根，求實數的取值范圍.【答案】（1）1,(2) ,(3) 【解析】【分析】（1）利用配方法，結合二次函數的性質求得的值.（2）將原問題轉化為“存在成立”，利用換元法，結合二次函數的性質，求得的取值范圍.（3）首先判斷不是方程的根. 當時，利用換元法，將原方程轉化為.通過研究的單調性和值域，結合方程根的個數，求得的取值范圍，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）因為，即有時，即，解