1、整體把握數學課程提高日常教學效率 從高考視角說起,首都師范大學 王尚志,問 題,1、新課標卷的變化及應對。 2、數學教師應該具備什么樣的素質，采取哪些教學策略，帶出更多的數學高分學生？ 3、湖南卷最后一道題如何分解難度？ 4、文科學生要學習到什么程度才能突破填空題最后一題的最后一問和最后一個解答題？ 5、怎樣調節文科學生在感性思維和理性思維培養之間的矛盾? 6、數學課是學校開課最多的科目，怎樣才能從繁重的工作中解脫出來？ 7、在高考題中解答題有可能出現哪些變化？ 8、新課標中對數列、不等式、圓錐曲線中的雙曲線等內容的要求明顯降低，針對這些內容高考在命題方式上可能做哪些調整,問 題,高考復習 知

2、識梳理忘了？ 專題深入 查漏補缺 攻關沖刺 心理疏導 （過去這種復習流程效果不好！祝開發評,問題 不增加學習時間和強度，有什么辦法提高學習、教學效率？ 如何讓學生喜歡您喜歡數學？ 如何調動學生學習激情、主動精神？ “做得快”是數學教育主要價值追求？ 如何幫助學生學會學習,一、“重視基礎”高考試題趨勢 二、 整體把握高中數學課程 三、抓住數學本質 四、通性通法 五、幫助學生養成好習慣,目 錄,一、“重視基礎”高考試題趨勢,高考試題分類 1、基本題 2、把關題 3、難 題 以數列試題為例,一、“重視基礎” 基本題（如何讓數學三基扎實？是一輪復習成敗的關鍵。基礎也能考出區分度，因此數學最基本功、最基

3、本能力必須要好，注重從數學基礎去創編試題，一道題到底要求學生掌握什么本質東西、目的是什么要清楚祝開發評,高考的招生人數已達到70%的前提下，試卷的選拔功能必然發生變化，至少要能區分70% 以上的考生，淘汰不到30%的考生數學優秀的考生會有其他的渠道選拔(如自主招生)，這樣的選拔機制將得到不斷的完善，高考不是選拔數學優秀學生主要渠道。 高考的“基本試題”應讓全體考生都能入手，這些試題應該以實現高中數學課程目標的基本內容為載體，這些內容不僅是基本的，也是重要的 ，同時，在不同水平層面上顯示學生數學學習水平。 在今年的試題中，這些“基本試題”在試卷中占有很大比例，以下選擇一些典型的試題，分析其基本、

4、重要，以及學習、理解時的差異，這些差異自然產生區分,一、“重視基礎” 基本題,例1，(2013年湖北理18)(12分) 已知等比數列an滿足：a2a3=10，a1a2a3=125 ()求數列an的通項公式； ()是否存在正整數m，使得 若存在，求m的最小值；若不存在，說明理由 例2，(2013年陜西理17). (本小題滿分12分) 設 是公比為q的等比數列. () 推導 的前n項和公式; () 設q1， 證明數列 不是等比數列. 例3，(2013年陜西文19) 設Sn表示數列an的前n項和 () 若an為等差數列，推導Sn的計算公式； () 若a1=1，q0，且對 所 有 正 整 數 n， 有

5、 判斷an是否為等比數列，并證明你的結論,一、“重視基礎” 基本題,在高中課程中，“函數內容”是主線之一，數列是最基本函數形式，其中，數列核心內容是對等差、等比數列認識。 以上三道數列的試題都是考察數列基本內容。（包括：知識認識、技能使用、思想滲透,一、“重視基礎” 基本題,例1，(2013年湖北理18)(12分) 已知等比數列an滿足： a2a3=10，a1a2a3=125 ()求數列an的通項公式； ()是否存在正整數m，使得 若存在，求m的最小值；若不存在，說明理由,一、“重視基礎” 基本題,例3第一問是基本要求 問題的條件是等比數列an滿足：a2a3=10，a1a2a3=125，進而討

6、論等比數列的其他結果。 什么是反映等比數列的本質？ 等比數列首項a1和公比q是最本質條件。為什么？ 等比數列的定義 ：an =q an-1 （n2）。 這個式子又稱為迭代公式，只要知道首項，就可求出任意一項的值，這個思想是求解絕大多數微分方程和差分方程基本思路。 在某些特定條件下，可以求出通項an的解析表達式，例如，等差、等比。 哪些數列能求出通項公式，可以查閱選修課“數列與差分”。 我們要使學生學會：用a1和q表示出條件中其它量。這個問題就變成由兩個條件（方程）求兩個未知數a1和q，如何求出a1和q，就會有區分，例如，有的學生會做的比較直接，可以從第二條件（a1q）3125求出a1q=5，第

7、一個條件就變成q的一元方程，即 （a1q）q；求出q 3、1；a1 = 5/3、5； 故 或an = 5(1)n1,一、“重視基礎” 基本題,例3第一問是基本要求 在日常教學中，一定要使學生學會：用a1和q表示出條件中其它量。一般我們稱為“知三求二”，即在首項、等比值、項數n、通項、前n項和“知三求二” 。 這個問題就變成由兩個條件（方程）求兩個未知數a1和q，如何求出a1和q，就具有區分度。例如，有的學生會做的好一些，例如，可以先求出a1q，從第二條件（a1q）3125求出a1q=5； 再由第一個條件，求解q的一元絕對值方程；求出q 3、1；a1 = 5/3、5,一、“重視基礎” 基本題,第

8、二問需要兩步思考. 第一步，等比數列每一項倒數組成的數列仍是等比數列，雖然不難，會產生區分， 第二步的思路：或否定以下不等式，或求解不等式，找出滿足不等式的n值 。 本題是前者。分兩種情況,一、“重視基礎” 基本題,一、“重視基礎” 基本題,例2，(2013年陜西理17)(本小題滿分12分) 設 是公比為q的等比數列. () 推導 的前n項和公式; () 設q1， 證明數列 不是等比數列. 例3，(2013年陜西文19) (本小題滿分14分) 設Sn表示數列an的前n項和 () 若an為等差數列，推導Sn的計算公式； () 若a1=1，q0，且對所有正整數n，有 判斷an是否為等比數列，并證明

9、你的結論,一、“重視基礎” 基本題,例1和例2的第一問是基本內容不會有異議。 但是，這樣問題仍會有區分度，有相當多的學生都不能推導出這些基本的公式。 有一些老師會質疑這不是鼓勵“死記硬背”嗎？恰恰相反，我們需要反復、深入理解這些基本內容含義，學好這些不是為了做題，做題是為了更好理解這些基本的內容，掌握高中數學，數學最重要的思想都是通過這些基本內容體現的,一、“重視基礎” 基本題,例1和例2的第二問也都是考察等比數列的概念，要求學生會使用等差、等比數列的定義進行判斷。 例1的第二問容易一些，需要了解比的基本性質，兩個數比值不為1時，兩個分別加一個數，它們和的比值與原比值不等，這是分數不等性質一個

10、推廣。 例2的第二問要難一些，首先需要理解通項an與前n項和Sn的關系，即anSnSn1；前者反映了后者的變化，后者是前者的積累，用分析的術語，后者是前者的積分，前者是后者的“導數”。 在日常教學時，不是形式地介紹這些術語，而是用學生可以理解語言解釋其意義；求解第二問還需要用到一個推理常識，否定一個結論，只需要舉出一個反例，討論一下：a2：a1 和a3：a2 就可以了，通過簡單因式分解就可以得到結果。這些要求應該是高中數學的基本要求,一、“重視基礎” 基本題,高考一個重要方向考察基本結果 余弦定理 向量基本定理,一、“重視基礎” 把關題,每份試卷都一些把關題，分布在選擇題、填空題和解答題中，能

11、否用基礎內容設計好的數學試卷的把關題，是反映命題者命題水平高低的試金石 有些試卷把課程中一些非主干、次要的內容，超越一般性“理解”的范圍作為載體考查，題目的難度也往往很高這樣做導向不好， 應該導引教學回歸課程基礎內容、核心內容，讓學生把這些基礎的、核心的內容掌握得更好，重點掌握原理、思想、方法 因此，在高考命題中，對基礎和核心內容的考查，無論是在內容比例還是分數權重上都應該是重點即便是把關題，也最好是盡量難在基礎和核心內容的考查上 數學試題難度可以反映在技巧上，也可以反映在思想理解上，希望命題者在后者下些功夫，這很具挑戰。今年不少高考數學試卷中，都有一些很好的把關題我們選了一道數列題進行分析,

12、一、“重視基礎” 把關題,一、“重視基礎” 把關題,本題以等比數列的部分項的和、積為背景，生成兩個新數列。 首先，需要判斷這兩個新數列都是由原等比數列的連續m項構成，前一個是連續m項的和構成，后一個是連續m項的積構成； 進而，分析兩個新數列相鄰兩項有什么特點和關系，對等比數列連續m項和、積的認識是基礎，等比數列連續m項和仍是等比數列和，僅僅是首項和項數不同，其和是個分式，很自然會分析數列bn相鄰兩項的比都不會是常數，不需要做具體計算，這是一種直覺，選項A、B顯然錯誤,一、“重視基礎” 把關題,等比數列的連續 項的積仍是指數冪的形式，底數不變，指數是連續m項等差數列的和，在等差數列日常教學，認識

13、等差數列概念時，應該強調相鄰項差一個公差d，間隔一項的兩項差2d，首項與通項an（間隔n-2項）差（n1）d，新數列每一項的指數為項的數列仍是等差數列（公差是m2），新數列一定是等比數列； 最后，需要算一下公比，指數的公差m2產生的冪qm2，選前兩項算一次就可以，這是考試技巧,一、“重視基礎” 難題,高考試卷中必然會有難題，用來區分高端考生2013年多數高考試卷中都有好的、嚴格遵循課程標準和考試大綱的難題以數學的核心內容、核心方法、核心思想可以命制不超綱區分高端考生的難題,一、“重視基礎” 難題,一、“重視基礎” 難題,這道題是一道“難題”，“難”在考察數學分析問題能力思維能力，題目依托的“內

14、容”是基本的。題目的條件是從一個給定的非負整數數列制造三個數列： ， ，dn；由于 是由非負整數（即自然數）組成，自然數最基本性質是“自然數任何非空子集有最小元”，后面論證中，多次用到，這個性質確保這三個數列一定是存在的，沒有這些條件 不一定存在,一、“重視基礎” 難題,這道題是一道“難題”，“難”在考察數學分析問題能力思維能力，題目依托的“內容”是基本的。題目的條件是從一個給定的非負整數數列制造三個數列： ， ，dn；由于 是由非負整數（即自然數）組成，自然數最基本性質是“自然數任何非空子集有最小元”，后面論證中，多次用到，這個性質確保這三個數列一定是存在的，沒有這些條件 不一定存在,一、“

15、重視基礎” 難題,在回答()之前，一定根據()的條件，寫出這三個數列，這對以下問題思考是有用的。 ：2，2，4，4，4，4，4， ：1，1，1，1，1，1，1， dn ：1，1，3，3，3，3，3， 故()的答案,一、“重視基礎” 難題,二、 整體把握高中數學課程,整體把握數學課程 課程目標 課程結構 數學、高中數學 高中數學教學特點 學生學習規律 整體把握評價 過程評價、高考 （一輪復習既要全覆蓋，又要整體把握主線、主干和重點，把握數學結構、 特征及其內在聯系祝開發評,結 構 課程,課程結構： 必修課程 必修一、必修二、必修三、必修四、必修五 選修系列一：兩個模塊 選修系列二：三個模塊 選修

16、系列三：六個專題 選修系列一：十個專題,結 構,必修 數學1：集合、函數概念與基本初等函數I （指數函數、對數函數、冪函數）； 數學2：立體幾何初步、平面解析幾何初步； 數學3：算法初步、統計、概率； 數學4：基本初等函數II（三角函數）、平面上的向量、三角恒等變換； 數學5：解三角形、數列、不等式,結 構,系列1：由兩個模塊組成。 選修1-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數及其應用； 選修1-2：統計案例、推理與證明、數系的擴充與復數的引入、框圖。 系列2：由三個模塊組成。 選修2-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間中的向量與立體幾何； 選修2-2：導數及其應用、推理與證明、數系的擴

17、充與復數的引入； 選修2-3：計數原理、統計案例、概率,結 構,系列3：由六個專題組成。 選修3-1：數學史選講； 選修3-2：信息安全與密碼； 選修3-3：球面上的幾何； 選修3-4：對稱與群； 選修3-5：歐拉公式與閉曲面分類； 選修3-6：三等分角與數域擴充,結 構,系列4：由十個專題組成。 選修4-1：幾何證明選講； 選修4-2：矩陣與變換； 選修4-3：數列與差分； 選修4-4：坐標系與參數方程； 選修4-5：不等式選講； 選修4-6：初等數論初步； 選修4-7：優選法與試驗設計初步； 選修4-8：統籌法與圖論初步； 選修4-9：風險與決策； 選修4-10：開關電路與布爾代數,聯 系

18、,與義務教育數學內容接軌 數與代數 數、字母與運算 量、關系與模型 圖形與幾何 圖形分類與基本圖形 圖形基本關系 研究圖形基本方法 圖形應用 統計與概率 統計 概率 綜合與實踐,聯 系,分析類數學課程： 研究函數以及與函數有關的問題的課程 數學分析， 復變函數， 實變函數， 常微分方程， 偏微分方程， 數值計算， 泛函分析， 與這些課程有聯系的拓展類課程：三角級數，調和分析，函數逼近論等等,聯 系,代數類數學課程：運算以及與運算有關的課程 高等代數（線性代數、多項式理論）， 抽象代數， 群倫， 有限群及其應用， 環論， 域論， 與這些課程有聯系的拓展類課程：交換代數，非交換代數，半論，等等,聯

19、 系,幾何類數學課程：研究圖形以及與圖形有關課程 解析幾何， 射影幾何（高等幾何）， 微分幾何， 點集拓撲， 代數拓撲， 微分拓撲， 微分流形， 許多相關課程：代數幾何，旋論，形論，等,聯 系,統計、概率類數學課程： 統計， 概率， 許多相關課程：隨機微分方程，等等,聯 系,應用類數學課程 運籌學線性規劃、整數規劃、非線性規劃 優化課程 離散數學課程圖論、離散數學 學科應用課程生物數學、 經濟、金融類數學類課程 計算類課程 理論物理類數學課程 圖像識別類數學課程 等等,突出結構主線基本結構,輔助內容 集合、算法、常用邏輯用語、推理與證明 內容主線 函數主線 運算主線 幾何主線 統計、概率主線

20、應用主線 應用貫穿始終數學建模與數學探究 文化滲透,結構突出主線 內容、趨勢說明,內容主線 函數主線 函數概念 函數概念整體認識 具體函數與抽象函數 函數基本性質 單調性 周期性 對稱性：奇、偶,結構突出主線 基本內容及趨勢說明,內容主線 函數主線 基本的函數模型 簡單冪函數 ： 指數函數與對數函數 三角函數 基本數列：等差、等比數列 簡單分段函數,突出結構主線 基本內容及趨勢說明,內容主線 函數主線 函數進一步研究 變化再認識：平均變化導數概念 基本函數求導 導函數的基本運算 用導數研究函數變化 導數實際應用 積分初步認識 微積分基本定理及初步應用,突出結構主線 基本內容及趨勢說明,內容主線

21、 函數主線 函數應用 方程近似求解：二分法 求解不等式：一元二次不等式 簡單線性規劃 算法中函數思想 簡單函數最值,突出結構主線 基本內容及趨勢說明,內容主線 運算主線 運算對象運算法則 指數、對數運算 三角運算（三角恒等變形） 向量代數 矩陣與變換 復數 函數及導數運算,突出結構主線 基本內容及趨勢說明,內容主線 運算主線 運算應用 向量應用向量幾何 討論位置關系：平行、垂直 討論度量關系：距離、角度（三角恒等變形） 向量應用 解三角形 向量的物理應用 矩陣與幾何變換,突出結構主線 基本內容及趨勢說明,內容主線 運算主線 運算通性通法 運算程序化（算法） 待定系數 換元 配方 消元,突出結構

22、主線 基本內容及趨勢說明,內容主線 幾何主線 圖形的整體認識與基本圖形 空間中圖形：球、柱、錐、臺 空間中圖形：點、直線、平面 長方體與空間直角坐標系 平面中圖形：點、直線、圓 平面中圖形：橢圓、拋物線、雙曲線 平面中圖形：基本的函數圖像,突出結構主線 基本內容及趨勢說明,內容主線 幾何主線 依托圖形建立空間想象與幾何直觀 （學會用圖形描述問題、尋求解決問題思路、表示與理解結果） 投影與三視圖 直觀圖 點、直線、平面的位置關系 平面基本變換與矩陣 單位圓與三角函數,突出結構主線 基本內容及趨勢說明,內容主線 幾何主線 圖形研究的基本問題 位置關系：平行、垂直、相交 度量關系：距離、角度、（面積

23、、體積） 基本變換與性質,突出結構主線 基本內容及趨勢說明,內容主線 幾何主線 研究圖形的基本方法 綜合幾何 圖形的基本概念 公理與基本事實 證明 運用變換認識圖形,突出結構主線 基本內容及趨勢說明,內容主線 幾何主線 研究圖形的基本方法 解析幾何 基本研究對象：直線、圓 橢圓、拋物線、雙曲線 選擇坐標系 幾何特征代數化 建立標準方程 運用方程討論圖形性質 向量幾何：用向量討論幾何問題 基本研究對象：空間、平面基本直線型 用向量描述幾何特征 把幾何問題用向量表述 通過計算解決問題,突出結構主線 基本內容及趨勢說明,內容主線 幾何主線 研究圖形的基本方法 運用變換認識圖形 用函數方法研究圖形性質

24、,突出結構主線 基本內容及趨勢說明,內容主線 統計、概率主線 統計 數據處理全過程 收集數據、整理數據、提取信息、解決問題 基本統計模型 數據擬合 相關分析 獨立檢驗 假設檢驗、聚類分析,突出結構主線 基本內容及趨勢說明,內容主線 統計、概率主線 概率 隨機現象認識 概率統計描述 離散隨機變量與分布 基本概率模型 古典概型 幾何概型模擬 二項分布 超幾何分布 正態分布初步認識,突出結構主線 基本內容及趨勢說明,內容主線 應用主線 數學應用主要載體 函數 代數 幾何 統計、概率 應用層次 內容背景（基本函數的背景） 內容直接應用（應用題，例如，利率計算） 簡單數學建模過程（數學建模與數學探究）

25、在情境中（實際、數學）發現問題，提出問題，轉化為數學問題，建立數學模型，求解數學模型，討論數學解的實際意義，修改模型,課程內容定位變化 舉例,大學數學教育中一次有意義討論： 數學分析、實變函數、泛函分析、拓撲學、近世代數等等學科教材開始總要介紹一些集合的知識，有人提出是否可以開設一門“集合論初步”的課程？使之成為基礎課程？也有人建議開設“數理邏輯初步”（包括集合論初步）？ 布爾巴基學派也提出過這樣的建議。 至今，還沒有采取這種方式的課程體系。 集合、數理邏輯一些的常識是需要了解的，但是，并不需要系統學習數理邏輯、集合論，即使專門研究數學某些分支的數學家,課程內容定位變化 舉例,高中階段中，需要

26、學生了解一些“集合、常用邏輯用語、算法與框圖、推理與證明”的內容，它們是“服務性”內容，稱之為“輔助內容”。 “集合”定位：學會分類，用符號語言清晰描述一類事物，主要是數學事物，了解幾類事物（幾個集合）基本關系并、交、余（補），等。 “常用邏輯用語”定位：理解、學習使用在數學中經常使用的“邏輯用語”：充分條件、必要條件、充要條件；全稱量詞、存在量詞；了解數學命題的表述,課程內容定位變化 舉例,推理與證明”定位， “推理”是數學基本思想，包括演繹推理和歸納（合情）推理，學生需要了解這些推理基本思維方式，例如，演繹推理有“直接推理”和“間接推理”，“直接推理”常用“綜合推理方式”或“分析推理方式”

27、等，也有一些針對特定數學問題的“直接推理方式”，例如，數學歸納法，等；“間接推理”常用“反證法推理方式”。“歸納推理”常用思維方式有“歸納”、“類比”、“猜想”，等,課程內容定位變化 舉例,算法與框圖”定位， 數學家馮.諾依曼、圖靈發明了計算機，計算機迅猛發展極大推動了數學發展，不僅拓展了數學研究對象，也開拓了研究方法，作為計算機核心“算法”也成為了數學教育新內容。解決問題的“框圖”是算法思想（程序化）的集中體現，學習算法主要任務：學習用“框圖”把解決數學問題的思路準確、清晰、直觀地標準出來。學習算法應體會“構造證明方法”，它是演繹推理主要方式，也是“計算機時代”解決問題基本方法,課程內容定位

28、變化 舉例,結構變化 “向量”作為高中數學的核心內容，改變了數學課程結構，特別是代數（運算）和幾何內容結構。 （1）向量代數作用向量代數：建立與線性代數聯系 加強趨勢：矩陣與向量 （2）向量幾何作用向量幾何 加強趨勢：矩陣與變換 （3）向量物理作用 （4）向量橋梁作用聯系代數、幾何、物理天然橋梁 （5）向量的應用： （6）向量模型作用,三、抓住數學本質,以數列內容為例 ： 討論問題 學生做了大量題，留下什么？ （結合前面的高考題思考、分析,三、抓住數學本質,以數列內容為例 ： 數列是函數，是定義在自然數上的函數。 函數的核心是討論變化 代數刻畫 幾何（圖形）直觀 根據函數表示分析函數變化,三、

29、抓住數學本質（就掌握了“開關”及解題方法、規律，達到融會貫通祝開發評,以數列內容為例 ： 反映等差、等比數列本質是概念 在這，定義是概念的核心等差d、等比q 等差、等比數列數的變化 代數刻畫 幾何（圖形）直觀 參數的關系 基本參數 “知三求二” 等差、等比之間關系,四、通性通法,舉例： 待定系數模型 量的分析 關系的分析 模型的識別 模型的確定待定系數 模型討論,四、通性通法,舉例： 求距離向量 例如，平面外一點M到平面的距離。 確定點M和平面上的一點N及垂直平面的向量a 在平面上取一點N,確定向量NM 求向量NM與向量a的單位向量的點乘 取決對值 這個結果就是所求的距離,四、通性通法（這是高

30、考的趨勢，實現三基中的基本思想方法扎實祝開發評,舉例： 求距離向量 點之間距離 點到直線距離 相互平行直線的距離 點到平面距離 直線與平行平面的距離 相互平行平面的距離 異面直線的距離,舉例我校落實新課程的嘗試,福建晉江養正中學,堅決按照標準與考綱要求安排上課內容,以函數這一章為例,1、函數概念,2、函數的三要素,1）了解構成函數的要素，會求簡單函數的定義域、值域。 刪減內容：對抽象函數的定義域問題，函數值域的討論也不宜過難,2）在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如，圖像法、列表法、解析法）表示函數。 刪減內容：求函數的解析式的方法（換元法、配湊法、解方程法,堅決按照標準與考綱要求安排上課內容,以