1、,第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念,概率論：隨機(jī)變量的概率分布,數(shù)理統(tǒng)計(jì)：分析帶有隨機(jī)影響數(shù)據(jù),理 論 基 礎(chǔ),生 物 統(tǒng) 計(jì),應(yīng)用領(lǐng)域：,計(jì) 量 經(jīng) 濟(jì),教 育 統(tǒng) 計(jì),保 險(xiǎn) 統(tǒng) 計(jì),地 質(zhì) 數(shù) 學(xué),總體與樣本,6.1,一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題總有它明確的研究對(duì)象.,1.總體,研究對(duì)象的全體稱為總體(母體)，,總體中每個(gè)成員稱為個(gè)體.,總體,一、總體和樣本,然而在統(tǒng)計(jì)研究中，人們關(guān)心總體僅僅是關(guān)心其每個(gè)個(gè)體的一項(xiàng)(或幾項(xiàng))數(shù)量指標(biāo)和該數(shù)量指標(biāo)在總體中的分布情況. 這時(shí)，每個(gè)個(gè)體具有的數(shù)量指標(biāo)的全體就是總體.,為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)則從總體中抽取若干個(gè)體進(jìn)行觀察試驗(yàn)，以獲得有關(guān)總體的信息，這一抽取

2、過(guò)程稱為 “抽樣”，所抽取的部分個(gè)體稱為樣本. 樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目稱為樣本容量.,2. 樣本,但是，一旦取定一組樣本，得到的是n個(gè)具體的數(shù) (X1,X2,Xn)，稱為樣本的一次觀察值，簡(jiǎn)稱樣本值 .,樣本是隨機(jī)變量.,抽到哪5輛是隨機(jī)的,容量為n的樣本可以看作n維隨機(jī)變量.,基本概念:,總體：研究的問題所涉及的對(duì)象的全體,個(gè)體：總體中的每個(gè)成員,樣本：從總體中抽取部分個(gè)體,樣本容量：樣本所包含的個(gè)體數(shù)量,樣本的二重性,數(shù)的屬性,隨機(jī)變量的屬性,設(shè)X1,X2, ,Xn為總體X的一個(gè)容量為n的樣本。若它滿足 獨(dú)立性，即X1,X2, ,Xn 相互獨(dú)立； 同分布性，即每個(gè)Xi都與總體X服從相同的分

3、布. 則稱這樣的樣本為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱為樣本。,統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布,6.2,設(shè)X1,X2, ,Xn是總體X的樣本，g(X1,X2, ,Xn)是樣本的實(shí)值函數(shù)，且不包含任何未知參數(shù)，則稱g(X1,X2, ,Xn)為統(tǒng)計(jì)量。,統(tǒng)計(jì)量的二重性,統(tǒng)計(jì)量,樣本均值,常用統(tǒng)計(jì)量,樣本方差,樣本均方差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差S,常用統(tǒng)計(jì)量,樣本k階(原點(diǎn))矩,樣本k階中心矩,設(shè)X1,X2, ,Xn是取自總體X的樣本，記x1,x2, ,xn是樣本的任一觀測(cè)值，將它們按由小到大的順序重新排列為x(1) x(2) x(n) 。若X(k)= x(k) ，則稱X(1),X(2), ,X(n)為樣本X1,X2, ,Xn的次序統(tǒng)計(jì)量

4、。,次序統(tǒng)計(jì)量,第k個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量,最小次序統(tǒng)計(jì)量,最大次序統(tǒng)計(jì)量,設(shè)X1,X2, ,Xn是取自總體X的樣本，對(duì)應(yīng)的次序統(tǒng)計(jì)量為X(1) X(2) X(n) ，當(dāng)給定次序統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值x(1) x(2) x(n)時(shí),對(duì)任意實(shí)數(shù)x，稱函數(shù),經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù),為總體X的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。,例1：從總體X中抽取容量為3的樣本，其 觀測(cè)值為 （1） 1，2，3 （2）1，1，2 試求X的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。,解：將樣本觀測(cè)值由小到大排序得,例1：從總體X中抽取容量為8的樣本，其 觀測(cè)值為 33，45，25，33，35，65，30，27。 試求X的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。,解：將樣本觀測(cè)值由小到大排序得 25273033=333

5、54565 則由定義得經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為,3. 抽樣分布,統(tǒng)計(jì)量既然是依賴于樣本的，而后者又是隨機(jī)變量，故統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量，因而就有一定的分布，這個(gè)分布叫做統(tǒng)計(jì)量的“抽樣分布” .,抽樣分布,2分布,t 分布,F分布,2分布,定義：設(shè)X1,X2, ,Xn獨(dú)立同分布, 都服從N(0,1), 則稱統(tǒng)計(jì)量 2=X12+X22+Xn2 所服從的分布是自由度為 n 的2分布.記為22(n),2分布的概率密度函數(shù)圖形,2分布,性質(zhì)1(可加性) Y1 2(m)， Y2 2(n)，Y1與Y2獨(dú)立， 則Y1 +Y2 2(m+n),性質(zhì)2(數(shù)字特征) 若2 2(n)，則 E(2)=n，D(2)=2n,例2. 設(shè)X1

6、,X2, ,Xn是來(lái)自正態(tài)總體 XN(,2)的樣本，求隨機(jī)變量 Y=(X1- )2+ (X2- )2+ (Xn- )2/2 的概率分布。,解:X1,X2,Xn相互獨(dú)立且都服從N(,2) 分布，令Yi=(Xi- )/,則Y1,Y2, ,Yn相互獨(dú)立且Yi N(0,1) ，,由定義知Y= Y12+Y22+Yn2 2(n),t分布,定義: 設(shè)XN(0,1) , Y2(n), 且X與Y相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量,服從自由度為 n的 t 分布.記為Tt(n).,t分布的概率密度函數(shù)圖形,例3.設(shè)X1,X2, ,Xn是來(lái)自正態(tài)總體N(0,4) 的樣本，試問統(tǒng)計(jì)量,服從什么分布？,F分布,定義：設(shè)X 2(m)，

7、 Y 2(n)， X與Y相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量 F=(X/m)/(Y/n) 所服從的分布是自由度為(m,n)的F分布.記為FF(m,n),F分布的概率密度函數(shù)圖形,F分布,性質(zhì)1 若XF(m,n)， 則1/XF(n,m),性質(zhì)2 若X t(n)，則X2F(1,n),例4.設(shè)X1,X2, ,Xn是來(lái)自正態(tài)總體N(0,1) 的樣本，試問統(tǒng)計(jì)量,服從什么分布？,抽樣分布的分位點(diǎn)1,設(shè)為給定的常數(shù)，且01. 若存在2(n)使,其中fn(x)為2的概率密度，則稱點(diǎn)2(n)為2分布關(guān)于的上側(cè)分位點(diǎn)。,抽樣分布的分位點(diǎn)2,設(shè)為給定的常數(shù)，且01. 若存在t (n)使,其中fn(t)為T的概率密度，則稱點(diǎn)t (n)為t分布關(guān)于的上側(cè)分位點(diǎn)。,抽樣分布的分位點(diǎn)3,設(shè)為給定的常數(shù)，且01. 若存在F (m,n)使,其中f(y)為F的概率密度，則稱點(diǎn)F (m,n)為F分布關(guān)于的上側(cè)分位點(diǎn)。,分位點(diǎn)的性質(zhì),(2),(3),(4) 當(dāng)n較大(n45)時(shí),有,正態(tài)總體的抽樣分布,定理1：設(shè)X1,X2, ,Xn是來(lái)自正態(tài)總體N(,2) 的樣本，則,正態(tài)總體的抽樣分布,定理2：設(shè)X1,X2, ,Xm是來(lái)自正態(tài)總體N(1,2) 的樣本， Y1,Y2, ,Yn