1、直線與雙曲線的位置關系及中點弦問題1.直線與雙曲線的位置關系的判斷設直線，雙曲線聯立解得若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若即，直線與雙曲線相交，有兩個交點；直線與雙曲線相切，有一個交點；直線與雙曲線相離，無交點；直線與雙曲線有一個公共點是直線與雙曲線相切的必要不充分條件。2.直線與圓錐曲線相交的弦長公式設直線l:y=kx+n，圓錐曲線：F(x,y)=0，它們的交點為P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，且由，消去yax2+bx+c=0（a0），=b2 4ac。設，則弦長公式為：則若聯立消去得的一元二次方程：設，則焦點弦長：（點是圓錐曲線上的任意一點，是焦點，是到相應

2、于焦點的準線的距離，是離心率）。【例1】過點與雙曲線有且只有一個公共點的直線有幾條，分別求出它們的方程。解析：若直線的斜率不存在時，則，此時僅有一個交點，滿足條件；若直線的斜率存在時，設直線的方程為則， ，當時，方程無解，不滿足條件；當時，方程有一解，滿足條件；當時，令，化簡得：無解，所以不滿足條件；所以滿足條件的直線有兩條和。【例2】直線與雙曲線相交于A、B兩點，當為何值時，A、B在雙曲線的同一支上？當為何值時，A、B分別在雙曲線的兩支上？解析：把代入整理得： 當時，。由0得且時，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個交點。若A、B在雙曲線的同一支，須0 ，所以或。故當或時，A、B兩點在同一支上；

3、當時，A、B兩點在雙曲線的兩支上。點評：與雙曲線只有一個公共點的直線有兩種。一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點的直線。另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條。【例3】求直線被雙曲線截得的弦長；解析：由得得（*）設方程（*）的解為，則有 得，3.中點弦問題：【例】求過定點的直線被雙曲線截得的弦中點軌跡方程。解：設弦的兩個端點坐標為，弦中點為，則得：， 即， 即（圖象的一部分）4、最值問題【例1】在雙曲線上求一點，使到直線的距離最短。解：設與直線平行且與橢圓相切的直線方程為：聯立化簡得（*），故切線方程為：代入雙曲線方程解得（）【例2】設，為雙曲線=1的右焦點，在雙曲線上求一點P，使得 取得最小

4、值時，求P點的坐標.易解：P點的坐標為典例分析例1. 判斷下列直線與雙曲線的位置關系（1） （2）例2（1）過定點P(0,-1)的直線與雙曲線僅有一個公共點的直線有（ ）條。（2）過定點P(1,1)的直線與雙曲線 僅有一個公共點的直線有（ ）條。（3）過點的直線與雙曲線有且只有一個公共點，這樣的直線共有 A.1條 B.2條 C.3條 D.4條例3經過雙曲線的右焦點作傾斜角為30的直線交該雙曲線于A，B兩點，求 的周長。（ 為雙曲線的左焦點）例4.（1）以P（1，8）為中點作雙曲線為的一條弦AB，求直線AB的方程。（2）過定點A(1,1)作直線與雙曲線交與P，Q兩點，若點A是線段PQ的中點，這樣的直線存在嗎？例5如果直線雙曲線僅有一個公共點，求的值。 如果直線與雙曲線右支有兩個公共點 求的取值范圍。例6.若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點A和B，且(其中O為原點)，求的取值范圍。例7.已知