一、橢圓1點(diǎn)P處的切線PT平分F1PF2在點(diǎn)P處的外角2PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點(diǎn)3以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離4以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切5若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是0,PXY21XYAB0P021XYAB6若在橢圓外，則過PO作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P1、P2，則切,2點(diǎn)弦P1P2的直線方程是02XY7橢圓AB0的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)XYA，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為12F12TANPSB8橢圓（AB0）的焦半徑公式XY,1|ME20|EX1FC2,00,MXY9設(shè)過橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長軸上一個頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MFNF10過橢圓一個焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MFNF11AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則XYAB,0YX，2OMABK即。02YAXK12若在橢圓內(nèi)，則被PO所平分的中點(diǎn)弦的方程是0,P21B022XXAB13若在橢圓內(nèi)，則過PO的弦中點(diǎn)的軌跡方程是0,Y21YAB202XAB二、雙曲線1點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角2PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點(diǎn)3以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交4以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切（內(nèi)切P在右支；外切P在左支）5若在雙曲線（A0,B0）上，則過的雙曲線的切線方0,XY21XYB0P程是021AB6若在雙曲線（A0,B0）外，則過PO作雙曲線的兩條0,PXY2XY切線切點(diǎn)為P1、P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是021XYAB7雙曲線（A0,BO）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為雙曲線上任2B意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為12F12TPSCO8雙曲線（A0,BO）的焦半徑公式,XY02,當(dāng)在右支上時，,0,M10|MFEXA2|FEXA當(dāng)在左支上時，,09設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長軸上一個頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MFNF10過雙曲線一個焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q,A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A1Q交于點(diǎn)N，則MFNF11AB是雙曲線（A0,B0）的不平行于對稱軸的弦，M為ABXYB,0YX的中點(diǎn)，則，即。02XKABOM02YAXBAB12若在雙曲線（A0,B0）內(nèi)，則被PO所平分的中點(diǎn)弦的0,PXY1YB方程是2002XA13若在雙曲線（A0,B0）內(nèi)，則過PO的弦中點(diǎn)的軌跡方0,XY21YB程是20AB橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)（會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）橢圓1橢圓（ABO）的兩個頂點(diǎn)為,，與Y軸平行的21XY10AA2直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是1XB2過橢圓A0,B0上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直2XYAB0,Y線交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）20BCXKA3若P為橢圓（AB0）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1,F2是焦點(diǎn),21XY,，則12F21FTANT2CO4設(shè)橢圓（AB0）的兩個焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長軸端點(diǎn)）為橢圓2XY上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記,，則有12P1212FPSINCEA5若橢圓（AB0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)21XY0E時，可在橢圓上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離D與PF2的比例中項(xiàng)6P為橢圓（AB0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，21XY則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成211|2|AAFPF2,P立7橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是2200XYAB0AXBYC22ABX8已知橢圓（AB0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動點(diǎn)，且21（1）（2）|OP|2|OQ|2的最大值為OPQ221|AB（3）的最小值是24ABOPQS2AB9過橢圓（AB0）的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦21XYMN的垂直平分線交X軸于P，則|2EMN10已知橢圓（AB0）,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平21Y分線與X軸相交于點(diǎn),則X220BABX11設(shè)P點(diǎn)是橢圓（AB0）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2為其焦21YA點(diǎn)記，則1212F212|COSPF12TANPFSB12設(shè)A、B是橢圓（AB0）的長軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，2XYAB,，C、E分別是橢圓的半焦距離心率，則有PAB1232|COS|2TN12COTPABABS13已知橢圓（AB0）的右準(zhǔn)線與X軸相交于點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn)21XYALE的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線ACFCLCX經(jīng)過線段EF的中點(diǎn)14過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直15過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直16橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)E離心率（注在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)）17橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比E18橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng)雙曲線1雙曲線（A0,B0）的兩個頂點(diǎn)為,，與Y21XYB10AA2軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是21XB2過雙曲線（A0,BO）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互2XYB0,XY補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且（常數(shù)）20BCXKA3若P為雙曲線（A0,B0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),21XYBF1,F2是焦點(diǎn),，則（或12F21PTANT2CCO）TANTCCO4設(shè)雙曲線（A0,B0）的兩個焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長軸端點(diǎn)）21XYB為雙曲線上任意一點(diǎn)，在PF1F2中，記,12P12P，則有12FPSINCEA5若雙曲線（A0,B0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為21XYBL，則當(dāng)1E時，可在雙曲線上求一點(diǎn)P，使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離D與PF2的比例中項(xiàng)6P為雙曲線（A0,B0）上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線2XYB內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且和1|AFPF2,P在Y軸同側(cè)時，等號成立2,7雙曲線（A0,B0）與直線有公共點(diǎn)的充要21XYB0AXBYC條件是2ABC8已知雙曲線（BA0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動點(diǎn)，且OPQ（1）（2）|OP|2|OQ|2的最小值為（3）221|24AB的最小值是OPQSAB9過雙曲線（A0,B0）的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于21XYM,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交X軸于P，則|2EMN10已知雙曲線（A0,B0）,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的21XYB垂直平分線與X軸相交于點(diǎn),則或X20AB20ABX11設(shè)P點(diǎn)是雙曲線（A0,B0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F221YB為其焦點(diǎn)記，則1212F212|COSBPF12COTPFS12設(shè)A、B是雙曲線（A0,B0）的長軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的2XYB一點(diǎn)，,，C、E分別是雙曲線的半焦距BA離心率，則有12|COS|232TAN1E2COTPABABS13已知雙曲線（A0,B0）的右準(zhǔn)線與X軸相交于點(diǎn)，過雙2XYBLE曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且FCL軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn)BCX14過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直15過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直16雙曲線焦三角形中,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)E離心率注在雙曲線焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)17雙曲線焦三角形中,其焦點(diǎn)所對的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比E18雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng)其他常用公式1、連結(jié)圓錐曲線上兩個點(diǎn)的線段稱為圓錐曲線的弦，利用方程的根與系數(shù)關(guān)系來計算弦長，常用的弦長公式21122ABKXYK2、直線的一般式方程任何直線均可寫成A,B不同時為0的形式。3、知直線橫截距，常設(shè)其方程為它不適用于斜率為0的直線與直線垂直的直線可表示為。4、兩平行線間的距離為。5、若直線與直線平行則（斜率）且（在軸上截距）（充要條件）6、圓的一般方程，特別提醒只有當(dāng)時，方程才表示圓心為，半徑為的圓。二元二次方程表示圓的充要條件是且且。7、圓的參數(shù)方程（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為。圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元；8、為直徑端點(diǎn)的圓方程切線長過圓（）外一點(diǎn)所引圓的切線的長為（）9、弦長問題圓的弦長的計算常用弦心距，弦長一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來解；過兩圓、交點(diǎn)的圓公共弦系為，當(dāng)時，方程為兩圓公共弦所在直線方程一、橢圓答案1橢圓上一點(diǎn)P處的切線平分焦點(diǎn)三角形外角的證明題目已知為橢圓的焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)。求證點(diǎn)12,F210XYABP處的切線PT必平分在P處的外角在解答此題之后，我們還得到一個重要的定理12證法1設(shè)0,0,CXY對橢圓方程兩邊求導(dǎo)得，21XYAB20YAB2Y020,PTXYBKA又，10PFC20PFYKXC由到角公式知YXF1ODF2TPLL1L2N1324M20220TAN1BXYACK0220BCXYAAC，2022000BXBCXYYCY同理2020120TANCAKYBXCY，,2,，1又，4證法2設(shè)，如圖1，過、作切線PT的垂線，垂1,0FC2,0,PXYF2足分別為M、N切線PT的方程為，則點(diǎn)、到PT的距離為021XAB12，02141CFXYAB0224CNXYAB022011CXAFMXNA0012EEXPFX1PMF2N,又424兩種證法都是由導(dǎo)出，如圖，設(shè)PD為法線（即PD切線PT），則PD平分，故得如下重