盧灣區2011年高考模擬考試數學試卷（理科）20114（本卷完成時間為120分鐘，滿分為150分）一填空題（本大題滿分56分）本大題共有14小題，考生應在答題紙相應編號的空格內直接寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分1不等式1的解集是|2|X2函數的反函數為Y3方程的解集為2SINI0X4若實數對滿足，則的最大值為,Y24YXY5若關于X,Y的線性方程組的增廣矩陣為，該方程組的解為則063MN3,4XYMN的值為6在極坐標系中，點A的極坐標為，直線L的2,0極坐標方程為，則點A到直COSIN線L的距離為7某算法的流程圖如圖所示，則該算法輸出的N值是8已知N的展開式中含有常數項，251NX則的最小值是9已知,，且0203COS5，則3TAN4SIN10一長方形的四個頂點在直角坐標平面內的射影的坐標分別為1,23,5，則此長方形的中心在此坐標平面內的射影的坐標是1,611某船在A處看燈塔S在北偏東方向，它以每小時30海里的速度向正北方向航30行，經過40分鐘航行到B處，看燈塔S在北偏東方向，則此時該船到燈塔S的75距離約為海里（精確到001海里）12已知拋物線，過定點作兩條互相垂直的直線，與拋物2YPX,P12,LL線交于兩點，與拋物線交于兩點，設的斜率為若某同學已正確求,PQ2L,MN1LK輸出N開始否NN12NN2是結束N1（第7題圖）得弦的中垂線在Y軸上的截距為，則弦MN的中垂線在Y軸上的截距為PQ32PK13已知向量，的夾角為，若點M在直線OB上，則OAB3|4OA|1B|M的最小值為14已知集合，當為4022時，集合的元素個數21COS,NAXMZMA為二選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分15“”是“函數是奇函數”的（）SINFXA充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D既非充分又非必要條件16已知數列是無窮等比數列，其前N項和是，若，則NANS23A341ALIMNS的值為（）ABCD23438316317已知復數滿足（I是虛數單位），若在復平面內復數Z對Z12IZI2應的點為Z，則點Z的軌跡為（）A雙曲線的一支B雙曲線C一條射線D兩條射線18已知，234101XXF23410XXG若函數有唯一零點，函數有唯一零點，則有（）12AB120,X12,01,XCD,1,三解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應的編號規定區域內寫出必要的步驟19（本題滿分12分）已知矩形內接于圓柱下底面的圓，是圓柱的母線，若，ABOPA6AB，此圓柱的體積為，求異面直線與所成角的余弦值8AD30ACPB20（本題滿分13分）本題共有2個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分8分某校10名學生組成該?！翱萍紕撔轮堋敝驹阜贞牐ê喎Q“科服隊”），他們參加活動的有關數據統計如下（1）從“科服隊”中任選3人，求這3人參加活動次數各不相同的概率；（2）從“科服隊”中任選2人，用表示這2人參加活動次數之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數學期望E21（本題滿分13分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分7分已知橢圓過點，其左、右焦點分別為，且E21XYAB03,P12,F126FP（1）求橢圓的方程；（2）若是直線上的兩個動點，且，則以為直徑的圓是否,MN5X12FMNC過定點請說明理由22（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，參加活動次數123人數235APBCDO第3小題滿分9分已知數列是各項均為正數的等差數列，公差為D（D0）在之間和B,CCBA,BA,之間共插入個實數，使得這個數構成等比數列，其公比為QN3N（1）求證；|1Q（2）若，求的值；,AD（3）若插入的N個數中，有S個位于A,B之間，T個位于B,C之間，且都為奇數，,ST試比較S與T的大小，并求插入的N個數的乘積（用表示）,ACN23（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分對于定義域為的函數，若有常數M，使得對任意的，存在唯一DYFX1XD的滿足等式，則稱M為函數FX的“均值”2X12FXY（1）判斷1是否為函數的“均值”，請說明理由；1FX（2）若函數為常數）存在“均值”，求實數A的取值范圍；22,FXAA（3）若函數是單調函數，且其值域為區間I試探究函數的“均值”情況FX（是否存在、個數、大小等）與區間I之間的關系，寫出你的結論（不必證明）說明對于（3），將根據結論的完整性與一般性程度給予不同的評分盧灣區2011年高考模擬考試數學試題（理科）參考答案與評分標準一、選擇題（每小題4分）12345,32LOG1YX|,XK24678910577250,1112131443PK16二選擇題（每小題5分）15A16D17C18B19解設圓柱下底面圓的半徑為，連，ORACAPBCDOXYZ由矩形內接于圓，可知是圓的直徑，ABCDOAC于是，得，3分226810R5R又圓柱的體積，可得6分53VP12P分別以直線為軸，建立空間直角坐標,XYZ系，可得，8分AXYZ6806,CB設異面直線與所成角所成的角，向量與的夾角為，ACB則，|35COS|21AP故異面直線與所成角的余弦值為12分B20解（1）3人參加活動次數各不相同的概率為12350C4P故這3名同學中參加活動次數各不相同的概率為5分14（2）由題意知，,12；7分3510C4P；9分27110分1520C49的分布列為11分所以的數學期望13分1472410595E21解（1）設點的坐標分別為，12,F,0C則33,PC故，可得，2分212164C所以，4分212|4316A故，23,8BC所以橢圓的方程為6分E21XY（2）設的坐標分別為，則，,MN5,MN129,1,FMMNN又，可得，即，8分12F1290FN又圓的圓心為半徑為，C,|X012P故圓的方程為，C222|5MNXY即，250XYN也就是，11分29令，可得或2，08X故圓必過定點和13分C,0,（另法（1）中也可以直接將點坐標代入橢圓方程來進行求解；（2）中可利用圓C直P徑的兩端點直接寫出圓的方程）22解（1）由題意知，2NCQAD又，可得，2分0,AD1即，故，又是正數，故4分2|NQ2|N|1Q（2）由是首項為1、公差為的等差數列，故，,BCDDCB21,若插入的這一個數位于之間，則，,AB23D消去可得，即，其正根為7分Q32D305若插入的這一個數位于之間，則，,CQD13消去可得，即，此方程無正根3132故所求公差9分25D（3）由題意得，又，1SBADQ1TCADQB0,故，可得，又，20A2AD故，即10STQ1|STQ又，故有，即12分|TT設個數所構成的等比數列為，則，3NNA123,SNACB由，可得4132,4KNAACK，14分32231N1132NNC又，10SBQ0BQT由都為奇數，則Q既可為正數，也可為負數，,T若Q為正數，則，插入N個數的乘積為；23A2N12NAC12NAC若Q為負數，中共有個負數，,故，所插入的數的乘積為32A1222NNC2AC122NC所以當N時，所插入N個數的積為；42NK12NAC當N）時，所插入N個數的積為18分（另法由又，10SBQA01BCQT20NCQA由都為奇數，可知是偶數，Q既可為正數也可為負數,ST23A2N23121NN若Q為正數，則，23A2N11222NNCAQAA故插入N個數的乘積為；15分1C若Q為負數，由是偶數，可知的奇偶性與的奇偶性相同，12N2N可得23A2N21NAC所以當N時，所插入N個數的積為；4K12NAC當N）時，所插入N個數的積為18分）23解（1）對任意的，有，1,X1,X當且僅當時，有，21X22FF故存在唯一，滿足，2分,1所以1是函數的“均值”4分FXX另法對任意的，有，令，1,1,21X則，且，2,X22FF若，且，則有，可得，,1X22FF2X故存在唯一，滿足，2分2,1FX所以1是函數的“均值”4分）FX（2）當時，存在“均值”，且“均值”為；5分0A2X3當時，由存在均值，可知對任意的，1FA1X都有唯一的與之對應，從而有單調，2X212FAX故有或，解得或或，9分1A0綜上，A的取值范圍是或10分12A（另法分四種情形進行討論）0,（3）當I或時，函數存在唯一的“均值”,AB,FX這時函數的“均值”為；12分FX2AB當I為時，函數存在無數多個“均值”,F這時任意實數均為函數的“均值”；14分FX當I或或或或或時，,A,A,A,B,A函數不存在“均值”16分FX評分說明若三種情況討論完整且正確，但未用等價形式進行敘述，至多得6分；若三種情況討論不完整，且未用等價形式敘述，至多得5分當且僅當I形如、其中之一時，函數存在唯一的“均值”,AB,FX這時函數的“均值”為；13分FX2當且僅當I為時，函數存在無數多個“均值”,FX這時任意實數均為函數的“均值”；16分FX當且僅當I形如、其中之一時，,A