暑期專題輔導(dǎo)材料九（舊課）復(fù)習(xí)與測試（第一章集合與簡易邏輯）本章的重點(diǎn)是1有關(guān)集合的基本概念、術(shù)語和符號；2A與AA0型的不等式的解法，一元二次不等式的解法；X3邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”與充分條件和必要條件本章的難點(diǎn)是1有關(guān)集合的各個(gè)概念的涵義、它們之間的區(qū)別與聯(lián)系；2對絕對值意義的理解；3弄清一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系；4對一些數(shù)學(xué)命題真假的判斷、關(guān)于充要條件的判斷和反證法的運(yùn)用本章內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，其中集合論是由18世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)始的，是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要基礎(chǔ)；邏輯是研究思想形式及其規(guī)律的一門基礎(chǔ)學(xué)科，它們今后學(xué)習(xí)的內(nèi)容有著密切聯(lián)系，學(xué)好本章內(nèi)容必將為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其它知識奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)【基本概念】1集合一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合，也簡稱集表示集合的方法有列舉法、描述法和圖示法，集合可分為有限集和無限集2空集一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作3子集一般地，對于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，記作AB或BA這時(shí)我們也說集合A是集合B的子集當(dāng)集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時(shí)，則記作（或）我們規(guī)定空集是任何集合的子集也就是說，對任何一個(gè)集合A，有A4等集一般地，對于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，記作AB5全集如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集，全集通常用U表示6補(bǔ)集一般地，設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集即AS，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集或余集，記作CSA，即CSAXXS，且XA7交集，并集一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A與B的交集，記作AB讀作“A交B”，即ABXXA，且XB而由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A與B的并集，記作AB讀作“A并B”，即ABXXA，或XB對于交集“ABXXA，且XB”，不能簡單地認(rèn)為AB中的任一元素都是A與B的公共元素，或者簡單認(rèn)為A與B的公共元素都屬于AB，這是因?yàn)椴⒎侨魏蝺蓚€(gè)集合總有公共元素當(dāng)集合A與B沒有公共元素時(shí)，不能說A與B沒有交集，而是AB對于并集“ABXXA，或XB”，不能簡單地理解為AB是由A的所有元素與B的所有元素組成的集合，這是因?yàn)锳與B可能有公共元素，故上述理解與集合的互異性不符8邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞不含邏輯聯(lián)結(jié)詞，是簡單命題；由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成，是復(fù)合命題9四種命題在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件或題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題；如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)叫做原命題的逆命題一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題把其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)就叫做原命題的否命題一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題把其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)就叫做原命題的逆否命題10充要條件一般地，如果已知PQ,那么我們說，P是Q的充分條件，Q是P的必要條件一般地，如果既有PQ，又有QP，就記作PQ這時(shí)，P既是Q的充分條件，又是Q的必要條件，我們就說P是Q的充分必要條件，簡稱充要條件【基本性質(zhì)】1基本符號XAX屬于A；X是集合A的一個(gè)元素YAY不屬于A；Y不是集合A的一個(gè)元素,A,B,C,N諸元素A,B,C,N構(gòu)成的集合XPX,XA使命題PX為真的A中諸元素之集合空集N非負(fù)整數(shù)集；自然數(shù)集N或N正整數(shù)集Z整數(shù)集Q有理數(shù)集R實(shí)數(shù)集C復(fù)數(shù)集BAB包含于A；B是A的子集BAB真包含于A；B是A的真子集BAB不包含于A；B不是A的子集ABA與B的交集ABA與B的并集CCABA中子集B的補(bǔ)集或余集2集合部分A；AA非空；AA；CUAA；CUAAU；CUCUAA；ABCAC；ABCAC；ABA；BAB；CUU；CUU；ABABA；ABABB；CUABCUACUB；CUABCUACUB3AXBCC0CAXBCAXBCC0AXBC或AXBC【基本規(guī)律】1復(fù)合命題真假判斷表非P形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示P非P真假假真P且Q形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示PQP且Q真真真真假假假真假假假假P或Q形式復(fù)合命題的真假可以用下表表示PQP或Q真真真真假真假真真假假假2四種命題之間的相互關(guān)系四種命題之間的相互關(guān)系，如圖所示我們已經(jīng)知道，原命題為真，它的逆命題不一定為真一般地一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系1原命題為真，它的逆命題不一定為真2原命題為真，它的否命題不一定為真3原命題為真，它的逆否命題一定為真【基本方法與思想】1絕對值不等式的解法XAA0的解集是XAXAXAA0的解集是XXA，或XA注對于AXBC或C，其中C0的解法可用換元法解2一元二次不等式的解法一元二次不等式AX2BXC0A0的解集如下表判別式B24AC000二次函數(shù)YAX2BXCA0的圖像YAX2BXCYAX2BXCYAX2BXC一元二次方程AX2BXC0A0的根有兩相異實(shí)根X1,X2X1X2有兩相等實(shí)根X1X2AB沒有實(shí)根AX2BXC0A0的解集XXX1或XX2XXAB2RAX2BXC0A0的解集XX1XX2對于絕對值不等式AXBC或C,其中C0可采用平方去絕對值法，即化為AXB2C2或C23充要條件的判定方法若PQ但QP，則P只是Q的充分不必要條件；若PQ，但QP,則P只是Q的必要不充分條件；若PQ，且QP，則P只是Q的充要條件；注必須看兩個(gè)方向，即PQ，QP結(jié)果如何才能下結(jié)論4反證法反證法是“原命題與其逆否命題同真同假”這一理論的具體體現(xiàn)，用反證法證明命題的一般步驟如下1假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；2從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；3由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確學(xué)習(xí)要求和需要注意的問題1學(xué)習(xí)要求1集合理解集合、子集、交集、并集、補(bǔ)集的概念了解空集和全集的意義了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義會用集合的有關(guān)術(shù)語和符號表示一些簡單的集合掌握簡單的絕對值不等式與一元二次不等式的解法2簡易邏輯了解命題的概念和命題的構(gòu)成理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義掌握四種命題及其相互關(guān)系初步掌握充要條件2需要注意的問題1集合與集合的元素是兩個(gè)不定義的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類似，但是，應(yīng)該清楚集合中的元素具有確定性，互異性確定性是指給定一個(gè)集合，一個(gè)對象屬于不屬于這個(gè)集合就是明確的，象很大的數(shù)，不能組成一個(gè)集合互異性是指在一個(gè)集合中，任何兩個(gè)元素是不同的對象，相同的對象只能算作這個(gè)集合的一個(gè)元素此外，集合中的元素還具有無序性，例如，1，2，44，2，12容易混淆的符號與的區(qū)別符號是表示元素與集合之間關(guān)系的，例如，有1N，1N等；符號是表示集合與集合之間關(guān)系的，例如，有NR，R等A與A的區(qū)別一般地，A表示一個(gè)元素，而A表示只有一個(gè)元素的集合，例如，有11,3,4,00,11,3,4等，不能寫成00,11,3,4,11,3,4單元綜合練習(xí)（集合與簡易邏輯）一、選擇題1已知集合PA，B，C，D，E，集合QP，且，則AQPB滿足上述條件的集合Q的個(gè)數(shù)為（）A7B8C15D242已知全集IR，集合，集合NX|X|20，那么71|XXM等于（）NMA（，1）B（7，）C2，3D（，2）（3，）3已知集合M有3個(gè)真子集，集合N有7個(gè)真子集，那么MN的元素個(gè)數(shù)為（）A有5個(gè)元素B至多有5個(gè)元素C至少有5個(gè)元素D元素個(gè)數(shù)不能確定4集合A（X，Y）|YA|X|，B（X，Y）|YXA，CAB，且集合C為單元素集合，則實(shí)數(shù)A的取值范圍為（）A|A|1B|A|1CA1DA0或A0，Y0，N（X，Y）|XY0，XY0，則（）AMNBMNCMNDNM6設(shè)全集I1，2，3，4，5，則集合的個(gè)數(shù)為（）2,1BABAA3B4C7D87設(shè)集合AX|X2K1，KN，BX|X2K1，KN，則A、B之間的關(guān)系是（）AABBABACABAD8已知集合A1，2，3，且A中至少有一個(gè)奇數(shù)，則這樣的集合共有（）個(gè)。A11B12C15D169已知I為全集，集合M、NI若MNN，則（）ABCDNNM10若|X2|0，Q0，試用反證法證明PQ233已知AX|XA，求AB及AB。032|2AXB4設(shè)，02|AXA|X，求AB。,515若UR，BX|X|Y1，YA，求，02|XBCUAB，AB，。CUUCAU6已知集合，BX|K0，Y0可得XY0，XY0，所以。NM由XY0知X0，Y0或X3，2X即，方程的兩根分別為X2和X3，由一元二次方程由根與系數(shù)的關(guān)系，得B（23）1，C（2）36。三、1解，X0或X2或X1（舍）02XP0，2，又Q2，1，P是Q的既不充分又不必要條件。2證明設(shè)PQ2因?yàn)镻0，Q0，所