第 1頁（共 40頁） 第 14章 勾股定理 一、選擇題（共 10小題） 1如圖，在邊長為 1個單位長度的小正方形組成的網格中，點 A、 線段 ） A 5 B 6 C 7 D 25 2如圖，在 C=90 ， ，點 B， ，則 ） A 1 B +1 C 1 D +1 3如圖，矩形紙片 ， 則矩形的一邊 ） A 1 B C D 2 4 C=5， ，點 點 D ， 點 E，則 ） A 5 5如圖，在 0 ， D 交 ， 知 ， ，則圖中長為 4 的線段有（ ） 第 2頁（共 40頁） A 4條 B 3條 C 2條 D 1條 6如圖，在四邊形 足為點 E，連接 ，點 ， ，則 長為（ ） A 2 B C 2 D 7在邊長為正整數的 ， C，且 ： 2的兩部分，則 ） A B C D 8如圖， C， D、 C 上， 點若， ，則關于 列何者正確？（ ） A 如圖，在 0 ，點 ，如果 ，則它的周長為（ ） 第 3頁（共 40頁） A B +1 C +2 D +3 10如圖， 、 B、 的正方形網格的格點上， 則 長為（ ） A B C D 二、填空題（共 15小題） 11如圖，在 C=4， O， O 上的一個動點， 0 ，則當 12在 302 13如圖，四邊形 點 ，取 中點 F，連接 設 AB=x， AD=y，則 y 4） 2的值為 第 4頁（共 40頁） 14正方形 ，點 D 邊的中點，點 腰長為 15如圖，在一張長為 7為 5要剪下一個腰長為 4等腰三角形（要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其余的兩個頂點在矩形的邊上），則剪下的等腰三角形的面積為 16如圖， ， 若 ， ，則 17等腰 C=102 18已知直角三角形的兩邊的長分別是 3和 4，則第三邊長為 19如圖，在等腰 C， 上的高 的高 20如圖，四邊形 B=90 ，連接 21如圖，點 C+ ， ， 3，則線段 第 5頁（共 40頁） 22如圖， 0 ， 直平分 足為 O， ， ，則 23如圖，在 0 ， C=2，以 ， 的一個動點，連接 24如圖，直徑為 10 的 （ 0， 6）和點 O（ 0， 0），與 ， B是 25如圖，在 0 ， C， B 于點E，交 若 ，則 長為 第 6頁（共 40頁） 三、解答題（共 5小題） 26如圖，在四邊形 A= C=45 ， 05 （ 1）若 ，求 （ 2）若 D=2 +2，求 27如圖，在 ， （ 1）求 （ 2）在 28在 C=4， 0 ，以 接 畫出圖形，并直接寫出 29如圖，根據圖中數據完成填空，再按要求答題： 第 7頁（共 40頁） ； ； （ 1）觀察上述等式，猜想：在 C=90 ，都有 （ 2）如圖 ，在 C=90 ， A、 B、 a、 b、 c，利用三角函數的定義和勾股定理，證明你的猜想 （ 3）已知： A+ B=90 ，且 ，求 30如圖， 連接 的切線交于點 D，連接 （ 1）求證： （ 2）若 = ，求 第 8頁（共 40頁） 第 14 章 勾股定理 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 10小題） 1如圖，在邊長為 1個單位長度的小正方形組成的網格中，點 A、 線段 ） A 5 B 6 C 7 D 25 【考點】勾股定理 【專題】網格型 【分析】建立格點三角形，利用勾股定理求解 【解答】解：如圖所示： =5 故選： A 【點評】本題考查了勾股定理的知識，解答本題的關鍵是掌握格點三角形中勾股定理的應用 2如圖，在 C=90 ， ，點 B， ，則 ） A 1 B +1 C 1 D +1 第 9頁（共 40頁） 【考點】勾股定理；等腰三角形的判定與性質 【專題】壓軸題 【分析】根據 B， B+ B=據勾股定理求出 長，從而求出 【解答】解： B， B+ B= A= ， 在 = =1； +1 故選 D 【點評】本題主要考查了勾股定理，同時涉及三角 形外角的性質，二者結合，是一道好題 3如圖，矩形紙片 ， 則矩形的一邊 ） A 1 B C D 2 【考點】勾股定理；線段垂直平分線的性質；矩形的性質 【分析】本題要依靠輔助線的幫助，連接 先利用線段垂直平分線的性質證明 C求出 【解答】解：如圖，連接 E， C（線段垂直平分線的性質） 又 點 ， C， 故 ， 第 10頁（共 40頁） 利用勾股定理可得 D= = 故選： C 【點評】本題考查的是勾股定理、線段垂直平分線的性質以及矩形的性質，本題的關鍵是要畫出輔助線，證明 題難度中等 4 C=5， ，點 點 D ， 點 E，則 ） A 5 【考點】勾股定理；等腰三角形的性質 【專題】動點型 【分析】過 F ，連結 據等腰三角形三線合一的性質和勾股定理可得 長，由圖形得 入數值，解答出即可 【解答】解：過 F ，連結 C=5， ， ， =3， 8 3= 5 5 12= 5 （ E） E= 故選： A 第 11頁（共 40頁） 【點評】本題主要考查了勾股定理、等腰 三角形的性質，解答時注意，將一個三角形的面積轉化成兩個三角形的面積和；體現了轉化思想 5如圖，在 0 ， D 交 ， 知 ， ，則圖中長為 4 的線段有（ ） A 4條 B 3條 C 2條 D 1條 【考點】勾股定理；角平分線的性質；含 30度角的直角三角形 【分析】利用線段垂直平分線的性質得出 C，再利用全等三角形的判定與性質得出 E，進而得出答案 【解答】解： 0 ， D 交 點 D， E=4， C， ， ， C=4 ， 在 ， E=4 ， 圖中長為 4 的線段有 3條 故選： B 【點評】此題主要考查了勾股定理以及角平分線的性質以及全等三角形的判定與性質，正確得出 6如圖，在四邊形 足為點 E，連接 ，點 ， ，則 長為（ ） 第 12頁（共 40頁） A 2 B C 2 D 【考點】勾股定理；等腰三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線 【專題】幾何圖形問題 【分析】根據直角三角形斜邊上的中線的性質可得 G，根據等腰三角形的性質可得 據三角形外角的性質可得 根據平行線的性質和等量關系可得 據等腰三角形的性質可得 G，再根據勾股定理即可 求解 【解答】解： 0 ， 又 點 G， G=3， 在 =2 故選： C 【點評】綜合考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質和直角三角形斜邊上的中 線，解題的關鍵是證明 G=3 7在邊長為正整數的 ， C，且 ： 2的兩部分，則 ） A B C D 【考點】勾股定理；三角形的面積；三角形三邊關系；等腰三角形的性質 第 13頁（共 40頁） 【分析】設這個等腰三角形的腰為 x，底為 y，分為的兩部分邊長分別為 n，再根據題意列出關于 x、 n、 n 表示出 x、 三角形的三邊關系舍去不符合條件的 x、 【解答】解：設這個等腰三角形的腰為 x，底為 y，分為的兩部分邊長分別為 n，得 或 ， 解得 或 ， 2 （此時不能構成三角形，舍去） 取 ，其中 的倍數 三角形的面積 S = = 于 S = 當 n 0時， S 隨著 當 n=3時， S = 取最小 故選： C 【點評】本題考查的是三角形的面積及三角形的三邊關系，根據題意列出關于 x、 n、 程組是解答此題的關鍵 8如圖， C， D、 C 上， 點若， ，則關于 列何者正確？（ ） A 考點】勾股定理；角平分線的性質；等腰三角形的判定與性質；銳角三角函數的增減性 第 14頁（共 40頁） 【分析】利用勾股定理列式求出 為 度，然后求出 根據 據三角形的高線的性質可得 根據等腰三角形三線合一的性質可得 【解答】解： ， ， = =5， C=5， C 3=2， ， ， 角形的三條高相交于同一點）， 又 C， 故選 A 【點評】本題考查了勾股定理，三角形的高線的定義，銳角三角函數的增減性，等腰三角形三線合一的性質，熟記各性質并準確識圖是解題的關鍵 9如圖，在 0 ，點 ，如果 為 1，則它的周長為（ ） A B +1 C +2 D +3 【考點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線 第 15頁（共 40頁） 【專題】計算題 【分析】根據 “ 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得 ；然后利用勾股定理、三角形的面積求得（ C）的值，則易求該三角形的周長 【解答】解：如圖， 在 0 ，點 B 的中點，且 ， 又 ， C=1，則 C=2 （ C） 2=C=9， C=3（舍去負值）， C+ ，即 + 故選： D 【點評】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線此題借助于完全平方和公式求得（ C）的長度，減少了繁瑣的計算 10如圖， 、 B、 的正方形網格的格點上， 則 長為（ ） A B C D 【考點】勾股定理；三角形的面積 第 16頁（共 40頁） 【專題】計算題 【分析】利用勾股定理求得相關線段的長度，然后由面積法求得 長度 【解答】解：如圖，由勾股定理得 = 2= D，即 2 2= 故選： C 【點評】本題考查了勾股定理，三角形的面積利用面積法求得線段 長度是解題的關鍵 二、填空題（共 15小題） 11如圖，在 C=4， O， O 上的一個動點， 0 ，則當 2 或 2 或 2 【考點】勾股定理；含 30 度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線 【專題】壓軸題；分類討論 【分析】利用分類討論，當 0 時，如圖 2，由對頂角的性質可得 0 ，易得 0 ，易得 長，利用勾股定理可得 0 時，分兩種情況討論，情況一：如圖 1，利用直角三角形斜邊的中線 等于斜邊的一半得出 O，易得 用銳角三角函數可得 得 用勾股定理可得 況二：如圖 3，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得結論 【解答】解：當 0 時（如圖 1）， O， 第 17頁（共 40頁） O， 0 ， 0 ， C=4， B4 =2 ； 當 0 時（如圖 2）， 0 ， 0 ， = =2 ， 在直角三角形 =2 ， 情況二：如圖 3， O， 0 ， O， 0 ， O=2， 故答案為： 2 或 2 或 2 第 18頁（共 40頁） 【點評】本題主要考查了勾股定理，含 30 直角三角形的性質和直角三角形斜邊的中線，分類討論，數形結合是解答此題的關鍵 12在 302 126或 66 【考點】勾股定理 【專題】壓軸題 【分析】此題分兩種情況： B、 用勾股定理即可求出 用三角形的面積公式得結果 【解答】解：當 圖 1）， 在 = =5 在 = =16 1， S = 21 12=126 當 圖 2）， 在 = =5 在 = =16 D 6 5=11 S = 11 12=66 故答案為： 126或 66 第 19頁（共 40頁） 【點評】本題主要考查了勾股定理和三角形的面積公式，畫出圖形，分類討論是解答此題的關鍵 13如圖，四邊形 點 ，取 中點 F，連接 設 AB=x， AD=y，則 y 4） 2的值為 16 【考點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線；矩形的性質 【專題】壓軸題 【分析】根據矩形的性質得到 B=x， D=y，然后利用直角 F=，則在直角 用勾股定理求得 y 4） 2= 【解 答】解： 四邊形 矩形， AB=x， AD=y， B=x， D=y， 0 又 ， F= y 在直角 4 y） 2=42=16， y 4） 2= 4 y） 2=16 故答案是： 16 【點評】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線以及矩形的性質根據 “ 直角 求得 長度是解題的突破口 第 20頁（共 40頁） 14 正方形 ，點 D 邊的中點，點 腰長為 2 ，或 ，或 【考點】勾股定理；等腰三角形的判定；正方形的性質 【專題】壓軸題；分類討論 【分析】分情況討論：（ 1）當 點重合，求出 度即可；若B 為頂點，則 （ 2）當 P 的垂直平分線上，與正方形的邊交于兩點，即為點 E； 由題意得出 ，證明 出比例式 ，即可求出 設 CE=x，則 x，根據勾股定理得出方程求出 由勾股定理求出 【解答】解：分情況討論： （ 1）當 點重合，如圖 1所示： 四邊形 C=D=4， A= C= D=90 ， P=2， 根據勾股定理得： = =2 ； 若 根據 E 得， E 為 點，此時腰長 ； （ 2）當 正方形的邊交于兩點，即為點 E； 當 B 上 時，如圖 2所示： 則 ， A=90 ， ，即 ， ； 當 D 上時，如圖 3所示： 設 CE=x，則 x， 根據勾股定理得： 第 21頁（共 40頁） 42+2+（ 4 x） 2， 解得： x= ， ， = = ； 綜上所述：腰長為： 2 ，或 ，或 ； 故答案為： 2 ，或 ，或 【點評】本題考查了正方形的性質、等腰三角形的判定、勾股定理；熟練掌握正方形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵 15如圖，在一張長為 7為 5要剪下一個腰長為 4等腰三角形（要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其余的兩個頂點在矩形的邊上），則剪下的等腰三角形的面積為 8 第 22頁（共 40頁） 【考點】勾股定理；等腰三角形的判定；矩形的性質 【專題】壓軸題；分類討論 【分析】因為等腰三角形腰的位置不明確，所以分三種情況進行討論： （ 1） 接利用面積公式求解即可； （ 2）先利用勾股定理求出 F，再代入面積公式求解； （ 3）先求出 F，再代入面積公式求解 【解答】解：分三種情況計算： （ 1）當 F=4時，如圖： S F= 4 4=8（ （ 2）當 F=4時，如圖： 則 4=1， = = ， S F= 4 =2 （ （ 3）當 F=4時，如圖： 第 23頁（共 40頁） 則 4=3， = = ， S F= 4 =2 （ 故答案為： 8或 2 或 2 【點評】本題主要考查矩形的角是直角的性質和勾股定理的運用，要根據三角形的腰長的不確定分情況討論，有一定的難度 16如圖， ， ， ，則 8 【考點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線 【專題】計算題 【分析】由 “ 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 ” 求得 0；然后在直角 用勾股定理來求線段 【解答】解：如圖， ， C 的中點， ， ， 0 在直角 0 ， ， 0，則根據勾股定理，得 = =8 故答案是： 8 【點評】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得 第 24頁（共 40頁） 17等腰 C=102 8 【考點】勾股定理；等腰三角形的性質 【專題】幾何圖形問題 【分析】利用等腰三角形的 “ 三線合一 ” 的 性質得到 后在直角 用勾股定理求得高線 長度 【解答】解：如圖， C=102 D=6 在直角 勾股定理得到： = =（ 8 故答案是： 8 【點評】本題主要考 查了等腰三角形的三線合一定理和勾股定理等腰三角形底邊上的高線把等腰三角形分成兩個全等的直角三角形 18已知直角三角形的兩邊的長分別是 3和 4，則第三邊長為 5或 【考點】勾股定理 【專題】分類討論 【分析】已知直角三角形兩邊的長，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論： 3 是直角邊， 4是斜邊； 3 、 4 均為直角邊；可根據勾股定理求出上述兩種情況下，第三邊的長 【解答】解： 長為 3的邊是直角邊，長為 4的邊是斜邊時： 第三邊的長為： = ； 長為 3、 4的邊都是直角邊時： 第三邊的長為： =5； 綜上，第三邊的長為： 5或 故答案為： 5或 第 25頁（共 40頁） 【點評】此題主要考查的是勾股定理的應用，要注意的是由于已知的兩邊是直角邊還是斜邊并不明確，所以一定要分類討論，以免漏解 19（如圖，在等腰 ， C， D=6 E=8 12 【考點】勾股定理；三角形的面積；等腰三角形的性質 【專題】幾何圖形問題 【分析】根據三角形的面積求得 = ，根據勾股定理求得 6，依據這兩個式子求出 可求得周長 【解答】解： E= D， ， ， = ， = ， C， C= 6， = ， 整理得； ， 解得： ， 第 26頁（共 40頁） = ， 2C=2 + =12 故答案為： 12 【點評】本題考查了三角形的面積以及勾股定理的應用，找出 20如圖，四邊形 B=90 ，連接 8 【考點】勾股定理；直角梯形 【專題】計算題 【分析】首先過點 E ，易得四邊形 可由勾股定理求得 長，易得 可求 得 而求得答案 【解答】解：過點 E ， 在梯形 四邊形 E， C=4 0 ， =3（ D=5 E+ 故答案為： 8 第 27頁（共 40頁） 【點評】此 題考查了梯形的性質、等腰三角形的判定與性質、矩形的性質以及勾股定理此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用 21如圖，點 C+ ， ， 3，則線段 4 【考點】勾股定理；角 平分線的性質；等腰三角形的判定與性質；解直角三角形 【專題】壓軸題 【分析】作 ，作 F，作 根據三角函數設x，則 x，在 據勾股定理得到 ， ，設 EF=y，則 +y，則 y，在 據勾股定理得到 ， ，設 DG=z，則 z，則（ ） 2 ） 2（ z） 2，依此可得 2，在 ，據勾股定理得到 ，在 勾股定理得到 【解答】解：作 C 于 E，作 ，作 G C+ C， ， 設 x，則 x， 在 （ ） 2=（ 4x） 2+（ 7x） 2， 解得 1（不合題意舍去）， ， ， ， 設 EF=y，則 +y，則 y， 第 28頁（共 40頁） 在 （ 6 y） 2=42+ 解得 y= ， y= ， ， 設 DG=z，則 z，則 （ ） 2 ） 2（ z） 2， 解得 z=1， 2， 在 =8， 在 =4 故答案為： 4 【點評】考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質，解直角三角形，解題的關鍵是根據勾股定理得到 22如圖， 0 ， 直 平分 足為 O， ， ，則 【考點】勾股定理；全等三角形的判定與性質；線段垂直平分線的性質 【專題】幾何圖形問題 【分析】先根據勾股定理求出 長，再根據 C 得出 據相似三角形的判定定理得出 相似三角形的對應邊成比例即可得出結論 【解答】解： 0 ， ， ， 第 29頁（共 40頁） = =5， C，垂足為 O， ， B=90 ， A= C， = ，即 = ，解得 故答案為： 【點評】本題考查的是勾股定理及相似三角形的判定與性質，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵 23如圖，在 0 ， C=2，以 ， 的一個動點，連接 1 【考點】勾股定理；線段的性質：兩點之間線段最短；等腰直角三角形 【分析】找到 中點 E，連接 半圓于 半圓上取 接 見， 根據勾股定理求出 長，然后減掉半徑即可 【解答】解：找到 中點 E，連接 半圓于 半圓上取 接 可見， 即 P 的最小值， = ， ， 1 故答案為： 1 第 30頁（共 40頁） 【點評】本題考查了勾股定理、最短路徑問題，利用兩點之間線段最短是解題的關鍵 24 如圖，直徑為 10 的 （ 0， 6）和點 O（ 0， 0），與 ， B是 【考點】勾股定理；圓周角定理；銳角三角函數的定義 【分析】連接 得 直徑，在直角 出 由圓周角定理，即可求得 【解答】解：連接 0 ， 即 0， 點 C（ 0， 6）， ， =8， = = ， 故答案為： 第 31頁（共 40頁） 【點評】此題考查了圓周角定理，勾股定理以及三角函數的定義此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握轉化思想的應用 25如圖，在 0 ， C， B 于點E，交 若 ，則 長為 1 【考點】勾股定理；三 角形內角和定理；等腰三角形的性質；含 30度角的直角三角形；平行線分線段成比例 【專題】幾何圖形問題；壓軸題 【分析】過 G 據等腰三角形的性質和三角形內角和定理可得 F，在 據三角函數可得 F=2， ，根據平行線分線段成比例可得比例式 F： 得 2 ，再根據平行線分線段成比例可得比例式 F： 此即可得到 1 【解答】解：過 G 在 C， D= ， 5 ， 5 ， F， 180 30 ） 2=75 ， 第 32頁（共 40頁） 5 15=60 ， 在 F= =2， D ， F： 1=2：（ 2+ ）， 解得 2 ， F： ） =（ 4 2 ）： 2， 解得 1 故答案為： 1 【點評】綜合考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理可得，三角函數，平行線分線段成比例，以及方程思想，本題的難點是作出輔助線，尋找解題的途徑 三、解答題（共 5小題） 26如圖，在四邊形 A= C=45 ， 05 （ 1）若 ， 求 （ 2）若 D=2 +2，求 【考點】勾股定理；含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形 【分析】（ 1）在四邊形 ，由 A= C=45 ， 05 ，得 65 105=60 ， 得 用銳角三角函數得 （ 2）設 DE=x，利用（ 1）的某些結論，特殊角的三角函數和勾股定 理，表示 結果 第 33頁（共 40頁） 【解答】解：（ 1）過 E 點 F A= C=45 ， 05 ， 60 A C 60 45 45 105=165 ， 65 105=60 ， ， E= = ， 05 ， 05 45 30=30 ， = = ， ； （ 2）設 DE=x，則 AE=x， = = ， =2x， 0 ， 0 ， =x， = = ， ， E+， F+CF=x ， D=2 +2， +1 第 34頁（共 40頁） 【點評】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質、含有 30 角的直角三角形的性質，解題的關鍵是作輔助線 造直角三角形，求出相應角的度數 27如圖，在 ， （ 1）求 （ 2）在 【考點】勾股定理；三角形中位線定理 【分析】（ 1）直接利用勾股定理得出 （ 2）利用平行線分線段成比例定理得出 而求出即可 【解答】解：（ 1） ， ， =3； （ 2）延長 點 E ， ，即 第 35頁（共 40頁） 【點評】此題主要考查了勾股定理以及平行線分線段成比例定理，得出 解題關鍵 28在 C=4， 0 ，以 等邊 接 畫出圖形，并直接寫出 【考點】勾股定理；等腰三角形的性質；含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形 【專題】壓軸題；分類討論 【分析】根據題意畫出圖形，進而利用勾股定理以及銳角三角函數