專題七關于圖形與幾何的總體建議,本講重點研討問題,1.怎樣把握空間觀念、幾何直觀等核心概念？2.課標教材中對空間觀念的培養做了哪些改進？3.請明確“幾何直觀”的概念。有哪些典型的案例來說明“幾何直觀”？4.小學階段對于“圖形的認識”這一內容，教材是遵循怎樣一個編排體系的？,物體特征,幾何圖形,圖形的運動和變化,物體的方位和相互之間的位置關系,依據語言的描述畫出圖形等,描述,空間觀念,抽象,想象,想象,課標教材中對空間觀念的培養做了以下改進,一個方面是安排了：視圖和投影、展開與折疊；另一方面是增加了：圖形與位置、圖形的變化。,能辨認從不同方向（前面、側面、上面）看到的物體的形狀圖,能根據具體事物、照片或直觀圖辨認從不同角度觀察到的簡單物體,例：搭一搭，看一看，找出從前面、側面、上面看到的形狀。,（）,（）,（）,案例：下面有三個正方體，哪一個展開以后可以得到下面的展開圖？,折疊與展開促進學生的空間想象能力。第一次轉換：,第二次轉換：,第三次思考：,探索正方體展開圖的規律,所以，這次課程標準做了一些增加內容，為小學空間觀念的形成，提供了比較豐富的素材，這一點是很突出的。,如果你是老師，有件緊急的事情要通知給同學，用打電話的方式，每分鐘通知1人，給你3分鐘的時間，能使多少人收到通知？大膽的猜測一下。,案例一：打電話,這些學生都能夠利用線段、點以圖形的形式，來描述打電話來通知這件事情，設計方案。,下面是學生借助圖形研究的例子,1,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,2,2,2,2,1,1,1,2,2,第三種方案，學生通知6名同學的在第二分鐘時，生1還可以通知1名學生。,第四種，在每一分鐘里都沒有空閑的人了，所以通知的同學最多，方案最好。,通過借助圖進行觀察、比較、推理，篩選最優方案的過程，初步掌握優化方案的基本步驟，隨后進行練習嘗試再設計，第四分鐘？第五分鐘呢？引導學生發現隱含的規律。,老師,1,2,2,3,3,3,3,4,5,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,可以用表格的方式呈現，探究規律。,由上表得出結論：每增加一分鐘，收到通知的老師和同學的人數是前一分鐘收到通知的老師和同學總數的2倍。有幾分鐘，總人數就是幾個2連乘（2的幾次方）。,時間,人數,1,2,3,4,2,4,5,8,16,32,21,22,23,24,25,規律,周玉仁：那么在這個問題當中，其中我們可以看出教材里呈現的是我們孩子們畫了各種各樣的圖，有的是這個方案，有的是那個方案，其中有一個方案是比較復雜的，那個孩子這么說，我們可不可以這樣通知，一個人通知另一個，他接到通知以后，趕緊通知別人，完了他還繼續通知其他人，這個話說是容易，想起來就糊涂，所以我們就出現這樣一個圖，畫了一個數圖。,周玉仁：通過這個數圖就把這個復雜的數量關系，很簡明很直觀的呈現出來，而且從這個圖本身，就能發現一些規律，這個蘊含了一個什么規律呢？就是一分鐘通知一個人，我們就可以感覺到，它第二次通知的新的人數，就是第一次的兩倍，否則你算是算不出來，看圖就看出來了。,吳正憲：這個圖就很清楚的把這段表現出來了。周玉仁：那么掌握這個規律以后，他就能解決復雜的問題，所以這個內容本身的作用，還可以培養孩子的推理。,讀懂信息,畫直觀圖,比較歸納方法,列表找規律,代數式表達,幾何直觀解決問題,吳正憲：它就是通過線段、點，以及圖形這樣一個，把它們過程很簡捷的表現出來，那么把它們之間的關系，就揭示得非常清楚，這就屬于典型的幾何直觀，就是圖形直觀。周玉仁：幾何直觀。還有這些高年級，能不能講低一點年級的。周愛東：就是比賽場次的問題。周玉仁：比賽場次的問題，好像是三年級有這個教材講的。,周愛東：也就是我們常所說的，體育場上的循環賽的這樣的實際問題，那么學生可以通過點連線的方法，然后把他所研究的，比如說是四個人進行比賽，還是五個人比賽，這樣的一個過程來描述出來，有的教師在授課的時候，還借助生活經驗，找幾名同學到前面來，武老師就是握手，這個可不可以說和學生的生活經驗對接一下，然后通過握手，然后去研究，五個人或者是六個人的然后通過圖，那么這個就是解決的就是幾何當中的、數學當中的組合問題。,案例二循環賽,師：如果我們用不同顏色的圓點代表不同的球隊，6支隊伍進行單循環賽共需要賽幾場？,師：如果在我們班要舉行小足球賽。同學們平均分成6個隊：分別是a隊、b隊c隊、d隊、e隊、f隊，那么按照單循環賽的規則進行比賽，誰來說說你們隊該和哪些隊進行比賽?,6支球隊：,中國,荷蘭,澳大利亞,西班牙,韓國,南非,A隊,B隊,C隊,D隊,E隊,F隊,周玉仁：實際上本來是數學上的組合問題，可是反映在求比賽場次的總場數，這個數學問題怎么解決呢？我們是通過畫圖，畫畫圖以后，它不管是這么畫，那么畫，它都是能夠達到不重不漏的，把所有的場次呈現出來，所以這個孩子很好理解。,學生自主探究材料：,多種不同的想法：,連完A隊的比賽后，連B隊時又連了一次A隊，發現重復之后她劃掉了這一段，這段到底該不該劃掉？,吳正憲：那么它這個問題并不陌生，通過剛才的這個問題，我們就可以看到，就是很直觀的一個畫圖的過程，讓學生理解了數量關系，我們覺得對于學生來講，這樣的一種方法，可能是非常非常的適合孩子們的認知特點，也符合孩子們認知規律。,吳正憲：好，還有問題。周愛東：我們看看周教授，您再就小學階段，對于圖形的認識，教材是遵循了怎么樣的一個分配體系？再和老師們簡單的扼要的來說一說。,周玉仁：大家都知道，咱們現在的教材，在圖形的認識當中，是先講例題，再講平面，再回到例題，這個事兒我想從歷史發展過程簡單的說，實際上我們中國小學的傳統教材，最初是這個點線面體的邏輯關系講的。到了上個世紀90年代以后，義務大綱出現就發生變化了，先講立體以后講平面，然后又回到立體，那么大家要問，為什么當時要改？因為當時咱們都在，當時我們很多老師都反映，高年級孩子，對幾何立體圖形，本身的視圖的能力比較低，他往往看不清楚，這個能怎么辦呢？這是個難點，要想分散難點，這是一個原因。,周玉仁：第二個要考慮到，實際上一個人是生活在三維空間當中，一個嬰兒從出生到地，他所有接觸的東西，看到的東西，實際上都是體，他的奶瓶，喝的那個奶瓶是個體，他玩的積木都是體，他在那個大樓里住，那個大樓也是個體，所有東西都是體，所以他積累了很多立體，接觸了立體，因此所有的幾何的體，都具有直觀的實物的模型的。那在這個情況之下，所以低年級孩子，剛開始初步的認識立體圖形是有可能的。,周玉仁：所以一個是有必要，一個是有可能，再加上我們也考慮，當時兒童的空間觀念的形成，它必然是有一個長期的反復的積累的過程，不能一次到位。所以當時的義務大綱就是說打破了傳統的一步到位，先講立體圖形，要求直觀認識，然后中間一段是平面圖形，最后再講立體圖形是正式認識，還有講它的體積、表面積的計算等等。那么現在咱們這個教材也一樣，先講立體，后講平面，再回到立體，但這兩次講立體層次不同，第一次要求辨認，到第二學段要求是認識，這個東西是很清楚的。,周玉仁：那么在這個問題上，的確給我們感覺到，這個安排是符合我們兒童年齡特征，又符合數學幾何圖形的認識的基本規律，也是我們經驗當中，逐步摸索出來的，目前這個教材的安排，實際上從實物到圖形，從具體到抽象，從整體到部分，而且這次立體圖形和平面圖形之間的一些關系，符合兒童的認知規律。學這個東西，不需要多說。,周愛東：剛才咱們圍繞著這樣四個主要的問題，和老師們進行了研討，老師們可能還有一些其他的問題，我想留到咱們后面還有文本的教材，還有其他的一些問題，我們還可以留個作業，咱們在作業當中再研討，下面請吳老師做一下總結。,吳正憲：好，老師們關于這個圖形與幾何這個模塊，我們經歷了這樣七次的討論，那么我想特別是剛才通過周老師對這個圖形與幾何中的一些主要的問題，又做了一個非常精辟的一個解讀，那么老師們回去以后，我想在我們教學實踐當中，不斷的去積累我們的教學經驗，特別是在培養學生的空間觀念這個方面，也應