現代心理與教育統計學,南昌大學教育學院心理李力,第六章概率分布,一、概率的基本概念和性質二、常用離散型概率分布三、正態分布四、樣本分布,一、概率的基本概念,1、試驗（1）對試驗對象進行一次觀察或測量的過程擲一顆骰子，觀察其出現的點數從一副52張撲克牌中抽取一張，并觀察其結果(紙牌的數字或花色)（2）試驗的特點可以在相同的條件下重復進行每次試驗的可能結果可能不止一個，但試驗的所有可能結果在試驗之前是確切知道的在試驗結束之前，不能確定該次試驗的確切結果,2、事件（1）事件：試驗的每一個可能結果(任何樣本點集合)擲一顆骰子出現的點數為3（2）隨機事件(randomevent)：每次試驗可能出現也可能不出現的事件擲一顆骰子可能出現的點數,（3）簡單事件(simpleevent)：不能被分解成其他事件組合的基本事件拋一枚均勻硬幣，“出現正面”和“出現反面”（4）必然事件(certainevent)：每次試驗一定出現的事件P（A）=1擲一顆骰子出現的點數小于7（5）不可能事件(impossibleevent)：每次試驗一定不出現的事件P（A）=0擲一顆骰子出現的點數大于6,3、樣本空間與樣本點（1）樣本空間(sampleSpace)一個試驗中所有結果的集合，用表示例如：在擲一顆骰子的試驗中，樣本空間表示為：1,2,3,4,5,6在投擲硬幣的試驗中，正面，反面（2）樣本點(samplepoint)樣本空間中每一個特定的試驗結果,4、事件的概率（1）事件A的概率是一個介于0和1之間的一個值，用以度量試驗完成時事件A發生的可能性大小，記為P(A)（2）當試驗的次數很多時，概率P(A)可以由所觀察到的事件A發生次數(頻數)的比例來逼近在相同條件下，重復進行n次試驗，事件A發生了m次，則事件A發生的概率可以寫為,*P只用小數表示，不用分數表示,例如，投擲一枚硬幣，出現正面和反面的頻率，隨著投擲次數n的增大，出現正面和反面的頻率穩定在1/2左右,互斥事件及其概率(mutuallyexclusiveevents),在試驗中，兩個事件有一個發生時，另一個就不能發生，則稱事件A與事件B是互斥事件,(沒有公共樣本點),互斥事件的文氏圖(Venndiagram),【例】在一所城市中隨機抽取600個家庭，用以確定擁有個人電腦的家庭所占的比例。定義如下事件：A：600個家庭中恰好有265個家庭擁有電腦B：恰好有100個家庭擁有電腦C：特定戶張三家擁有電腦說明下列各對事件是否為互斥事件，并說明你的理由(1)A與B(2)A與C(3)B與C,互斥事件及其概率,解：(1)事件A與B是互斥事件。因為你觀察到恰好有265個家庭擁有電腦，就不可能恰好有100個家庭擁有電腦(2)事件A與C不是互斥事件。因為張三也許正是這265個家庭之一，因而事件與有可能同時發生(3)事件B與C不是互斥事件。理由同(2),（二）概率的基本定理,加法規則若兩個事件A與B互斥，則事件A發生或事件B發生的概率等于這兩個事件各自的概率之和，即P(A+B)=P(A)+P(B)事件A1，A2，An兩兩互斥，則有P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An),解：擲一顆骰子出現的點數(1，2，3，4，5，6)共有6個互斥事件，而且每個事件出現的概率都為1/6根據互斥事件的加法規則，得,【例】拋擲一顆骰子，并考察其結果。求出其點數為1點或2點或3點或4點或5點或6點的概率,乘法規則如果完成某一事件分為A、B兩步，而A、B為連續發生但又互為獨立的事件，那么A與B兩個事件同時發生的概率P(AB)=P(A)P(B)例：從牌中抽取梅花6的概率為P=P（6）*P（梅花）=1/13*1/4=1/52,事件的補及其概率,事件的補(complement)事件A不發生的事件，稱為補事件A的補事件(或稱逆事件)，記為A。它是樣本空間中所有不屬于事件A的樣本點的集合,A,A,P(A)=1-P(A),廣義加法公式,廣義加法公式對任意兩個隨機事件A和B，它們和的概率為兩個事件分別概率的和減去兩個事件交的概率，即P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)或P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),兩個事件的并,兩個事件的交,廣義加法公式(事件的并或和),事件A或事件B發生的事件，稱為事件A與事件B的并。它是由屬于事件A或事件B的所有樣本點的集合，記為AB或A+B,廣義加法公式(事件的交或積),事件A與事件B同時發生的事件，稱為事件A與事件B的交，它是由屬于事件A也屬于事件B的所有公共樣本點所組成的集合，記為BA或AB,廣義加法公式,解：設A=員工離職是因為對工資不滿意B=員工離職是因為對工作不滿意依題意有：P(A)=0.40；P(B)=0.30；P(AB)=0.15P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.40+0.30-0.15=0.55,【例】一家計算機軟件開發公司的人事部門最近做了一項調查，發現在最近兩年內離職的公司員工中有40%是因為對工資不滿意，有30%是因為對工作不滿意，有15%是因為他們對工資和工作都不滿意。求兩年內離職的員工中，離職原因是因為對工資不滿意、或者對工作不滿意、或者二者皆有的概率,條件概率(conditionalprobability),在事件B已經發生的條件下事件A發生的概率，稱為已知事件B是事件A的條件概率，記為P(A|B),條件概率,解：設A=顧客購買食品，B=顧客購買其他商品依題意有：P(A)=0.80；P(B)=0.60；P(AB)=0.35,【例】一家超市所作的一項調查表明，有80%的顧客到超市是來購買食品，60%的人是來購買其他商品，35%的人既購買食品也購買其他商品。求：(1)已知某顧客購買食品的條件下，也購買其他商品的概率(2)已知某顧客購買其他的條件下，也購買食品的概率,條件概率,【例】一家電腦公司從兩個供應商處購買了同一種計算機配件，質量狀況如下表所示從這200個配件中任取一個進行檢查，求(1)取出的一個為正品的概率(2)取出的一個為供應商甲的配件的概率(3)已知取出一個為供應商甲的配件，它是正品的概率,條件概率,解：設A=取出的一個為正品B=取出的一個為供應商甲供應的配件(1)(2)(3),乘法公式(multiplicativelaw),用來計算兩事件交的概率以條件概率的定義為基礎設A，B為兩個事件，若P(B)0，則P(AB)=P(B)P(A|B)或P(AB)=P(A)P(B|A),乘法公式,【例】一家報紙的發行部已知在某社區有75%的住戶訂閱了該報紙的日報，而且還知道某個訂閱日報的住戶訂閱其晚報的概率為50%。求某住戶既訂閱日報又訂閱晚報的概率,解：設A=某住戶訂閱了日報B=某個訂閱了日報的住戶訂閱了晚報依題意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50P(AB)=P(A)P(B|A)=0.750.5=0.375,獨立事件與乘法公式,【例】從一個裝有3個紅球2個白球的盒子里摸球(摸出后球不放回)，求連續兩次摸中紅球的概率,解：設A=第2次摸到紅球B=第1次摸到紅球依題意有：P(B)=3/5；P(A|B)=2/4P(AB)=P(B)P(A|B)=3/52/4=0.3,獨立事件與乘法公式(independentevents),1、若兩個事件相互獨立，則這兩個事件同時發生的概率等于它們各自發生的概率之積，即P(AB)=P(A)P(B)2、若事件A1,A2,An相互獨立，則P(A1,A2,An)=P(A1)P(A2)P(An),獨立事件與乘法公式,【例】一個旅游經景點的管理員根據以往的經驗得知，有80%的游客在古建筑前照相留念。求接下來的兩個游客都照相留念的概率,解：設A=第一個游客照相留念B=第二個游客照相留念兩個游客都照相留念是兩個事件的交。在沒有其他信息的情況下，我們可以假定事件A和事件B是相互立的，所以有P(AB)=P(A)P(B)=0.800.80=0.64,【例】假定我們是從兩個同樣裝有3個紅球2個白球的盒子摸球。每個盒子里摸1個。求連續兩次摸中紅球的概率,解：設A=從第一個盒子里摸到紅球B=從第二個盒子里摸到紅球依題意有：P(A)=3/5；P(B|A)=3/5P(AB)=P(A)P(B|A)=3/53/5=0.36,二、常用離散型概率分布,兩點分布,一個離散型隨機變量X只取0和1兩個可能的值它們的概率分布為或也稱0-1分布,兩點分布,【例】已知一批產品的次品率為p0.04，合格率為q=1-p=1-0.04=0.96。并指定廢品用1表示，合格品用0表示。則任取一件為廢品或合格品這一離散型隨機變量，其概率分布為,二項試驗,二項分布與伯努利試驗有關貝努里試驗滿足下列條件一次試驗只有兩個可能結果，即“成功”和“失敗”“成功”是指我們感興趣的某種特征一次試驗“成功”的概率為p，失敗的概率為q=1-p，且概率p對每次試驗都是相同的試驗是相互獨立的，并可以重復進行n次在n次試驗中，“成功”的次數對應一個離散型隨機變量X,重復進行n次試驗，出現“成功”的次數的概率分布稱為二項分布，記為XB(n，p)例：拋硬幣：正面朝上記為“1”，概率為0.5；反面朝上記為“0”，概率為0.5。,二項分布的取值概率,設X為n次重復試驗中出現成功的次數，X取x的概率為,二項分布,對于P(X=x)0，x=1,2,n，有同樣有當n=1時，二項分布化簡為,二項分布(數學期望和方差),數學期望=E(X)=np方差2=D(X)=npq例：P1826-6、6-7,二項分布,【例】已知一批產品的次品率為4%，從中任意有放回地抽取5個。求5個產品中：(1)沒有次品的概率是多少？(2)恰好有1個次品的概率是多少？(3)有3個以下次品的概率是多少？,泊松分布(Poissondistribution),1837年法國數學家泊松(D.Poisson，17811840)首次提出用于描述在一指定時間范圍內或在一定的長度、面積、體積之內每一事件出現次數的分布泊松分布的例子一定時間段內，某航空公司接到的訂票電話數一定時間內，到車站等候公共汽車的人數一定路段內，路面出現大損壞的次數一定時間段內，放射性物質放射的粒子數一匹布上發現的疵點個數一定頁數的書刊上出現的錯別字個數,超幾何分布(hypergeometricdistribution),采用不重復抽樣，各次試驗并不獨立，成功的概率也互不相等總體元素的數目N很小，或樣本容量n相對于N來說較大時，樣本中“成功”的次數則服從超幾何概率分布概率分布函數為,三、正態分布,由C.F.高斯(CarlFriedrichGauss，17771855)作為描述誤差相對頻數分布的模型而提出描述連續型隨機變量的最重要的分布許多現象都可以由正態分布來描述可用于近似離散型隨機變量的分布例如：二項分布經典統計推斷的基礎,y：概率密度，即正態分布的縱坐標：正態隨機變量X的均值：正態隨機變量X的方差=3.1415926;e=2.71828x：隨機變量的取值(-x),1、正態分布特征（1）正態分布曲線函數,(2)正態分布函數的性質,圖形是關于x=對稱鐘形曲線，且峰值在x=處均值和標準差一旦確定，分布的具體形式也惟一確定，不同參數正態分布構成一個完整的“正態分布族”均值可取實數軸上的任意數值，決定正態曲線的具體位置；標準差決定曲線的“陡峭”或“扁平”程度。越大，正態曲線扁平；越小，正態曲線越高陡峭當X的取值向橫軸左右兩個方向無限延伸時，曲線的兩個尾端也無限漸近橫軸，理論上永遠不會與之相交正態隨機變量在特定區間上的取值概率由正態曲線下的面積給出，而且其曲線下的總面積等于1,和對正態曲線的影響,正態分布的概率,-3-2-+2+3,P=0.68268P=0.9544P=0.9974,-2.58-1.96-1.64+1.64+1.96+2.58,1.641.962.58,P=0.90P=0.95P=0.99,標準正態分布,標準化的例子P(5X6.2),標準化的例子P(2.9X7.1),2、標準正態分布表的使用,（1）對于標準正態分布，即ZN(0,1)，有P(aZb)baP(|Z|a)2a（2）對于負的z，可由(-z)z得到（3）對于一般正態分布，即XN(,)，有,標準正態分布下概率面積的計算,例：求下列函數的概率值（1）P(0Z1.2)（2）P(-1.2Z0)（3）P(-1.45Z0.8)（4）P(Z-0.8)（5）P(0ZZ)=0.32，求Z的值。（6）某正態分布，=50,=100求P(45X52)若P(36XX0)=0.25,求X0的值,正態分布,【例】定某公司職員每周的加班津貼服從均值為50元、標準差為10元的正態分布，那么全公司中有多少比例的職員每周的加班津貼會超過70元，又有多少比例的職員每周的加班津貼在40元到60元之間呢？,解：設=50，=10，XN(50,102),3、次數分布是否正態分布的檢驗方法,（1）皮爾遜偏態量數法,2、峰度、偏度檢驗法（樣本量較大時）3、累加次數曲線法,正態分布的實際應用,1、考試評價中的應用分數的標準化（1）標準分數以標準差為單位，反映了一批原始分數在團體中的地位（2）標準分數的性質是個地位量數標準分數是等距變量，可以加減運算|z|表示分數離開平均數的距離，正、負號表示在平均數之上或之下。,（總體）（樣本）,（3）標準分數的變式T=10Z+50（TBCF分數）CEEB=100Z+500（美國大學入學考試）I