第三章 晶格振動與晶體的熱學性質1.什么是簡諧近似？解：當原子在平衡位置附近作微小振動時，原子間的相互作用可以視為與位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做簡諧振動。這個近似即稱為簡諧近似。2.試定性給出一維單原子鏈中振動格波的相速度和群速度對波矢的關系曲線，并簡要說明其意義。解：由一維單原子鏈的色散關系 ，可求得一維單原子鏈中振動格波的相速度為 （1）而其群速度為 （2）由（1）式和（2）式可做出一維單原子鏈中振動格波的相速度和群速度對波矢的關系曲線如下圖3.1所示：圖3.1上圖中，。曲線1代表，曲線2代表。由（1）式及結合上圖3.1中可以看出，由于原子的不連續性，相速度不再是常數。但當時，為一常數。這是因為當波長很長時，一個波長范圍含有若干個原子，相鄰原子的位相差很小，原子的不連續效應很小，格波接近與連續媒質中的彈性波。由（2）式及結合上圖3.1中可以看出，格波的群速度也不等于相速度。但當，體現出彈性波的特征，當處于第一布區邊界上，即時，而，這表明波矢位于第一布里淵區邊界上的格波不能在晶體中傳播，實際上它是一種駐波。3.周期性邊界條件的物理含義是什么？引入這個條件后導致什么結果？如果晶體是無限大，的取值將會怎樣？解：由于實際晶體的大小總是有限的，總存在邊界，而顯然邊界上原子所處的環境與體內原子的不同，從而造成邊界處原子的振動狀態應該和內部原子有所差別。考慮到邊界對內部原子振動狀態的影響，波恩和卡門引入了周期性邊界條件。其具體含義是設想在一長為的有限晶體邊界之外，仍然有無窮多個相同的晶體，并且各塊晶體內相對應的原子的運動情況一樣，即第個原子和第個原子的運動情況一樣，其中1，2，3。引入這個條件后，導致描寫晶格振動狀態的波矢只能取一些分立的不同值。如果晶體是無限大，波矢的取值將趨于連續。4.什么叫聲子？對于一給定的晶體，它是否擁有一定種類和一定數目的聲子？解：聲子就是晶格振動中的簡諧振子的能量量子，它是一種玻色子，服從玻色愛因斯坦統計，即具有能量為的聲子平均數為對于一給定的晶體，它所對應的聲子種類和數目不是固定不變的，而是在一定的條件下發生變化。5.試比較格波的量子聲子與黑體輻射的量子光子；“聲子氣體”與真實理想氣體有何相同之處和不同之處？解：格波的量子聲子與黑體輻射的量子光子都是能量量子，都具有一定的能量和動量，但是聲子在與其它粒子相互作用時，總能量守恒，但總動量卻不一定守恒；而光子與其它粒子相互作用時，總能量和總動量卻都是守恒的。“聲子氣體”與真實理想氣體的相同之處是粒子之間都無相互作用，而不同之處是“聲子氣體”的粒子數目不守恒，但真實理想氣體的粒子數目卻是守恒的。6.晶格比熱容的愛因斯坦模型和德拜模型采用了什么簡化假設？各取得了什么成就？各有什么局限性？為什么德拜模型在極低溫度下能給出精確結果？解：我們知道晶體比熱容的一般公式為由上式可以看出，在用量子理論求晶體比熱容時，問題的關鍵在于如何求角頻率的分布函數。但是對于具體的晶體來講，的計算非常復雜。為此，在愛因斯坦模型中，假設晶體中所有的原子都以相同的頻率振動，而在德拜模型中，則以連續介質的彈性波來代表格波以求出的表達式。愛因斯坦模型取得的最大成就在于給出了當溫度趨近于零時，比熱容亦趨近于零的結果，這是經典理論所不能得到的結果。其局限性在于模型給出的是比熱容以指數形式趨近于零，快于實驗給出的以趨近于零的結果。德拜模型取得的最大成就在于它給出了在極低溫度下，比熱和溫度成比例，與實驗結果相吻合。其局限性在于模型給出的德拜溫度應視為恒定值，適用于全部溫度區間，但實際上在不同溫度下，德拜溫度是不同的。在極低溫度下，并不是所有的格波都能被激發，而只有長聲學波被激發，對比熱容產生影響。而對于長聲學波，晶格可以視為連續介質，長聲學波具有彈性波的性質，因而德拜的模型的假設基本符合事實，所以能得出精確結果。7.聲子碰撞時的準動量守恒為什么不同于普通粒子碰撞時的動量守恒？U過程物理圖像是什么？它違背了普遍的動量守恒定律嗎？解：聲子碰撞時，其前后的總動量不一定守恒，而是滿足以下的關系式其中上式中的表示一倒格子矢量。對于的情況，即有，在碰撞過程中聲子的動量沒有發生變化，這種情況稱為正規過程，或N過程，N過程只是改變了動量的分布，而不影響熱流的方向，它對熱阻是沒有貢獻的。對于的情況，稱為翻轉過程或U過程，其物理圖像可由下圖3.2來描述：圖3.2 U過程物理示意圖在上圖3.2中，是向“右”的，碰撞后是向“左”的，從而破壞了熱流的方向，所以U過程對熱阻是有貢獻的。U過程沒有違背普遍的動量守恒定律，因為聲子不是實物量子，所以其滿足的是準動量守恒關系。8.簡要說明簡諧近似下晶體不會發生熱膨脹的物理原因；勢能的非簡諧項起了哪些作用？解：由于在簡諧近似下，原子間相互作用能在平衡位置附近是對稱的，隨著溫度升高，原子的總能量增高，但原子間的距離的平均值不會增大，因此，簡諧近似不能解釋熱膨脹現象。勢能的非簡諧項在晶體的熱傳導和熱膨脹中起了至關重要的作用。9.已知由個相同原子組成的一維單原子晶格格波的態密度可表示為。式中是格波的最高頻率。求證它的振動模總數恰好等于。解：由題意可知該晶格的振動模總數為 10.若格波的色散關系為和，試導出它們的狀態密度表達式。解：根據狀態密度的定義式可知 （1）其中表示在間隔內晶格振動模式的數目。如果在空間中，根據作出等頻率面，那么在等頻率面和之間的振動模式的數目就是。由于晶格振動模在空間分布是均勻的，密度為（為晶體體積），因此有 （2）將（2）式代入（1）式可得到狀態密度的一般表達式為 （3）（3）式中表示沿法線方向頻率的改變率。當時，將之代入（3）式可得 當，將之代入（3）式可得 11.試求質量為，原子間距為，力常數交錯為，的一維原子鏈振動的色散關系。當時，求在和處的，并粗略畫出色散關系。解：下圖3.3給出了該一維原子鏈的示意圖a2m 22112 x2n-2 x2n+1 x2n x2n+1 x2n+2 x2n+3 圖3.3在最近鄰近似和簡諧近似下，第2n和第（2n+1）個原子的運動方程為 （1）當時，上述方程組（1）可變為 （2）為求格波解，令 （3）將（3）式代入（2）式，可導出線性方程組為 （4）令，從，有非零解的系數行列式等于零的條件可得 （5）由（5）式可解出當時，當時，其色散關系曲線如下圖3.4所示：圖3.4 原子間的力常數不相等的雙原子鏈的晶格振動色散關系曲線 12.如有一維布喇菲格子，第個原子與第個原子之間的力常數為；而第個原子與第個原子的力常數為。（1） 寫出這個格子振動的動力學方程；（2） 說明這種情況也有聲學波和光學波；（3） 求時，聲學波和光學波的頻率；（4） 求（為晶格常數）時，聲學波和光學波的頻率。解：（1）此題與（11）題基本相似，在最近鄰近似和簡諧近似下，同樣可以寫出第和第個原子的動力學方程為 （1）（2）為求出方程組（1）的格波解，可令 （2）于是將（2）式代入（1）式，可導出線性方程組為 （3）令，從、有非零解的系數行列式等于零的條件可得 （4）由（4）式可解出 （5）由此可知，的取值也有和之分，即存在聲學波和光學波（3）由（5）式可知當時，有聲學波頻率，光學波頻率（4）同樣由（5）式可知當時，有聲學波頻率，光學波頻率13.在一維雙原子鏈中，如，（1）求證：；。（2）畫出與的關系圖（設）。解：（1）在一維雙原子鏈中，其第個原子與第個原子的運動方程為 （1）為解方程組（1）可令 （2）將（2）式代入（1）式可得出 （3）從、有非零解，方程組（3）的系數行列式等于零的條件出發，可得 可解出得 （4）當（4）式中取“”號時，有 （5），（5）式中有，那么（5）式可簡化為 當（4）式中取“”號時，有 （6），（6）式中有，那么（6）式可簡化為 （2）當時，則（4）式可化為O此時，與的關系圖，即色散關系圖如下圖3.5所示：圖3.5 一維雙原子鏈振動的色散關系曲線14.在一維復式格子中，如果，。求：(1) 光學波頻率的最大值、最小值及聲學波頻率的最大值；(2) 相應的聲子能量是多少eV?(3) 這3種聲子在300K時各有多少個？(4) 如果用電磁波激發光頻振動，要激發最大光學頻率的聲子所用的電磁波長在什么波段？解：(1)由于光學波頻率的最大值和最小值的計算公式分別為： 上式中為約化質量所以有： 而聲學波頻率的最大值的計算公式為： 所以有： (2)相應的聲子能量為：(3)由于聲子屬于玻色子，服從玻色愛因斯坦統計，則有(4)如用電磁波來激發光頻振動，則要激發最大光學頻率的聲子所用的電磁波長應滿足如下關系式：15.在一維雙原子晶格振動的情況下，證明在布里淵區邊界處，聲學支格波中所有輕原子靜止，而光學支格波中所有重原子靜止。畫出這時原子振動的圖像。解：設第個原子為輕原子，其質量為，第個原子為重原子，其質量為，則它們的運動方程為 （1）為解方程組（1）可令 （2）將（2）式代入（1）式可得出 （3）從、有非零解，方程組（3）的系數行列式等于零的條件出發，可得 可解出得 （4）令，則可求得聲學支格波頻率為，光學支格波頻率為由方程組（3）可知，在聲學支中，輕原子與重原子的振幅之比為 由此可知，聲學支格波中所有輕原子靜止。而在光學支中，重原子與輕原子的振幅之比為 由此可知，光學支格波中所有重原子靜止。此時原子振動的圖像如下圖3.6所示：圖3.6 （a）聲學支格波原子振動圖；（b）光學支格波原子振動圖16.從一維雙原子晶格色散關系出發，當逐漸接近和時，在第一布里淵區中，晶格振動的色散關系如何變化？試與一維單原子鏈的色散關系比較，并對結果進行討論。解：一維雙原子晶格的色散關系為O由此可做出如下圖3.7的一維雙原子鏈振動的色散關系曲線圖 圖3.7一維雙原子鏈振動的色散關系曲線由上圖可以看出，當逐漸接近時，在第一布里淵區邊界，即處，聲學波的頻率開始增大，而光學波的頻率則開始減小，而當時，則聲學波的頻率和光學波的頻率在處相等，都等于。而在一維單原子鏈中，其色散關系為，由此可見，在一維單原子鏈中只存在一支格波，其色散關系曲線與一維雙原子鏈中的聲學波的色散關系曲線基本相似，在其布里淵區邊界，即處，其格波頻率為，是雙原子鏈的格波在布里淵邊界的頻率值的2倍。17.設晶體由個原子組成，試用德拜模型證明格波的狀態密度為。式中為格波的截止頻率。解：在德拜模型中，假設晶體的振動格波是連續介質的彈性波，即有色散關系 （1）那么格波的狀態密度為 （2）又根據 （3）將（2）式代入（3）式得 （4）由（4）式可得 （5）把（5）式代入（2）式即可得 18.設晶體中每個振子的零點振動能是，試用德拜模型求一維、二維和三維晶體的總零點振動能。設原子總數為，一維晶格長度為，二維晶格的面積為，三維晶格的體積為。 解：(1)一維晶體的總零點振動能為： 設表示角頻率在之間的格波數，而且 (1) 上式中：是最大的角頻率；為晶體中的原子數。則上述的總零點能可以寫成： (2)考慮到一維晶體中，其狀態密度為： (3)由于德拜模型考慮的是長聲學波的影響，而長聲學波可以看成連續媒質彈性波。對于彈性波，一個波矢對應一個狀態，則有： 故 (4)對于彈性波，則 (5)將(4)和(5)式代入(2)式，得： (6)將(6)式代入(1)式，可得：將(6)式代入(2)式，可得一維晶體的總零點振動能： (2)對于二維晶體來說，計算其總零點振動能基本方法與一維晶體的方法相似，只是對于(1)式要改為： (7)而對于二維晶體，其狀態密度函數為： (8)將(8)式代入(7)式可得：將(8)式代入(2)式可得二維晶體的總零點振動能為：(3) 對于三維晶體來說，計算其總零點振動能基本方法與一維晶體的方法也基本相似，只是對于(1)式要改為： (9)而對于三維晶體，其狀態密度函數為： (10)將(10)式代入(9)式可得：將(10)式代入(2)式可得三維晶體的總零點振動能為： 19.應用德拜模型，計算一維、二維情況下晶格振動的狀態密度、德拜溫度、晶格比熱容。解：在德拜模型中，假設晶體的振動格波是連續介質的彈性波，即有色散關系 （1） （1）在一維情況下，晶格振動的狀態密度為 （2）上式中，表示一維晶格的總長度。又由關系式 （3）將式（3）代入式（2）可得，由此求得于是德拜溫度晶體的比熱容為 （其中）（2）在二維情況下，晶體振動的格波有2支，即一支縱波和一支橫波，在德拜模型中，假設縱波和橫波的波速相等，都等于，即縱波和橫波都有如下的色散關系 先考率縱波，其狀態密度為 類似地可以寫出橫波的狀態密度為加起來總的狀態密度為 （4）又由關系式 （5）將（4）式代入（5）式得，由此可得于是得德拜溫度為而晶體的比熱容為 （其中）20.已知金剛石的彈性模量為11012N/m2，密度為3.5g/cm3。試計算金剛石的德拜溫度。解：假設金剛石的原子振動的格波為一連續介質的彈性波，其波速為 m/s而又金剛石的原子密度為 個/m3由此可知金剛石的德拜溫度為 K21.具有簡單立方布喇菲格子的晶體，原子間距為210-10m，由于非線性相互作用，一個沿100方向傳播，波矢大小為m-1的聲子同另一個波矢大小相等當沿110方向傳播的聲子相互作用，合成為第3個聲子，試求合成后的聲