第九章單元能力測試卷一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1若曲線1的一條準線方程為x10，則m的值為()A8或86B6或56C5或56 D6或86答案D解析由準線是x10及方程形式知曲線是焦點在x軸上的橢圓，所以a2m4，b29，則c，于是10，解得m6或86.m49，m5，均符合題意2已知橢圓1(ab0)的面積為Sab，現有一個橢圓，其中心在坐標原點，一個焦點坐標為(4,0)，且長軸長與短軸長的差為2，則該橢圓的面積為()A15 B.C3 D.答案D解析由題意得則得到所以Sab.3過拋物線yx2準線上任一點作拋物線的兩條切線，若切點分別為M，N，則直線MN過定點()A(0,1) B(1,0)C(0，1) D(1,0)答案A解析特殊值法，取準線上一點(0，1)設M(x1，x12)，N(x2，x22)，則過M、N的切線方程分別為yx12x1(xx1)，yx22x2(xx2)將(0，1)代入得x12x224，MN的方程為y1，恒過(0,1)點4設雙曲線16x29y2144的右焦點為F2，M是雙曲線上任意一點，點A的坐標為(9,2)，則|MA|MF2|的最小值為()A9 B.C. D.答案B解析雙曲線標準方程為1，離心率為，運用第二定義，將|MF2|轉化為M到右準線的距離5拋物線yax2(a0)的焦點坐標是()A(0，) B(0，)C(0，) D(0，)答案C解析因為a0，所以方程可化為x2y，所以焦點坐標為(0，)故選C.6設F1、F2分別是雙曲線x21的左、右焦點若點P在雙曲線上，且0，則|等于()A. B2C. D2答案B解析F1(，0)，F2(，0)，2c2，2a2.0，|2|2|F1F2|24c240()2|2|2240，|2.7已知橢圓1(ab0)與雙曲線1(m0，n0)有相同的焦點(c,0)和(c,0)若c是a與m的等比中項，n2是m2與c2的等差中項，則橢圓的離心率等于()A. B.C. D.答案B解析c2am,2n2c2m2，又n2c2m2，m2c2，即mc.c2ac，則e.8設雙曲線以橢圓1長軸的兩個端點為焦點，其準線過橢圓的焦點，則雙曲線的漸近線的斜率為()A2 BC D答案C解析橢圓1中，a5，c4.設雙曲線方程為1(a0，b0)所以c5，4.所以a220，b2c2a25.所以雙曲線方程為1.所以其漸近線方程為yxx，所以其斜率為.解決此題關鍵是分清橢圓與雙曲線中的a，b，c關系，這也是極易混淆之處9已知橢圓1的兩個焦點為F1、F2，M是橢圓上一點，且|MF1|MF2|1，則MF1F2是()A銳角三角形 B鈍角三角形C直角三角形 D等邊三角形答案C解析由1知a2，b，c1，e.則|MF1|MF2|4，又|MF1|MF2|1.|MF1|，|MF2|，又|F1F2|2.|MF1|F1F2|MF2|，cosMF2F10，MF2F190.即MF1F2是直角三角形10已知雙曲線1(a0，b0)的右焦點為F，右準線與一條漸近線交于點A，OAF的面積為(O為原點)，則兩條漸近線的夾角為()A30 B45C60 D90答案D解析由yx和x得A(，)，Scab，又Sa2，ab，其夾角為90.11. 已知兩點M(3,0)，N(3,0)，點P為坐標平面內一動點，且|0，則動點P(x，y)到點A(3,0)的距離的最小值為()A2 B3C4 D6答案B解析因為M(3,0)，N(3,0)，所以(6,0)，|6，(x3，y)，(x3，y)由|0得66(x3)0，化簡整理得y212x，所以點A是拋物線y212x的焦點，所以點P到A的距離的最小值就是原點到A(3,0)的距離，所以d3.12如圖，過拋物線x24py(p0)焦點的直線依次交拋物線與圓x2(yp)2p2于點A、B、C、D，則的值是()A8p2B4p2C2p2 Dp2答案D解析|AF|pyA，|DF|pyD，|yAyDp2.因為，的方向相同，所以|yAyDp2.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13已知正方形ABCD，則以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的離心率為_答案1解析令AB2，則AC2，橢圓中c1,2a22a1，可得e1.命題思路本題考查橢圓概念和基本量的關系14若焦點在x軸上的橢圓1上有一點，使它與兩個焦點的連線互相垂直，則b的取值范圍是_答案b且b0解析設橢圓的兩焦點為F1(c,0)，F2(c,0)以F1F2為直徑的圓與橢圓有公共點時，在橢圓上必存在點滿足它與兩個焦點的連線互相垂直，此時條件滿足cb，從而得c2b2a2b2b2b2a2，解得b且b0.15設雙曲線x2y21的兩條漸近線與直線x圍成的三角形區域(包含邊界)為E，P(x，y)為該區域的一個動點，則目標函數zx2y的最小值為_答案16以下四個關于圓錐曲線的命題中：設A、B為兩個定點，k為非零常數，若|k，則動點P的軌跡為雙曲線；過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若()，則動點P的軌跡為橢圓；方程2x25x20的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；雙曲線1與橢圓y21有相同的焦點其中真命題的序號為_(寫出所有真命題的序號)答案解析錯誤，當k0且k0且k|AB|時表示一條射線；當k0且k|AB|時，不表示任何圖形；當k1時，設Q(x，y)，因為拋物線的準線為x1.所以由題意得2(x1)(x11)(x21)即x，所以y2x41.即Q點坐標為(，1)當xb0，且得a24，b21，曲線C的方程為x21(x0，y0)y2(0x1)，y.設P(x0，y0)，因P在C上，有0x01，y2)(2)|2x2y2，y24，|2x215459，且當x21，即x1時，上式取等號故|的最小值為3.19(本小題滿分12分)已知點A(3,0)，點B在x軸上，點M在直線x1上移動，且0，動點C滿足3.(1)求C點的軌跡D的方程；(2)設直線l：yk(x1)與曲線D有兩個不同的交點E，F，點P(0,1)，當EPF為銳角時，求k的取值范圍解析(1)設M(1，y0)，C(x，y)，B(b,0)3，b，0.又0，(2，y0)，(b1，y0)，2(b1)y020.由得y2(1x)，這就是C點的軌跡D的方程(2)l：yk(x1)代入y2(1x)得3k2x2(16k2)x3k210，解得x11，x2，則y10，y2.設E(1,0)，則F(，)，(1，1)，(，1)當EPF為銳角時，(1)0，解得k.當時，有k1，應舍去故k的取值范圍為(，1)(1，)(，)20(本小題滿分12分)如右圖所示，等腰三角形ABC的底邊BC的兩端點是橢圓E：1(ab0)的兩焦點，且AB的中點D在橢圓E上(1)若ABC60，|AB|4，試求橢圓E的方程；(2)設橢圓離心率為e，求cosABC.解析(1)因為ABC60，且ABC為等腰三角形，所以ABC是正三角形又因為點B，C是橢圓的兩焦點，設橢圓焦距為2c，則2c|BC|AB|4，如右圖所示，連結CD，由AB中點D在橢圓上，得2a|BD|CD|AB|AB|22，所以a1，從而a242，b2a2c22，故所求橢圓E的方程為1.(2)設橢圓的長半軸長、短半軸長、半焦距分別為a，b，c，且|AD|DB|m，連結CD，則|BO|OC|c，|DC|2am，在RtAOB中，cosABC.在BCD中，由余弦定理，得cosABC.由式得2m，代入式得cosABC.21(本小題滿分12分)如右圖所示，F1(3,0)，F2(3,0)是雙曲線C的兩焦點，直線x是雙曲線C的右準線，A1，A2是雙曲線C的兩個頂點，點P是雙曲線C右支上異于A2的一個動點，直線A1P，A2P交雙曲線C的右準線分別于M，N兩點(1)求雙曲線C的方程；(2)求證：是定值解析(1)由已知，c3，所以a2，b2c2a25.所以所求雙曲線C的方程為1.(2)設P的坐標為(x0，y0)，M，N的縱坐標分別為y1，y2，因為A1(2,0)，A2(2,0)，所以(x02，y0)，(x02，y0)，A1M(，y1)，(，y2)因為與A1M共線，所以(x02)y1y0，所以y1.同理，y2.因為(，y1)，(，y2)所以y1y210.22(本小題滿分12分)已知橢圓1(ab0)的兩個焦點分別為F1(c,0)和F2(c,0)(c0)，過點E(，0)的直線與橢圓相交于A，B兩點，且F1AF2B，|F1A|2|F2B|.()求橢圓的離心率；()求直線AB的斜率；()設點C與點A關于坐標原點對稱，直線F2B上有一點H(m，n)(m0)在AF1C的外接圓上，求的值解析()由F1AF2B且|F1A|2|F2B|，得，從而.整理，得a23c2.故離心率e.()由()，得b2a2c22c2.所以橢圓的方程可寫為2x23y26c2.設直線AB的方程為yk(x)，即yk(x3c)由已知設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則它們的坐標滿足方程組消去y并整理，得(23k2)x218k2cx27k2c26c20.依題意，48c2(13k2)0，得k.而x1x2，x1x2.由題設知，點B為線段AE的中點，所以x13c2x2.聯立解得x1，x2.將x1，x2代入中，解得k.()解法一由()可知x10，x2.當k時，得A(0，c)，由已知得C(0，c)線段AF1的垂直平分線l的方程為yc(x)，直線l與x軸的交點(，0)是AF1C的外接圓的圓心因此外接圓的方程為(x)2y2(c)2.直線F2B的方程為y(xc)，于是點H(m，n)的坐標滿足方程組由m