南京市六校聯合體高二期末試卷數學（理科） 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.1. 設為虛數單位，復數，則的模_.【答案】【解析】分析：利用復數的除法法則運算得到復數，然后根據復數模的公式進行求解即可詳解： 即答案為.點睛：本題主要考查了復數代數形式的乘除運算，以及復數模的計算，同時考查計算能力，屬基礎題2. 一根木棍長為5米，若將其任意鋸為兩段，則鋸成的兩段木棍的長度都大于2米的概率為_.【答案】【解析】分析：由題意可得，屬于與區間長度有關的幾何概率模型，試驗的全部區域長度為5，基本事件的區域長度為1，利用幾何概率公式可求詳解：“長為5的木棍”對應區間 ，“兩段長都大于2”為事件 則滿足的區間為 ，根據幾何概率的計算公式可得， 故答案為：點睛：本題考查幾何概型，解答的關鍵是將原問題轉化為幾何概型問題后應用幾何概率的計算公式求解3. 命題“若，則復數為純虛數”的逆命題是_命題.（填“真”或“假”）【答案】真【解析】分析：寫出命題“若，則復數為純虛數”的逆命題，判斷其真假.詳解：命題“若，則復數為純虛數”的逆命題為“若復數為純虛數，則”，它是真命題.點睛：本題考查命題的真假的判斷，屬基礎題.4. 已知一組數據為2，3，4，5，6，則這組數據的方差為_.【答案】2【解析】分析：根據方差的計算公式，先算出數據的平均數，然后代入公式計算即可得到結果詳解：平均數為： 即答案為2.點睛：本題考查了方差的計算，解題的關鍵是方差的計算公式的識記它反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立5. 將一顆骰子拋擲兩次，用表示向上點數之和，則的概率為_.【答案】【解析】分析：利用列舉法求出事件“”包含的基本事件個數，由此能出事件“”的概率詳解：將一顆質地均勻的正方體骰子（六個面的點數分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，用表示向上點數之和，則基本數值總數，事件“”包含的基本事件有：共6個，事件“”的概率即答案為.點睛：本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用6. 用分層抽樣的方法從某校學生中抽取1個容量為45的樣本，其中高一年級抽20人，高三年級抽10人.已知該校高二年級共有學生300人，則該校學生總數為_.【答案】900【解析】試題分析：因為，抽取一個容量為45的樣本，其中高一年級抽取20人，高三年級抽取10人，所以，高二抽取了15人，又高二年級共有學生300人，所以，抽樣比為，因此，該校的高中學生的總人數為45=900.考點：本題主要考查分層抽樣。點評：簡單題，關鍵是弄清抽樣比=樣本數樣本總數。7. 函數在點處切線方程為，則=_.【答案】4【解析】分析：因為在點處的切線方程，所以 ，由此能求出詳解：因為在點處切線方程為，所以 從而即答案為4.點睛：本題考查利用導數研究曲線上某點處的切線方程，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化8. 若的展開式中所有二項式系數和為64，則展開式中的常數項是_.【答案】240【解析】分析：利用二項式系數的性質求得n的值，再利用二項展開式的通項公式，求得展開式中的常數項詳解：的展開式中所有二項式系數和為，則 ；則展開式的通項公式為 令，求得，可得展開式中的常數項是故答案為：240點睛：本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題9. 根據如圖所示的偽代碼可知,輸出的結果為_.【答案】72【解析】分析：模擬程序的運行，依次寫出每次循環得到的的值，可得當 時不滿足條件，退出循環，輸出的值為72詳解：模擬程序的運行，可得 滿足條件，執行循環體， 滿足條件，執行循環體， ；滿足條件，執行循環體， ；滿足條件，執行循環體，；不滿足條件，退出循環，輸出的值為72故答案為：72點睛：本題主要考查了循環結構的程序框圖的應用，當循環的次數不多或有規律時，常采用模擬執行程序的方法解決，屬于基礎題10. 若，則=_.【答案】365【解析】分析：令 代入可知 的值，令 代入可求得的值，然后將兩式相加可求得的值詳解：中，令 代入可知 令代入可得，除以相加除以2可得.即答案為365.點睛：本題主要考查的是二項展開式各項系數和，充分利用賦值法是解題的關鍵11. 已知R，設命題P：；命題Q：函數只有一個零點.則使“PQ”為假命題的實數的取值范圍為_.【答案】【解析】分析：通過討論，分別求出為真時的的范圍，根據 為假命題，則命題均為假命題，從而求出的范圍即可詳解：命題中，當時，符合題意當時， ，則 ，所以命題為真，則，命題中， 由 ，得 或，此時函數單調遞增，由，得，此時函數單調遞減即當時，函數 取得極大值，當時，函數取得極小值，要使函數只有一個零點，則滿足極大值小于0或極小值大于0，即極大值 ，解得 極小值 ，解得 綜上實數的取值范圍：或為假命題，則命題均為假命題 即或 ， 即答案為點睛：本題考查了復合命題的判斷及其運算，屬中檔題.12. 有編號分別為1，2，3，4，5的5個黑色小球和編號分別為1，2，3，4，5的5個白色小球，若選取的4個小球中既有1號球又有白色小球，則有_種不同的選法.【答案】136【解析】分析：分兩種情況：取出的4個小球中有1個是1 號白色小球；取出的4個小球中沒有1 號白色小球.詳解：由題，黑色小球和白色小球共10個，分兩種情況：取出的4個小球中有1個是1 號白色小球的選法有種；取出的4個小球中沒有1 號白色小球，則必有1號黑色小球，則滿足題意的選法有種，則滿足題意的選法共有種.即答案為136.點睛：本題考查分步計數原理、分類計數原理的應用，注意要求取出的“4個小球中既有1號球又有白色小球”13. 觀察下列等式：請你歸納出一般性結論_.【答案】 【解析】分析：根據題意，觀察各式可得其規律，用將規律表示出來即可（，且為正整數）詳解：根據題意，觀察各式可得：第式中，；式中，第式中，；規律可表示為： 即答案為 .點睛：本題要求學生通過觀察，分析、歸納并發現其中的規律，并應用發現的規律解決問題14. 乒乓球比賽,三局二勝制.任一局甲勝的概率是,甲贏得比賽的概率是,則的最大值為_.【答案】【解析】分析：采用三局兩勝制，則甲在下列兩種情況下獲勝：甲凈勝二局，前二局甲一勝一負，第三局甲勝，由此能求出甲勝概率；進而求得的最大值.因為 與 互斥，所以甲勝概率為 則 設 即答案為.點睛：本題考查概率的求法和應用以及利用導數求函數最值的方法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想和分類討論思想的合理運用二、解答題：本大題共6小題，共計90分。請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15. 在平面直角坐標系中，以為極點，為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是，直線的參數方程是(為參數)求直線被曲線截得的弦長.【答案】【解析】分析：首先求得直角坐標方程，然后求得圓心到直線的距離，最后利用弦長公式整理計算即可求得最終結果；詳解：利用加減消元法消去參數得曲線的直角坐標方程是，同時得到直線的普通方程是 ，圓心到直線的距離，則弦長為 直線被曲線截得的弦長為 點睛：本題考查了圓的弦長公式，極坐標方程、參數方程與直角坐標方程互化等，重點考查學生對基礎概念的理解和計算能力，屬于中等題16. 在棱長為的正方體中，O是AC的中點，E是線段D1O上一點，且D1EEO. （1）若=1，求異面直線DE與CD1所成角的余弦值;（2）若平面CDE平面CD1O，求的值.【答案】（1）（2）2【解析】分析：以為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，寫出各點的坐標，（1）求出異面直線 與1的方向向量用數量積公式兩線夾角的余弦值（或補角的余弦值）（2）求出兩個平面的法向量，由于兩個平面垂直，故它們的法向量的內積為0，由此方程求參數的值即可詳解： (1)以為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系則A(1，0，0)，D1(0，0，1)，E， 于是，.由cos.所以異面直線AE與CD1所成角的余弦值為. （2）設平面CD1O的向量為m=(x1，y1，z1)，由m0，m0得 取x11，得y1z11，即m=(1，1，1) . 8分由D1EEO，則E，=.10分又設平面CDE的法向量為n(x2，y2，z2)，由n0，n0.得 取x2=2，得z2，即n(2，0，) .12分因為平面CDE平面CD1F，所以mn0，得 點睛：本題查了異面直線所成的角以及兩個平面垂直的問題，本題采用向量法來研究線線，面面的問題，這是空間向量的一個重要運用，大大降低了求解立體幾何問題的難度17. 已知，（1）求的值;（2）若且，求的值;（3）求證：.【答案】（1）（2）（3）見解析【解析】分析：（1）令，根據可求的值；（2）由，解得可求的值;（3）利用二項展開式及放縮法即可證明.：詳解：（1）令，則=0，又 所以（2）由，解得，所以 （3）點睛：本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于中檔題18. 某拋擲骰子游戲中，規定游戲者可以有三次機會拋擲一顆骰子，若游戲者在前兩次拋擲中至少成功一次才可以進行第三次拋擲，其中拋擲骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.游戲規則如下：拋擲1枚骰子，第1次拋擲骰子向上的點數為奇數則記為成功，第2次拋擲骰子向上的點數為3的倍數則記為成功，第3次拋擲骰子向上的點數為6則記為成功.用隨機變量表示該游戲者所得分數.（1）求該游戲者有機會拋擲第3次骰子的概率;（2）求隨機變量的分布列和數學期望【答案】（1）（2）見解析【解析】分析：該游戲者拋擲骰子成功的概率分別為、，該游戲者有機會拋擲第3次骰子為事件則；(2)由題意可知，的可能取值為、，分別求出，得到的分布列及數學期望詳解：該游戲者拋擲骰子成功的概率分別為、，該游戲者有機會拋擲第3次骰子為事件則；答：該游戲者有機會拋擲第3次骰子的概率為(2)由題意可知，的可能取值為、， ， ，所以的分布列為所以的數學期望點睛：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意互斥事件概率加法公式的合理運用19. 已知函數（1）若在區間上是單調遞增函數，求實數的取值范圍;（2）若在處有極值10，求的值;（3）若對任意的，有恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）m（2）（3）m1 ，1【解析】分析：(1) 由在區間上是單調遞增函數得，當 時， 恒成立，由此可求實數的取值范圍;（2），由題或，判斷當時，無極值，舍去，則可求；（3）對任意的，有恒成立，即在上最大值與最小值差的絕對值小于等于2求出原函數的導函數，分類求出函數在的最值，則答案可求；詳解： (1) 由在區間上是單調遞增函數得，當 時， 恒成立，即 恒成立，解得 （2），由題或 當時，無極值，舍去. 所以（3）由對任意的x1，x21，1，有| f(x1)f(x2)|2恒成立，得fmax(x)fmin(x)2且| f(1)f(0)|2，| f(1)f(0)|2，解得m1，1， 當m=0時，f(x)0，f(x)在1，1上單調遞增，fmax(x)fmin(x)= | f(1)f(1)|2成立 當m(0，1時，令f(x)0，得x(m，0)，則f(x)在(m，0)上單調遞減；同理f(x)在(1， m)，(0，1)上單調遞增，f(m)= m3+m2，f(1)= m2+m+1，下面比較這兩者的大小，令h(m)=f(m)f(1)= m3m1，m0，1，h(m)= m210，則h(m)在(0，1 上為減函數，h(m)h(0)=10，故f(m)f(1)，又f(1)= m1+m2m2=f(0)，僅當m=1時取等號.所以fmax(x)fmin(x)= f(1)f(1)=2成立 同理當m1 ，0)時，fmax(x)fmin(x)= f(1)f(1)=2成立 綜上得m1 ，1點睛：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查利用導數求函數的最值，體現了數學轉化思想方法與分類討論的數學思想方法，是難題20. 把圓分成個扇形，設用4種顏色給這些扇形染色，每個扇形恰染一種顏色，并且要求相鄰扇形的顏色互不相同，設共有種方法.(1)寫出，的值；(2)猜想 ，并用數學歸納法證明