初中數學規律探究題的解法指導廣南縣篆角鄉初級中學 郭應龍新課標中明確要求：用代數式表示數量關系及所反映的規律，發展學生的抽象思維能力。根據一列數或一組圖形的特例進行歸納，猜想，找出一般規律，進而列出通用的代數式，稱之為規律探究。在歷年的中考或學業水平考試中屢見不鮮，頻繁考查，考生大都感到困難重重，無從下手，導致丟分。解決此類問題的關鍵是：“細心觀察，大膽猜想，精心驗證”。筆者認為：只要善于觀察，細心研究，知難而進，就會走出“山窮水盡疑無路”的困惑，收獲“柳暗花明又一村”的喜悅。一、數式規律探究通常給定一些數字、代數式、等式或不等式，然后猜想其中蘊含的規律，反映了由特殊到一般的數學方法，考查了學生的分析、歸納、抽象、概括能力。一般解法是先寫出數式的基本結構，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數量關系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數量關系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式。數式規律探究是規律探究問題中的主要部分，解決此類問題注意以下三點：1.一般地，常用字母n表示正整數，從1開始。 2.在數據中，分清奇偶，記住常用表達式。 正整數n-1,n,n+1 奇數2n-3,2n-1,2n+1,2n+3 偶數2n-2,2n,2n+2 3.熟記常見的規律 1、4、9、16. n2 1、3、6、10 1、3、7、152n -1 1+2+3+4+n= 1+3+5+(2n-1)= n2 2+4+6+2n=n(n+1) 12+22+32.+n2=n(n+1)(2n+1) 13+23+33.+n3=n2(n+1） 數字規律探究反映了由特殊到一般的數學方法，解決此類問題常用的方法有以下兩種：1.觀察法例1.觀察下列等式：1=1- 2=2- 3=3- 4=4-猜想第幾個等式為 （用含n的式子表示）分析：將等式豎排：1=1- 觀察相應位置上變化的數字與序列號2=2- 的對應關系（注意分清正整數的奇偶）3=3- 易觀察出結果為：4=4- n=n-例2.探索規律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，那么32009的個位數字是 。分析：這類問題，主要是通過觀察末位數字，找出其循環節共幾位，然后用指數除以循環節的位數，結果余幾，就和第幾個數的末位數字相同，易得出本題結果為：32.函數法例3.將一正三角形紙片剪成四個全等的小正三角形，再將其中的一個按同樣的方法剪成更小的正三角形，如此繼續下去，結果如下表：所剪次數1234n正三角形個數471013an則an= （用含n的代數式表示）分析：對結果數據做求差處理（相鄰兩數求差，大數減小數）正三角形個數：4、7、10、13 第一次求差結果相等，用一次函數y=kx+b第一次求差 ： 3 3 3 代入（1、4）（2、7）解之得：y=3x+1an=3n+1例4.有一組數：1、2、5、10、17、26請觀察這組數的構成規律，用你發現的規律確定第8個數為 。分析：對這組數據做求差處理： 原數 1 2 5 10 17 26 第一次求差：1 3 5 7 9 第二次求差：2 2 2 2第二次求差結果相等，同二次函數y=ax2+bx+c 代入（1、1）（2、2）（3、5）解之得y= x2-2x+2=（x-1）2+1 當=8時，y=50嘗試練習：1.觀察下列等式：13=12+21；24=22+22；35=32+23請將你猜想到的規律用含自然數n(n1)的代數式表示出來： 。2.觀察下列各式：2=+2；3=+3；4=+4；5=+5設n為正整數，用關于n的等式表示這個規律為 。3.觀察下列各式：=2；=3；=4請你將猜想到的規律用含正整數n(n1)的代數式表示出來為 。4.已知：2+=22；3+=32；4+=42；5+=52，若10+=102符合前面式子的規律，則a+b= 。5. 已知下列等式：13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102由此規律可推 出第n等式： 。6、觀察下列算式： ，請你在觀察規律之后并用你得到的規律填空：.1、下面有8個算式，排成4行2列22， 223， 34， 45， 5， （1）同一行中兩個算式的結果怎樣？（2）算式2005和2005的結果相等嗎？（3）請你試寫出算式，試一試，再探索其規律，并用含自然數n的代數式表示這一規律。（5分）2、你能很快算出嗎？（5分）為了解決這個問題，我們考察個位上的數為5的正整數的平方，任意一個個位數為5的正整數可寫成10n5（n為正整數），即求的值，試分析，2，3這些簡單情形，從中探索其規律。通過計算，探索規律:可寫成；可寫成；可寫成；可寫成；可寫成_可寫成_根據以上規律，試計算= 3（5分）已知; （1）猜想填空：（2）計算23+43+63+983+10031、觀察等式：1342 2，13593 2 ，1357164 2 ，13579255 2 ， 猜想：（1） 135799 ；(2) 1357（2n-1） _ . （結果用含n的式子表示，其中n =1,2,3,）。2、觀察下面一列數，根據規律寫出橫線上的數，； ； ；第2003個數是 。二、圖形規律探究由結構類似，多少和位置不同的幾何圖案的圖形個數之間也有一定的規律可尋，并且還可以由一個通用的代數式來表示。這種探索圖形結構成元素的規律的試題，解決思路有兩種：一種是數圖形，將圖形轉化為數字規律，再用函數法、觀察法解決問題；另一種是通過圖形的直觀性，從圖形中直接尋找規律，常用“拆圖法”解決問題。拆圖法例5如圖，由若干火柴棒擺成的正方形，第圖用了4根火柴，第圖用了7根火柴棒，第圖用了10根火柴棒，依次類推，第圖用 根火柴棒，擺第n個圖時，要用 根火柴棒。（1）（2）（3） 分析：本例 可拆為 即1+3=4（根）第拆為 即1+32=7（根）；第圖可拆為 即1+33=10(根)由此可知，第圖為1+310=31（根），第n個圖為：（3n+1）根。例6按如下規律擺放三角形：則第堆三角形的個數為 ；第（n）堆三角形的個數為 。 分析：本例中需要進行比較的因素較多，于是把圖拆為橫向和縱向兩部分，就橫向而言，把三角形個數抽出來，就是3，5，7這是奇數從小到大的排列，其表達式為：2n+1；就縱向而言，發現三角形個數依次增加一個：第堆有2個，第堆有3個，第堆有4個，所以第（n）堆的個數就為（n+1）個。所以第n堆三角形的總個數為：（n+1）+(2n+1)即(3n+2)個。嘗試練習：1.如圖7，圖7，圖7，圖7，是用圍棋棋子按照某種規律擺成的一行“廣”字，按照這種規律，第5個“廣”字中的棋子個數是_，第個“廣”字中的棋子個數是_2觀察圖中每一個大三角形中白色三角形的排列規律，則第5個大三角形中白色三角形有 個 n=1n=2n=33圖（3）是用火柴棍擺成的邊長分別是1，2，3 根火柴棍時的正方形當邊長為n根火柴棍時，設擺出的正方形所用的火柴棍的根數為，則 （用n的代數式表示）（1）（2）（3）4用同樣規格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚，按下圖的方式鋪地板，則第（3）個圖形中有黑色瓷磚 _塊，第個圖形中需要黑色瓷磚_塊（用含的代數式表示）5如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規律擺下去，則第個圖形需要黑色棋子的個數是 通過對此專題的復習和指導，我想你會有所感悟，有所收獲，有所進步.別忘記課后注意鞏固訓練，展示你的能力，體驗成功的快樂！三、課外拓展：1.探索規律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729那么32008的個位數字是 。2.觀察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2041由此可判斷7100的個位數字是 。3.瑞士中學教師巴爾末成功地從光譜數據，中得到巴爾末公式，從而打開了光譜奧妙的大門，按此規律第七個數據是 。4.已知a1=+=，a2=+=，a3=+=按此規律，則a99= 。5.已知=1-，=-，=-，則+= ；用相同思路探究：+= 。6如圖5，每一幅圖中有若干個大小不同的菱形，第1幅圖中有1個，第2幅圖中有3個，第3幅圖中有5個，則第4幅圖中有 個，第n幅圖中共有 個第1幅第2幅第3幅第n幅圖57如圖，由等圓組成的一組圖中，第1個圖由1個圓組成，第2個圖由7個圓組成，第3個圖由19個圓組成，按照這樣的規律排列下去，則第9個圖形由_個圓組成8將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規律擺放：第1個圖形有6個小圓，第2個圖形有10個小圓，第3個圖形有16個小圓，第4個圖形有24個小圓，依次規律，第6個圖形有 個小圓第1個圖形第2個圖形第3個圖形第4個圖形第1次 第2次 第3次 第4次