5曲面及其方程,在前面，我們已知，空間平面對應于一個三元一次方程.,反之，任意一個三元一次方程也對應于空間中的一個平面.,如果平面的方程是(1)，其含義是平面上任意動點(x,y,z)都是(1)的解.而(1)的每一組解也對應于上某一點.,(1),定義1設空間曲面S,及三元方程F(x,y,z)=0有如下關系：（1）曲面S上任一點M(x,y,z)，其坐標x,y,z都滿足F(x,y,z)=0；（2）不在曲面S上任一點M(x,y,z)的坐標不滿足方程F(x,y,z)=0；則說明方程F(x,y,z)=0為曲面S的方程.而曲面S為F(x,y,z)=0的圖形.,一曲面方程,1、曲面方程的概念,F(x，y，z)0,研究曲面的兩個基本問題：,（1）已知曲面，如何求曲面的方程？（2）已知方程，如何描繪其曲面？,例1求以在M0(x0,y0,z0)球心,R為半徑的球面的方程,解設M(x，y，z)是球面上的任一點，,那么|M0M|R,由于,|M0M|,所以,R，,或(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2這就是建立球心在點M0(x0，y0，z0)半徑為R的球面的方程,特殊地，球心在原點O(0，0，0)、半徑為R的球面的方程為x2y2z2R2,例2設有點A(1,2,3)和B(2,1,4)，求線段AB的垂直平分面的方程,解由題意知道，所求的平面就是與A和B等距離的點的幾何軌跡,設M(x，y，z)為所求平面上的任一點，,由于,|AM|BM|，,所以,等式兩邊平方，然后化簡得2x6y2z70這就是線段AB的垂直平分面的方程,解通過配方，原方程可以改寫成(x1)2(y2)2z25,例3方程x2y2z22x4y0表示怎樣的曲面？,這是一個球面方程，球心在點M0(1，2，0)、,比較：球心在點M0(x0，y0，z0)、半徑為R的球面的方程(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2,，,一般地，設有三元二次方程Ax2Ay2Az2DxEyFzG0，這個方程的特點是缺xy，yz，zx各項，而且平方項系數相同，,只要將方程經過配方就可以化成方程(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2的形式，,它的圖形就是一個球面,空間曲線可以視為兩區面的交線，設兩曲面的方程分別為：,則空間曲線L的一般方程：,（*）,有如下關系：,（1）曲線L上所有點的坐標都滿足（*）,（2）坐標滿足（*）的所有點都在曲線L上。,則稱方程（*）為曲面L的一般方程，而曲線L稱為方程組（*）對應的曲線。,例如：,表示空間中的一個圓,沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓柱面，其上所有點的坐標都滿足此方程,故在空間上：,1、柱面,二、常見曲面方程,類似圓柱面給出一般柱面的定義:,例4設,，,解：在柱面上任意取一點M(x,y,z),則M必在某條母線上，它與,的交點為M1(x,y,0),從而有,另一方面：若M(x,y,z)滿足,，則M,必在經過M(x,y,0)的母線上，且z=0，故所求柱面方程為,，故曲面上任一點都滿足,【注】此表達式中，缺z。同理：以,，,為準線，母線分別平行,于y，z軸的柱面方程分別為：,其中：,代表母線平行于x軸的圓柱面；,代表母線平行于y軸的圓柱面；,下面介紹一般錐面定義：,其中定點稱為錐面的頂點，定曲線稱為錐面的準線，構成準線的直線稱為錐面的母線.(見下圖),2.錐面,特別，當準線為圓時就是我們常見的圓錐面.,0,x,y,z,l,3.旋轉曲面,總結：,例6把橢圓,繞x軸旋轉，所形成的旋轉曲面的方程：,，,繞z軸旋轉，所形成的旋轉曲面的方程：,這兩種曲面均稱為旋轉橢球面。,例7把曲線,繞x軸旋轉，所形成的旋轉曲面的方程：,，,繞z軸旋轉，所形成的旋轉曲面的方程：,這兩種曲面均稱為旋轉雙曲面。,例8把拋物線,繞x軸旋轉，所形成的旋轉曲面的方程：,，,繞y軸旋轉，所形成的旋轉曲面的方程：,這兩種曲面均稱為旋轉拋物面。,下面討論橢球面地性質,4.橢球面,5、雙曲面,顯然由類似的討論可知單葉雙曲面對于三個坐標軸、三個坐標平面和原點都是對稱的.,(2)雙葉雙曲面,顯然雙葉雙曲面是關于三個坐標平面、三個坐標軸及原點對稱.,6.拋物面,在講直線與平面之關系時，曾介紹過如何求空間直線在某平面上的投影.下面介紹一般的空間曲線在坐標面上的投影.,設空間曲線,F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0,消去z，得H(x,y)=0.,C:,三、空間曲線在坐標面上的投影,即為曲線C在xoy面的投影曲線方程.,【注】同理：消去x得到在yoz上面的投影方程；消去y得到在xoz上面的投影方程；,例9求,解：,在三個坐標軸上的投影曲線,練習：求球面x2+y2+z2=1.和x2+(y1)2+(z1)2=1的交線在xoy面上的投影方程.,解：交線方程為,x2+y2