統計綜合評價方法,權重系數的確定方法,1,大家知道，即使某個評價指標非常重要，但在個被評價對象中，若它取值的波動程度非常小，那么無論其取值有多大，對這個被評價對象來說，該指標在評價過程中，對評價結果的影響都是非常小。極端一點說，若某個非常重要的指標關于這個被評價對象的取值是完全相同的話，那么該重要的指標在評價過程中的作用為零。,2,反之，若某個評價指標是不太重要的（但不能舍去），但在個被評價對象中，它取值的變化程度卻非常大，那么，對這個被評價對象來說，該指標在評價過程中，對評價結果的影響是非常大的。,3,一、權數的意義和作用,一、權數的概念權數：用來衡量總體中各單位標志值在總體中作用大小的數值叫權數。權數一般有兩種表現形式：一是絕對數（頻數）表示，另一個是用相對數（頻率）表示。相對數是用絕對數計算出來的百分數（）或千分數（）表示的，又稱比重。,4,當各組標志值已確定，如果哪一組標志值分配的單位數越多，則該組標志值對平均數的影響越大。反之，影響越小。（即：在一個數列中，當標志值較大的單位數居多時，平均數就會趨近標志值大的一方；當標志值較小的單位數居多時，平均數就趨近標志值小的一方；當標志值較大的單位數與標志值較小的單位數基本平分時，平均數居中）。可見，各組標志值的單位數（頻數）的多少對平均數的大小有權衡輕重的作用，所以稱各組單位數為權數，用權數乘以各組標志值叫加權，由此計算的平均數叫加權算術平均數。,5,二、權數的起源與發展階段1.權數的思想淵源。權數思想最早源于我國春秋初期著名政治家管仲(?前645年)的治國思想。管仲曾被齊桓公任為宰相,歷時40年。他在治國理財時非常注重應用輕重之權,史記管晏列傳:“管仲既任政相齊貴輕重,慎權衡。”,6,史記平淮書:“齊桓公用管仲之謀,通輕重之權。”終于使齊國成為春秋時期的第一強國。因而管仲的治國思想得到廣泛流傳并被后人匯記成管子輕重一書,這是一部專門討論財政經濟問題的論著。,7,“權數”一詞最早出現于管子輕重山權數篇。桓公問管子曰:“請問權數”。管子對曰:“天以時為權,地以財為權,人以力為權,君以令為權。”要想理解這段話中“權數”一詞含義,請先看“權”之涵義。,8,孟子梁惠王篇:“權,然后知輕重。”意思是說“秤一秤,才曉得輕重”。墨子大取篇:“于所體之中而權輕重之謂權”。淮南時則篇:“權者所以權萬物也”。很顯然,這里的“權”是稱量的意思,引伸為權衡,具有權衡輕重之涵義。只有權衡方知輕重,就象沒有規矩不成方圓一樣。,9,那么這里的“權數”又作何解釋呢?“數者術數,權數猶言行權之術數”。可見,這里的“權數”是指權衡輕重的原則和方式、方法,并不是現代統計科學中的權數。二者的共同之處在于“權”,而不同之處在于“數”,古代權數相當于確定現代統計權數的原則和方法。因此我們認為,具有“權衡輕重之數”含義的現代權數是從管仲的“貴輕重,慎權衡”思想衍生而來的。,10,2.現代統計科學中的權數探源。既然管子輕重山權數篇中的權數并非現代統計意義上的權數,那么現代權數又源于何時何處?據史料記載,1812年,英國政治算術學家阿瑟楊格在其所著英國幣值遞增的研究一書中,首次提出用加權平均法計算物價指數,被視為加權算術平均法的開端,同時也是現代統計權數的開端。為了求出物價水平的變動,楊格將各種商品按重要性分別配以一定的權數,如“大麥的重要性二倍于羊毛、煤、鐵,而糧食有四倍的重要,小麥與勞動力則有五倍的重要”等,從而計算出綜合指數。,11,這就是說,權數思想雖然起源于中國古代,但是,真正現代統計意義上的權數卻始于十九世紀初英國政治算術學家阿瑟楊格的加權算術平均法。,12,三、權數的發展因為現代權數始于指數計算,所以權數首先在指數領域得到充分發展;當指數領域中的權數發展進入反省階段以后,權數又開始在統計預測中發揮巨大的作用,而且統計預測中的權數已經突破了指數領域中實質性權數的概念;直到最近十來年,隨著對多指標綜合評價方法的系統分析,權數概念得到進一步擴展。這就是權數發展的總體線索。如果從權數本身的性質來看,權數是由實質性向虛擬性方向發展的。具體來講,指數領域中的權數基本上屬于實質性權數,而統計預測和多指標綜合中的權數則屬于虛擬性權數。下面就分別從這三個領域來談談權數的發展過程。,13,1.權數在指數領域中的發展權數不但從指數計算開始,而且在近代統計史上,權數主要是伴隨著指數編制的發展而發展。在綜合指數編制的發展過程中,矛盾的焦點就是權數問題。根據綜合指數計算中確定權數的方法特點,將權數的發展過程分為如下四個階段:,14,第一階段從1812年至十九世紀50年代,可視為初創階段。本階段的主要特點是:權數的確定由憑經驗主觀賦權發展到憑歷史數據進行客觀賦權。這種客觀賦權法對后來指數計算中的權數確定具有不可抗拒的影響力。這一階段的代表人物是英國的楊格、羅威、斯克羅普。,15,第二階段從十九世紀60年代到十九世紀末,可視為發展階段。本階段的主要特點是:圍繞著以基期銷售量還是計算期銷售量抑或二者的平均量為權數進行討論，三種方法各有優缺點,而且至今仍然為大多數學者所接受。這一階段的代表人物是德國的拉斯皮雷斯、派許,英國的馬歇爾、艾奇沃斯。,16,第三階段從本世紀初到本世紀二十年代,可視為頂峰階段。本階段的主要特點是:用所有可能的權數對各種指數形式進行加權,并對由此產生的134個指數公式進行三項檢驗,最后得出一個“理想公式”。這一時期的代表人物就是美國著名的統計學家、經濟學家費喧,他的主要觀點收錄在被譽為指數理論“圣經”的指數的編制一書中。,17,第四階段從本世紀二十年代以來,可視為反省階段。本階段的特點是:很少有人再提出新的加權方法,而是不斷“消化”老問題,重溫舊爭議。,18,2.權數在統計預測中的應用與擴展正當指數領域中的權數發展步入低谷之時,權數在統計預測中有了新的應用與發展,并且將權數概念由實質性擴展為虛擬性,為權數的應用范圍開辟了一個新的天地。,19,在統計預測中,考慮到時間數列各觀察值的遠近對預測未來的重要性不同,使用權數來加重近期數值的作用,以提高預測結果的準確程度,這只是近幾十年來發生的事。統計預測方法很多,無論是加權移動平均法、指數平滑法、折扣最小平方法還是三點預測法,它們都體現了同一種基本精神,即按照時間數列中觀察值的遠近,用某種可以控制的方法來調整每個觀察值的權數,使預測結果更加準確、可靠。,20,同時,我們必須進一步指出,統計預測中的權數并不象綜合指數中的同度量因素那樣具有一定的經濟含義,權數與被加權因素之積也不形成一個新的統計指標,權數本身僅僅是一組帶有主觀假定性的抽象數字,它代表各期數據的可靠性大小及其對預測結果影響的重要性程度。可見,權數概念在統計預測中得到擴展,為權數的應用范圍開辟了一個新的天地。,21,3.權數在多指標綜合評價中得到進一步擴展多指標綜合評價,只是最近十幾年來在統計研究與統計實踐中逐漸發展起來的一項新課題。在多指標綜合評價中,為了對被評價事物作出一項全面合理的整體性評價,需要把反映該事物各方面的指標綜合在一起,形成一個綜合性指標,由于事物本身發展的不平衡性,以及評價目標值的側重點有所不同,有些指標在綜合評價值的形成過程中所起作用大一些,有些則小一些,這樣,就需要對各個指標進行加權處理。,22,然而,在多指標綜合評價中,往往找不到諸如同度量因素之類的實質性權數。因此,為了滿足多指標綜合評價的要求,需要對權數概念作進一步擴展。本文作者之一邱東教授在其所著多指標綜合評價方法的系統分析一書中對權數的定義、分類、產生方式以及權數概念為什么要擴展等問題都作了比較詳盡的論述。,23,統計權數論曾憲報東北財大關于多指標綜合評價方法及其權數問題的討論金貞珍延邊大學,參考書目,24,二、權數的確定方法,一、德爾菲法德爾菲法（又稱為專家咨詢法，其特點在于集中專家的經驗與意見，確定各指標的權數，并在不斷的反饋和修改中得到比較滿意的結果。基本步驟如下：,25,第一步，選擇專家。這是很重要的一步，選得好不好將直接影響到結果的準確性。一般情況下，可以選本專業領域中既有實際工作經驗又有較深理論修養的專家1030人左右，并須征得專家本人的同意。,26,第二步，將待定權數的個指標和有關資料以及統一確定權數的規則發給選定的各位專家，請他們獨立地給出各指標的權數值。第三步，回收結果并計算各指標權數的均值與標準差。,27,第四步，將計算的結果及補充資料返還給各位專家，要求所有的專家在新的基礎上重新確定權數。第五步，重復上述第三和第四步，直至各指標權數與其均值的離差不超過預先給定的標準為止，也就是各專家的意見基本趨于一致，以此時各指標權數的均值作為該指標的權數。,28,此外，為了使判斷更加準確，讓評價者了解已確定的權數把握性的大小，還可以運用“帶有信任度的德爾菲法”，該方法需在上述第五步每位專家給出最后權數值的同時，標出各自所給權數值的信任度，并求出平均信任度。這樣，如果某一指標權數的信任度較高，就可以有較大的把握使用它；反之，只能暫時使用或設法改進。,29,德爾菲法是調查、征集意見、匯總分析、反饋、再調查、一個反復的過程，專家們是處于互不知情的隔離狀態，每個人的信息是他自己的知識、經驗、專長以及調查機構反饋給他的匯總情況的集中體現，這就便于集中智慧。所以不少方法也都或多或少地借用這一想法，反復比較、協調，求得較好的結果和比較一致的意見。,30,二、序關系分析法1、方法及步驟1）確定序關系定義1若評價指標相對于某評價準則（或目標）的重要性程度大于（或不小于）時，則記為。,31,定義2若評價指標相對于某評價準則（或目標）具有關系式時，則稱評價指標之間按“”確立了序關系。這里表示按關系“”排定順序后的第個評價指標（）。,32,對于評價指標集，可按下屬步驟建立序關系：,（1）決策者在指標集，選出認為是最重要（關于某評價準則）的一個（只選一個）指標記為；,（2）決策者在在余下的個指標中，選出認為是最重要（關于某評價準則）的一個（只選一個）指標記為；,33,（）決策者在在余下的個指標中，選出認為是最重要（關于某評價準則）的一個（只選一個）指標記為；,（）經過次挑選剩下的評價指標記為。,這樣，就唯一確定了一個序關系。對于某些問題來說，僅僅給出了序關系還不夠，還要確定出各評價指標相對于某評價準則（或目標）的權重系數。,34,2）給出與間相對重要程度的比較判斷設專家關于評價指標與的重要性程度之比的理性判斷分別為，（1）當較大時，可取。的賦值可參考下表。,35,表1賦值參考表,36,關于之間的數量約束，有下面的定理：定理1若具有序關系，則與必須滿足，（2）,37,定理2若專家（或決策者）給出的理性賦值滿足關系上式，則為（3）而（4）,38,證明因為，對k從2到m求和，得注意到，得故得證式（3），式（4）可由式（1）推出。證畢。,39,3）權重系數的計算例：設某評價問題有4個評價指標為，專家認為之間具有序關系并給出，而,40,所以故評價指標為的權重系數為,41,三、統計方法從收集到的指標的數據來看，數據本身提供的信息中也能確定合適的權，常見的有：用方差的倒數為權、變異系數為權和復相關系數的倒數為權等。這些方法的理論根據是統計中關于綜合預測有如下一條定理：,42,證明利用,的獨立性，,證明利用,證明利用,證明利用,證明利用,的獨立性，,證明利用,43,定理4.1設,分別為真值,的預測值，它們是相互獨立的，并且,，則它們的加權平均預測值,，在,，,時，相應的方差,達到最小值。,定理4.1設,定理4.1設,分別為真值,定理4.1設,分別為真值,定理4.1設,的預測值，它們是相互獨立的，并且,分別為真值,定理4.1設,的預測值，它們是相互獨立的，并且,分別為真值,定理4.1設,，則它們的加權平均預測值,的預測值，它們是相互獨立的，并且,分別為真值,定理4.1設,，則它們的加權平均預測值,的預測值，它們是相互獨立的，并且,分別為真值,定理4.1設,，在,，則它們的加權平均預測值,的預測值，它們是相互獨立的，并且,分別為真值,定理4.1設,，在,，則它們的加權平均預測值,的預測值，它們是相互獨立的，并且,分別為真值,定理4.1設,，在,，則它們的加權平均預測值,的預測值，它們是相互獨立的，并且,分別為真值,定理4.1設,時，相應的方差,，在,，則它們的加權平均預測值,的預測值，它們是相互獨立的，并且,分別為真值,定理4.1設,時，相應的方差,，在,，則它們的加權平均預測值,的預測值，它們是相互獨立的，并且,分別為真值,定理4.1設,達到最小值。,時，相應的方差,，在,，則它們的加權平均預測值,的預測值，它們是相互獨立的，并且,分別為真值,定理4.1設,定理4.1設,定理4.1設,分別為真值,定理4.1設,分別為真值,定理4.1設,的預測值，它們是相互獨立的，并且,分別為真值,定理4.1設,的預測值，它們是相互獨立的，并且,分別為真值,定理4.1設,，則它們的加權平均預測值,的預測值，它們是相互獨立的，并且,分別為真值,定理4.1設,，則它們的加權平均預測值,的預測值，它們是相互獨立的，并且,分別為真值,定理4.1設,，則它們的加權平均預測值,的預測值，它們是相互獨立的，并且,分別為真值,定理4.1設,，在,，則它們的加權平均預測值,的預測值，它們是相互獨立的，并且,分別為真值,定理4.1設,，在,，則它們的加權平均預測值,的預測值，它們是相互獨立的，并且,分別為真值,定理4.1設,時，相應的方差,，在,，則它們的加權平均預測值,的預測值，它們是相互獨立的，并且,分別為真值,定理4.1設,時，相應的方差,，在,，則它們的加權平均預測值,的預測值，它們是相互獨立的，并且,分別為真值,定理4.1設,達到最小值。,44,45,46,記,，,，則,就是,的變異系數。,記,記,記,，則,記,，則,記,就是,，則,記,的變異系數。,就是,，則,記,的變異系數。,就是,，則,記,的變異系數。,就是,，則,記,的變異系數。,就是,的變異系數。,就是,的變異系數。,就是,，則,的變異系數。,就是,，則,的變異系數。,就是,記,47,這條定理表明，用方差的倒數作為權來綜合各種相互獨立的預測，效果好（方差達到最小）。然而，綜合評價與預測還不一樣，所以方差小的這個準則并不適用。于是就派生出變異系數法、復相關系數法。一組數據的變異系數是它的標準差除以均值的絕對值，即對數據,48,于是對選的指標,，利用被評價對象的數據，各個指標都有各自的變異系數。為了方便，用,表示,的變異系數，,，此時,相應的權就是,。,于是對選的指標,于是對選的指標,，利用被評價對象的數據，各個指標都有各自的變異系數。為了方便，用,于是對選的指標,，利用被評價對象的數據，各個指標都有各自的變異系數。為了方便，用,于是對選的指標,，此時,，利用被評價對象的數據，各個指標都有各自的變異系數。為了方便，用,于是對選的指標,，此時,，利用被評價對象的數據，各個指標都有各自的變異系數。為了方便，用,于是對選的指標,相應的權就是,，此時,，利用被評價對象的數據，各個指標都有各自的變異系數。為了方便，用,于是對選的指標,相應的權就是,，此時,，利用被評價對象的數據，各個指標都有各自的變異系數。為了方便，用,于是對選的指標,49,這種加權的方法是為了突出各指標的相對變化幅度，從評價的目的來看，就是區別被評價的對象，,的值大，表示在不同的對象身上變化大，區別對象能力強，所以應給予重視。,這種加權的方法是為了突出各指標的相對變化幅度，從評價的目的來看，就是區別被評價的對象，,這種加權的方法是為了突出各指標的相對變化幅度，從評價的目的來看，就是區別被評價的對象，,50,另一種是考慮復相關系數，每一個被選的指標,，用其余的指標對它的相關程度復相關系數,來考慮時，復相關系數簡記為,，它反映了非,的那些指標能替代,的能力。,另一種是考慮復相關系數，每一個被選的指標,，用其余的指標對它的相關程度復相關系數,另一種是考慮復相關系數，每一個被選的指標,，用其余的指標對它的相關程度復相關系數,另一種是考慮復相關系數，每一個被選的指標,來考慮時，復相關系數簡記為,，用其余的指標對它的相關程度復相關系數,另一