2007年考研數學（三）真題解析1.【分析】本題為等價無窮小的判定，利用定義或等價無窮小代換即可.【詳解】當時， 故用排除法可得正確選項為（B）. 事實上， 或.所以應選（B）【評注】本題為關于無窮小量比較的基本題型，利用等價無窮小代換可簡化計算. 類似例題見數學復習指南（經濟類）第一篇【例1.54】 【例1.55】.2.【分析】本題考查可導的極限定義及連續(xù)與可導的關系. 由于題設條件含有抽象函數，本題最簡便的方法是用賦值法求解，即取符合題設條件的特殊函數去進行判斷，然后選擇正確選項.【詳解】取，則，但在不可導，故選（D）. 事實上， 在(A),(B)兩項中，因為分母的極限為0，所以分子的極限也必須為0，則可推得.在（C）中，存在，則，所以(C)項正確，故選(D)【評注】對于題設條件含抽象函數或備選項為抽象函數形式結果以及數值型結果的選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效. 類似例題見文登強化班筆記高等數學第2講【例2】，文登07考研模擬試題數學二第一套（2）.3.【分析】本題實質上是求分段函數的定積分.【詳解】利用定積分的幾何意義，可得 ， . 所以 ，故選（C）.【評注】本題屬基本題型. 本題利用定積分的幾何意義比較簡便. 類似例題見文登強化班筆記高等數學第5講【例17】和【例18】，數學復習指南（經濟類）第一篇【例3.38】【例3.40】.4.【分析】本題更換二次積分的積分次序，先根據二次積分確定積分區(qū)域，然后寫出新的二次積分.【詳解】由題設可知，則， 故應選（B）.【評注】本題為基礎題型. 畫圖更易看出. 類似例題見文登強化班筆記高等數學第10講【例5】，數學復習指南（經濟類）第一篇【例7.5】，【例7.6】.5.【分析】本題考查需求彈性的概念.【詳解】選（D）. 商品需求彈性的絕對值等于 ， 故選（D）.【評注】需掌握微積分在經濟中的應用中的邊際，彈性等概念.相關公式及例題見數學復習指南（經濟類）第一篇【例11.2】.6.【分析】利用曲線的漸近線的求解公式求出水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，然后判斷.【詳解】， 所以 是曲線的水平漸近線； ，所以是曲線的垂直漸近線； ， ，所以是曲線的斜漸近線. 故選（D）.【評注】本題為基本題型，應熟練掌握曲線的水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線的求法.注意當曲線存在水平漸近線時，斜漸近線不存在. 本題要注意當時的極限不同. 類似例題見文登強化班筆記高等數學第6講第4節(jié)【例12】，數學復習指南（經濟類）第一篇【例5.30】，【例5.31】.7.【分析】本題考查由線性無關的向量組構造的另一向量組的線性相關性. 一般令，若，則線性相關；若，則線性無關. 但考慮到本題備選項的特征，可通過簡單的線性運算得到正確選項.【詳解】由可知應選（A）.或者因為，而， 所以線性相關，故選（A）.【評注】本題也可用賦值法求解，如取，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分別組成一個矩陣，然后利用矩陣的秩或行列式是否為零可立即得到正確選項. 完全類似例題見文登強化班筆記線性代數第3講【例3】，數學復習指南（經濟類）線性代數【例3.3】.8【分析】本題考查矩陣的合同關系與相似關系及其之間的聯系，只要求得的特征值，并考慮到實對稱矩陣必可經正交變換使之相似于對角陣，便可得到答案. 【詳解】 由可得， 所以的特征值為3,3,0；而的特征值為1,1,0. 所以與不相似，但是與的秩均為2，且正慣性指數都為2，所以與合同，故選（B）.【評注】若矩陣與相似，則與具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通過計算與的特征值可立即排除（A）（C）. 完全類似例題見數學復習指南（經濟類）第二篇【例5.17】.9.【分析】本題計算貝努里概型，即二項分布的概率. 關鍵要搞清所求事件中的成功次數.【詳解】p前三次僅有一次擊中目標，第4次擊中目標 ， 故選（C）.【評注】本題屬基本題型. 類似例題見數學復習指南（經濟類）第三篇【例1.29】【例1.30】10.【分析】本題求隨機變量的條件概率密度，利用與的獨立性和公式可求解.【詳解】因為服從二維正態(tài)分布，且與不相關，所以與獨立，所以.故，應選（A）.【評注】若服從二維正態(tài)分布，則與不相關與與獨立是等價的. 完全類似例題和求法見文登強化班筆記概率論與數理統(tǒng)計第3講【例3】，數學復習指南（經濟類）第三篇第二章知識點精講中的一（4），二（3）和【例2.38】11.【分析】本題求類未定式，可利用“抓大頭法”和無窮小乘以有界量仍為無窮小的結論.【詳解】因為，所以.【評注】無窮小的相關性質：（1） 有限個無窮小的代數和為無窮小；（2） 有限個無窮小的乘積為無窮小；（3） 無窮小與有界變量的乘積為無窮小. 完全類似例題和求法見文登強化班筆記高等數學第1講【例1】，數學復習指南（經濟類）第一篇【例1.43】12,.【分析】本題求函數的高階導數，利用遞推法或函數的麥克老林展開式.【詳解】，則，故.【評注】本題為基礎題型. 完全類似例題見文登強化班筆記高等數學第2講【例21】，數學復習指南（經濟類）第一篇【2.20】，【例2.21】.13.【分析】本題為二元復合函數求偏導，直接利用公式即可.【詳解】利用求導公式可得， 所以.【評注】二元復合函數求偏導時，最好設出中間變量，注意計算的正確性. 完全類似例題見文登強化班筆記高等數學第9講【例8】, 【例9】，數學復習指南（經濟類）第一篇【例6.16】,【例6.17】,【例6.18】.14.【分析】本題為齊次方程的求解，可令.【詳解】令，則原方程變?yōu)? 兩邊積分得 ， 即，將代入左式得 ， 故滿足條件的方程的特解為 ，即，.【評注】本題為基礎題型. 完全類似例題見文登強化班筆記高等數學第7講【例2】, 【例3】，數學復習指南（經濟類）第一篇【例9.3】.15.【分析】先將求出，然后利用定義判斷其秩.【詳解】.【評注】本題為基礎題型. 矩陣相關運算公式見數學復習指南（經濟類）第二篇第二章第1節(jié)中的知識點精講.16.【分析】根據題意可得兩個隨機變量服從區(qū)間上的均勻分布，利用幾何概型計算較為簡便.【詳解】利用幾何概型計算. 圖如下： A1/211 1Oyx 所求概率.【評注】本題也可先寫出兩個隨機變量的概率密度，然后利用它們的獨立性求得所求概率. 完全類似例題見文登強化班筆記概率論與數理統(tǒng)計第3講【例11】，數學復習指南（經濟類）第三篇【例2.29】，【例2.47】.17.【分析】由凹凸性判別方法和隱函數的求導可得.【詳解】 方程 兩邊對求導得， 即，則. 上式兩邊再對求導得 則，所以曲線在點附近是凸的.【評注】本題為基礎題型. 類似例題見文登強化班筆記高等數學第6講【例10】，數學復習指南（經濟類）第一篇【例5.29】.18.【分析】由于積分區(qū)域關于軸均對稱，所以利用二重積分的對稱性結論簡化所求積分.【詳解】因為被積函數關于均為偶函數，且積分區(qū)域關于軸均對稱，所以 ，其中為在第一象限內的部分. 而 . 所以 .【評注】被積函數包含時, 可考慮用極坐標，解答如下：. 類似例題見文登強化班筆記高等數學第10講【例1】，數學復習指南（經濟類）第一篇【例7.3例7.4】.19.【分析】由所證結論可聯想到構造輔助函數，然后根據題設條件利用羅爾定理證明.【詳解】令，則在上連續(xù)，在內具有二階導數且.（1）若在內同一點取得最大值，則， 于是由羅爾定理可得，存在，使得. 再利用羅爾定理，可得 存在，使得，即.（2）若在內不同點取得最大值，則，于是 ， 于是由零值定理可得，存在，使得 于是由羅爾定理可得，存在，使得. 再利用羅爾定理，可得 ，存在，使得，即.【評注】對命題為的證明，一般利用以下兩種方法：方法一：驗證為的最值或極值點，利用極值存在的必要條件或費爾馬定理可得證； 方法二：驗證在包含于其內的區(qū)間上滿足羅爾定理條件. 類似例題見文登強化班筆記高等數學第4講【例7】，數學復習指南（經濟類）第一篇【例4.5】，【例4.6】.20.【分析】本題考查函數的冪級數展開，利用間接法. 【詳解】，而 ， ， 所以 ， 收斂區(qū)間為 .【評注】請記住常見函數的冪級數展開. 完全類似例題見文登強化班筆記高等數學第11講【例13】，數學復習指南（經濟類）第一篇【例8.15】.21.【分析】將方程組和方程合并，然后利用非齊次線性方程有解的判定條件求得.【詳解】將方程組和方程合并，后可得線性方程組其系數矩陣.顯然，當時無公共解.當時，可求得公共解為 ,為任意常數；當時，可求得公共解為 .【評注】本題為基礎題型，考查非齊次線性方程組解的判定和結構. 完全類似例題見文登強化班筆記線性代數第4講【例8】，數學復習指南（經濟類）第二篇【例4.12】，【例4.15】.22【分析】本題考查實對稱矩陣特征值和特征向量的概念和性質. 【詳解】（I）， 則是矩陣的屬于2的特征向量. 同理可得 ，. 所以的全部特征值為2，1，1 設的屬于1的特征向量為，顯然為對稱矩陣，所以根據不同特征值所對應的特征向量正交，可得. 即 ，解方程組可得的屬于1的特征向量 ，其中為不全為零的任意常數. 由前可知的屬于2的特征向量為 ，其中不為零.（II）令，由（）可得，則 .【評注】本題主要考查求抽象矩陣的特征值和特征向量，此類問題一般用定義求解，要想方設法將題設條件轉化為的形式. 請記住以下結論：（1）設是方陣的特征值，則分別有特征值 可逆），且對應的特征向量是相同的. （2）對實對稱矩陣來講，不同特征值所對應的特征向量一定是正交的完全類似例題見文登強化班筆記線性代數第5講【例12】，數學復習指南（經濟類） 第二篇【例5.24】23.【分析】（I）可化為二重積分計算； (II) 利用卷積公式可得.【詳解】（I）. (II) 利用卷積公式可得 .【評注】 (II)也可先求出分布函數，然后求導得概率密度. 完全類似例題見文登強化班筆記概率論與數理統(tǒng)