初中數學競賽專題選講（初三.2）完全平方數和完全平方式一、內容提要一定義1. 如果一個數恰好是某個有理數的平方，那么這個數叫做完全平方數.例如0，1，0.36，121都是完全平方數.在整數集合里，完全平方數，都是整數的平方.2. 如果一個整式是另一個整式的平方，那么這個整式叫做完全平方式. 如果沒有特別說明，完全平方式是在實數范圍內研究的.例如：在有理數范圍m2, (a+b2)2, 4x212x+9, 144都是完全平方式.在實數范圍（a+）2, x2+2x+2, 3也都是完全平方式.二. 整數集合里，完全平方數的性質和判定1. 整數的平方的末位數字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位數字為2，3，7，8的整數必不是平方數.2. 若n是完全平方數，且能被質數p整除, 則它也能被p2整除.若整數m能被q整除，但不能被q2整除, 則m不是完全平方數.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方數.又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方數.三. 完全平方式的性質和判定 在實數范圍內如果ax2+bx+c (a0)是完全平方式，則b24ac=0且a0；如果 b24ac=0且a0；則ax2+bx+c (a0)是完全平方式. 在有理數范圍內當b24ac=0且a是有理數的平方時，ax2+bx+c是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方數的關系1. 完全平方式（ax+b）2 中當a, b都是有理數時, x取任何有理數，其值都是完全平方數；當a, b中有一個無理數時，則x只有一些特殊值能使其值為完全平方數.2. 某些代數式雖不是完全平方式，但當字母取特殊值時，其值可能是完全平方數. 例如： n2+9, 當n=4時，其值是完全平方數.所以，完全平方式和完全平方數，既有聯系又有區別.五. 完全平方數與一元二次方程的有理數根的關系1. 在整系數方程ax2+bx+c=0(a0)中 若b24ac是完全平方數，則方程有有理數根； 若方程有有理數根，則b24ac是完全平方數.2. 在整系數方程x2+px+q=0中 若p24q是整數的平方，則方程有兩個整數根； 若方程有兩個整數根，則p24q是整數的平方.二、例題例1. 求證：五個連續整數的平方和不是完全平方數.證明：設五個連續整數為m2, m1, m, m+1, m+2. 其平方和為S.那么S（m2）2（m1）2m2（m+1）2（m+2）25（m2+2）.m2的個位數只能是0，1，4，5，6，9m2+2的個位數只能是2，3，6，7，8，1m2+2不能被5整除.而5（m2+2）能被5整除，即S能被5整除，但不能被25整除.五個連續整數的平方和不是完全平方數. 例2 m取什么實數時，（m1）x2+2mx+3m2 是完全平方式？解：根據在實數范圍內完全平方式的判定，得 當且僅當時，（m1）x2+2mx+3m2 是完全平方式=0，即（2m）24(m1)(3m2)=0.解這個方程， 得 m1=0.5, m2=2.解不等式m10 ， 得m1.即 它們的公共解是m=2.答：當m=2時，（m1）x2+2mx+3m2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求證： a=b=c.證明：把已知代數式整理成關于x的二次三項式，得原式3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc它是完全平方式， 0. 即4(a+b+c)212(ab+ac+bc)=0. 2a2+2b2+2c22ab2bc2ca=0,(ab)2+(bc)2+(ca)2=0.要使等式成立，必須且只需： 解這個方程組，得a=b=c.例4. 已知方程x25x+k=0有兩個整數解，求k的非負整數解.解：根據整系數簡化的一元二次方程有兩個整數根時，是完全平方數.可設= m2 (m為整數)，即（5）24k=m2 (m為整數)，解得，k=.k是非負整數， 由25m20，得，即5m5；由25m2是4的倍數，得m=1, 3, 5.以 m的公共解1, 3, 5，分別代入k=.求得k= 6, 4, 0.答：當k=6, 4, 0時，方程x25x+k=0有兩個整數解例5. 求證：當k為整數時，方程4x2+8kx+(k2+1)=0沒有有理數根. 證明：（用反證法）設方程有有理數根，那么是整數的平方.（8k）216(k2+1)16（3k21）.設3k21m2 (m是整數).由3k2m21，可知k和m是一奇一偶，下面按奇偶性討論3k2m21能否成立.當k為偶數，m為奇數時，左邊k2是4的倍數，3k2也是4的倍數；右邊m2除以4余1，m21除以4余2.等式不能成立.； 當k為奇數，m為偶數時，左邊k2除以4余1，3k2除以4余3右邊m2是4的倍數，m21除以4余1等式也不能成立.綜上所述，不論k, m取何整數，3k2m21都不能成立.3k21不是整數的平方，16（3k21）也不是整數的平方.當k為整數時，方程4x2+8kx+(k2+1)=0沒有有理數根三、練習1. 如果m是整數，那么m2+1的個位數只能是. 分析: m2的個位數是0,1,4,5,6,9 m2+1的個位數是1,2,5,7,02. 如果n是奇數，那么n21除以4余數是，n2+2除以8余數是，3n2除以4的余數是.分析：（1） n21=（n+1）(n-1)且n為奇數 n+1與n-1同為偶數，故被4整除，n21除以4余數是0 （2）設n=2k+1(k為正整數)， n2+2=（2k+1）2+2=4k(k+1)+3, 而k(k+1)是偶數，4k(k+1)是8的倍數， n2+2除以8余數是3， （3）設n=2k+1(k為正整數)，3n2=3（2k+1）2=34k(k+1)+1=12 k(k+1)+3 而k(k+1)是偶數，12k(k+1)是4的倍數，3n2除以4的余數是33. 如果k不是3的倍數，那么k21 除以3余數是.分析: k不是3的倍數, k被3除的余數是1或2，不妨設k=3m+1或k=3m+2， 當k=3m+1時，k21=（k+1）(k-1)=3m(3m+2)是3的倍數， 那么k21 除以3余數是0； 當k=3m+2時，k21=（k+1）(k-1)=(3m+3)(3m+1)是3的倍數， 那么k21 除以3余數也是0；綜上所述，k21 除以3余數是0。4. 一個整數其中三個數字是1，其余的都是0，問這個數是平方數嗎？為什么？ 分析：不是平方數，原因是能被3整除，卻不能被9整除。5. 一串連續正整數的平方12，22，32，1234567892的和的個位數是.分析: 因為平方數的個位數是（14965694+1+0）12345678（14965694+1）即個位數為5856. m取什么值時，代數式x22m(x4)15是完全平方式？分析：7. m取什么正整數時，方程x27x+m=0的兩個根都是整數？8. a, b, c滿足什么條件時,代數式(cb)x2+2(ba)x+ab是一個完全平方式？9. 判斷下列計算的結果，是不是一個完全平方數： 四個連續整數的積； 兩個奇數的平方和.10. 一個四位數加上38或減去138都是平方