最 短 路 徑第二師華山中學(xué)初中數(shù)學(xué)組馮麗華2015/9/30最短路徑教學(xué)設(shè)計 一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 1、內(nèi)容 利用軸對稱探究簡單的最短路徑問題。 2、內(nèi)容解析 最短路徑問題在現(xiàn)實生活中經(jīng)常遇到，初中階段主要以“兩點之間，線段最短”及“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”為知識基礎(chǔ)，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進行研究。 本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個經(jīng)典問題“將軍飲馬問題”為載體，開展最短路徑問題的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化“兩點之間，線段最短”問題。基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點是：利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1、目標(biāo)能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變換在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，進一步獲得數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，增強應(yīng)用意識。2、目標(biāo)解析（1）學(xué)生能將實際問題中的“地點”“河”抽象為數(shù)學(xué)中的“點”“線”，把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題；（2）能利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題；（3）能另選一點，通過比較、邏輯推理證明所求線段和最短；（4）在探索最短路徑的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想。三、教學(xué)問題診斷分析最短路徑問題從本質(zhì)上說是極值問題，作為八年級的學(xué)生，在此之前很少接觸，解決這方面問題的經(jīng)驗明顯不足，特別是面對實際背景的極值問題無從下手。對于直線異側(cè)的兩點，怎樣在直線上找到一點，使這一點到這兩點的距離之和最短，學(xué)生很容易想到連接這兩點，所連線段與直線的交點就是所求點。但對于直線同側(cè)的兩點，如何在直線上找到一點，使這一點到這兩點的距離之和最短，一些學(xué)生感到茫然，找不到解決問題的方法。在證明最短時，需要在直線上任選一點（與所求作的點不重合），證明所連線段和大于所求作的線段和學(xué)生想不到，不會用。教學(xué)時，教師可從“直線異側(cè)的兩點”過渡到“直線同側(cè)的兩點”，為學(xué)生搭建“腳手架”。在證明“最短”時，教師可告訴學(xué)生證明“最大”“最小”問題，常常要另選一個量，通過與求證的那個“最大”“最小”的量進行比較證明。由于另取的點具有任意性，所以結(jié)論對于直線上的每一點（點C除外）都成立。 本節(jié)課的教學(xué)難點是：利用軸對稱將同側(cè)線段和最短問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)線段和最短問題，并能進行簡單推理論證。四、教學(xué)支持條件分析在初次解決問題時，學(xué)生出現(xiàn)了多種方法，通過測量，發(fā)現(xiàn)利用軸對稱將同側(cè)兩點轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩點求得的線段和比較短；進而利用幾何畫板通過動畫演示，實驗驗證了結(jié)論的一般性；最后通過邏輯推理證明。教具準備：直尺、幾何畫板，ppt五、教學(xué)過程設(shè)計環(huán) 節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖一復(fù)習(xí)引入1.【問題】：看到課題，回憶學(xué)過哪些最短路徑問題？2.以上兩個問題，我們稱為“最短路徑”問題。3、小試身手已知:如圖,點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在直線l上找到一個點，使得這個點到點A、點B的距離的和最短？A B兩點之間，線段最短直線外一點與直線上各點所連線段中，垂線段最短。從學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的知識入手，為進一步豐富、完善知識結(jié)構(gòu)做鋪墊。二探究新知1.提出問題【故事引入】：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”。認真讀題，仔細思考。二探究新知2.分析問題（1）.【轉(zhuǎn)化】：你能將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？（2）【度量】：請嘗試找出符合條件的點C；分別度量出AC,BC的長度，并計算AC+BC，記錄在題目旁邊。（3）.【展示】：巡視發(fā)現(xiàn)學(xué)生不同的作法（盡可能多），投影，拍照。（4）.【追問】：上述幾種方法中，哪一種作法中的點C能使得AC+BC較短？將實際問題中的“地點”“河”抽象為數(shù)學(xué)中的“點”“線”，把實際問題抽象線段和最小問題。【展示】：學(xué)生展示并能簡單說明思路。作法1： 作法2：作法3：通過“度量”的數(shù)據(jù)得出結(jié)論。【小結(jié)】：發(fā)現(xiàn)第3種作法是較短的，第1種作法只能說明在河l上取一點，到A、B兩地的距離相等。第2種作法是利用“兩點之間線段最短”，得到BC最短，利用“垂線段最短”，得到AC最短，但不能確定AC+BC是最短的。學(xué)生主動探索，充分發(fā)揮學(xué)生的主動性。展示多種方法，產(chǎn)生思維沖突，引發(fā)學(xué)生進一步探究的學(xué)習(xí)欲望。二探究新知3.解決問題（1）【轉(zhuǎn)化】用第3種作法的同學(xué)，你們是怎樣找到的點C？（2）【比較】在以上幾種方法中，利用軸對稱找出的點C能使得AC+BC較短，但在直線l上有無數(shù)個點，也就有無數(shù)條路線，此時點C還能使AC+BC最短嗎？通常我們要在直線上任另取一點P（與點C不重合），說明AC+BCAP+BP。（3）【幾何畫板】下面我們可以借助數(shù)學(xué)工具幾何畫板來進一步驗證一般性。老師動手操作，并回憶作圖步驟，驗證對于第3種情況來說是最短的路徑。【注：通過動畫演示，從特殊到一般地驗證了前面的結(jié)論。】利用軸對稱將同側(cè)線段和最短轉(zhuǎn)化為異側(cè)線段和最短問題。借助軸對稱的“橋梁”作用，若直線l上任意一定（與點C不重合）與A，B兩點的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最小。認真觀察老師的做法，思考，要想確認AC+BC最短，可以在直線l上任取一點P（不與點C重合）通過度量可以得出AC+BC最短。并觀察變化趨勢。讓學(xué)生進一步體會做法的正確性，提高邏輯思維能力。讓學(xué)生在反思的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，豐富數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。（4）.【推理論證】：（1）獨立糾正圖形（2）請兩位同學(xué)全班交流推理過程（3）師生共同完成板書（4）學(xué)友向?qū)W師口述證明過程。1.獨立糾錯2.兵教兵進一步推理論證，加強邏輯性，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。三總結(jié)提高（1）本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？ （2）軸對稱在所研究問題中起什么作用？用到了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。歸納：通過梳理“將軍飲馬問題“的解題思路，幫助學(xué)生歸納解決實際問題的探究過程，讓學(xué)生充分體會軸對稱變換可以將不共線的兩條路徑轉(zhuǎn)化到一條直線上。四拓展應(yīng)用【問題】：如圖，A為馬廄，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到馬廄。請你幫他確定這一天的最短路線。【小結(jié)】：在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱將同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)問題，化折線為直線，從而作出最短路徑的選擇。【教師寄語】：現(xiàn)實生活中需要我們尋找簡單、實用的方法，但學(xué)習(xí)無捷徑，希望大家勤于思考，多多動腦，用數(shù)學(xué)知識武裝自己，做一位有智慧的小將軍。作兩次軸對稱，找到點B、點C，連接BC與兩直線的交點E、F，AE+EF+FC即為所求路徑。學(xué)以致用及時復(fù)習(xí)所學(xué)的知識。五板書設(shè)計13.4 最短路徑六、目標(biāo)檢測設(shè)計題目1、（課堂檢測）如圖，A為馬廄，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到馬廄。請你幫他確定這一天的最短路線。設(shè)計意圖：學(xué)以致用，并且有提高和挑戰(zhàn)，作兩次軸對稱，找到點B、點C，連接BC與兩直線的交點E、F，AE+EF+FC即為所求路徑。在解決最短路徑問題時，通常利用軸對稱將同側(cè)轉(zhuǎn)化為異側(cè)問題，化折線為直線，從而作出最短路徑的選擇。題目2、（課后檢測）如圖，一個旅游船從大橋AB 的