空間向量知識點空間向量的有關概念和公式概念空間向量與平面向量的概念與性質相似，只是由二維平面拓展到三維空間如果一個向量所在直線垂直于一個平面，則該向量是這個平面的一個法向量。坐標表示，, 運算則，定比分點公式設點P分有向線段所成的比為，即，（）中點公式：，三角形重心公式：，模，則 = ；= ；= ; =平行，（或=）垂直（）夾角cosq = =建立空間直角坐標系常用方法：1、底面是正方形，常以底面兩條鄰邊為軸，軸；2、底面是菱形，常以底面兩條對角線為軸，軸；3、底面是等腰三角形，常以底邊及底邊上的高為軸，軸；4、底面為平行四邊形，常以一條邊為軸，并作一條與這一條邊垂直的直線作為軸。空間向量的應用（1）方法分類圖形1、求平面的法向量若，是平面的法向量，則（取，得到其中的一組解：而常取簡單整數）nCBA2、證明線面平行設是平面的法向量，則：nBA3、證明面面垂直設分別是平面的法向量, 則：n2-11111n1-111114、求兩條異面直線間的距離先求兩條異面直線的一個公共法向量，再求兩條異面直線上兩點的連結線段在公共法向量上的射影長設、是異面直線，是、的公共法向量，點，則異面直線、之間的距離OPaFbEn5、求點到平面的距離設為平面外一點，點為平面內的任一點，平面的法向量為，過點作平面的垂線，記，則點到平面的距離：因此，點到平面的距離： nPOA空間向量的應用（2）方法圖形6、求直線和直線所成的角若直線所成的角是，ADBC7、求直線和平面所成的角已知為平面的一條斜線，為平面的一個法向量，過作平面的垂線，連結，則為斜線和平面所成的角，記為，易得nPOA8、已知兩平面的法向量, 求二面角的大小在二面角中，和分別為平面和的法向量，若二面角的大小為，則：(依據兩平面法向量的方向或實際圖形，來確定是銳角或是鈍角)n2n1n18、已知二面角棱的兩垂線, 求二面角的大小在二面角內， 設為二面角的大小，則： ACDB例題：1、如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是DC的中點，取如圖所示的空間直角坐標系 （1）寫出A、B1、E、D1的坐標； （2）求AB1與D1E所成的角的余弦值 解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2) (2) (0, -2, 2)，(0, 1, 2) |2，|，0242, cos ， AB1與ED1所成的角的余弦值為2、在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知CA平面ABB1A1，ABAA11.(1)求證：A1B平面AB1C；(2)若AC2，求點A到平面BB1C1C的距離；(3)若二面角BB1CA為600，求AC的長.（1）證： A1B平面AB1C（2）解：平面ABC平面BB1C1C，點A到平面BB1C1C的距離即為A到BC的距離，作ADBC，BC，A到平面BB1C1C的距離AD（3）解：（空間向量法）以A為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系A-BA1C，則B（1，0，0），B1（1，1，0），C（0，0，c），平面AB1C法向量（1，1，0），平面BB1C法向量（