第 3、4 次課 4 學時課程安排：1學期，周學時 2 , 共 48學時.主要內容：不定積分，定積分，微分方程本次課題：不定積分的概念與性質教學要求：1. 理解不定積分的概念 2. 理解不定積分的性質；3. 熟記基本積分表。重 點：不定積分的性質和基本積分表難 點：不定積分的概念教學手段及教具：講授法講授內容及時間分配：1. 不定積分的概念 （25）2. 不定積分的性質 （30）3. 基本積分表 （30） 4. 習題 （90）課后作業參考資料不定積分的概念與性質1、 復習13個基本導數公式.2、原函數與不定積分的概念. （1）定義1 在區間I上，如果可導函數的導函數為，即對任一xI，都有或=，那么函數就稱為(或)在區間I上的原函數. （2）原函數存在定理 如果函數在區間I上連續, 那么在區間I上存在可導函數, 使對任一x I 都有F (x)=. 注： 1、如果函數在區間I上有原函數, 那么就有無限多個原函數. 都是的原函數. (其中C是任意常數). 2、的任意兩個原函數之間只差一個常數, 即如果F(x)和都是的原函數,則(為某個常數).簡單地說就是,連續函數一定有原函數. 定義2 在區間I上, 函數的帶有任意常數項的原函數稱為(或)在區間I上的不定積分. 記作 , 其中記號稱為積分號, 稱為被積函數, 稱為被積表達式,稱為積分變量. 3、例題講解.例1 因為是的原函數,所以.因為是的原函數, 所以 .例2. 求函數的不定積分.解：當時，(ln x)，().; 當時，ln(x)，().合并上面兩式,得到 (x0). 例3. 求解 由于，所以是的一個原函數，因此.4、變式練習5、積分曲線: 函數的原函數的圖形稱為的積分曲線,從不定積分的定義,即可知下述關系: , 或 . 又由于是的原函數,所以或記作. 6、基本積分表（略）.例4. . 例5. . 7、不定積分的性質.性質1 函數的和的不定積分等各個函數的不定積分的和，即 . 這是因為, =f(x)+g(x).性質2 求不定積分時,被積函數中不為零的常數因子可以提到積分號外面來,即 (是常數,). 例6. . . 例7. . 8.變式練習(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13)第 5 次課 2 學時課程安排：1學期，周學時 2 , 共 48學時.主要內容：不定積分，定積分，微分方程本次課題：第一類換元積分法教學要求：1. 掌握第一類換元積分法重 點：第一類換元積分法難 點：湊微分教學手段及教具：講授法講授內容及時間分配：1. 第一類換元積分法理論 （25）2. 練習 （65）課后作業參考資料 第一類換元積分法1、 回顧舊知（1）復習13個常見積分公式（2）思考：對嗎？2、第一類換元法. 設有原函數, 且可微, 那么, 根據復合函數微分法, 有 ,即 = = . 定理1 設具有原函數, 可導, 則有換元公式 . 3、講授例題.例1 = 例2 .例3 = .例4求解 4、變式練習.） ） ） ） ） 第 6 次課 2 學時課程安排：1學期，周學時 2 , 共 48學時.主要內容：不定積分，定積分，微分方程本次課題：第一類換元積分法教學要求：1. 掌握第一類換元積分法重 點：第一類換元積分法難 點：湊微分教學手段及教具：講授法講授內容及時間分配：1. 練習 （90）課后作業參考資料第一類換元積分法1、 復習舊知.（1）13個常見的積分公式.（2） 第一類換元積分法.2、 例題講解（較難的積分）.例1. .例2. .例3. =ln |csc x -cot x |+C . 即 =ln |csc x -cot x |+C .例4. =ln |sec x + tan x | + C. 即 =ln |sec x + tan x | + C.3、 變式練習.1） 2）3） 4）5) 6) 7) 8)9) 10)4、 小結（1） 分項積分：利用積化和差; 分式分項;；（2） 降低冪次：利用倍角公式 , 如.（3） 統一函數: 利用三角公式 ; 配元方法.（4） 巧妙換元或配元第 7 次課 2 學時課程安排：1學期，周學時 2 , 共 48學時.主要內容：不定積分，定積分，微分方程本次課題：第二類換元積分法教學要求：1. 理解第二類換元積分法重 點：第二類換元積分法難 點：第二類換元積分法 教學手段及教具：講授法講授內容及時間分配：1. 第二類換元積分法理論 （25）2. 練習 （65）課后作業參考資料 第二類換元積分法1、復習第一類換元積分法.2、第二類換元法.（1）定理1 設=是單調的、可導的函數, 并且0. 又設f 具有原函數F, 則有換元公式.其中=是=的反函數. 這是因為 . 3、例題講解. 例1. 求(a0). 解: 設，, 那么, , 于是. 因為, , 所以.例2 求解 原式.例3 求解 為了消去根號，設，則.所以 .4、變式練習.） ） ） ） ）第 8 次課 2 學時課程安排：1學期，周學時 2 , 共 48學時.主要內容：不定積分，定積分，微分方程本次課題：分部積分法1教學要求：1. 掌握分部積分法重 點：分部積分法難 點：分部積分法教學手段及教具：講授法講授內容及時間分配：1. 分部積分法理論 （25）2. 練習 （65）課后作業參考資料 分部積分法1、提出問題：求解（讓學生試著求解）.2、分部積分公式.設函數u=u(x)及v=v(x)具有連續導數.那么,兩個函數乘積的導數公式為(uv)=uv+uv,移項得 uv=(uv)-uv. 對這個等式兩邊求不定積分, 得, 或,這個公式稱為分部積分公式. 思路分析：嚴格按照“反、對、冪、三、指順序，越靠后的越優先納入到微分號下湊微分。”的原則進行分部積分的練習。 3、 例題講解.例1 求.解 設那么于是.例2 求 解 令則.原式.例3 求解 設.則原式. 再令.則. 故原式.故.說明: 也可設為為三角函數 , 但兩次所設類型必須一致 . 注：(1).(2) 應較易積分.(3) 熟悉了分部積分的步驟后，可以不明確寫出，而是直接用公式來做.例5 求.解 .例6 求.解 .4、 變式練習.） ） ） ） ）第 9 次課 2 學時課程安排：1學期，周學時 2 , 共 48學時.主要內容：不定積分，定積分，微分方程本次課題：分部積分法教學要求：1. 會應用分部積分法求積分重 點：分部積分法難 點：分部積分法教學手段及教具：講授法講授內容及時間分配：1. 習題 （90）課后作業參考資料 分部積分法1、 復習分部積分法.2、 例題講解.例1 求. 解 因為 , 所以. 例2 求. 解 因為 , 所以 . 例3 . 解題技巧：選取及的一般方法：把被積函數視為兩個函數之積，按“反對冪三指”的順序，前者為后者為. 例4 .例5 求, 其中n為正整數.