1 一 矩陣的特征值和特征向量 二 相似矩陣和矩陣對角化 三 向量的內積和施密特正交化 四 實對稱矩陣的對角化 第四章矩陣的對角化 本章安排 2 第一節矩陣的特征值和特征向量 一 特征值與特征向量的概念 二 特征值與特征向量的性質 三 特征值與特征向量的求法 四 小結思考題 3 一 特征值與特征向量的概念 使得 注 是方陣 2 特征向量是非零列向量 4 4 一個特征向量只能屬于一個特征值 的特征向量 即有 5 或 已知 所以齊次線性方程組 2 有非零解 或 定義2 數 二 特征值與特征向量的求法 6 稱為矩陣的特征方程 求特征值 特征向量的步驟 求齊次線性方程組 的非零解 即為所求特征向向量 7 例1 求矩陣 的特征值和全部特征向量 解 第一步 寫出矩陣A的特征方程 求出特征值 特征值為 第二步 對每個特征值 代入齊次線性方程組 求非零解 8 系數矩陣 自由未知量 9 當 時 齊次線性方程組為 得基礎解系 10 三 特征值和特征向量的性質 性質1 若的特征值是 是的對應于的特征向量 則 的特征值是 是任意常數 的特征值是 是正整數 若可逆 則的特征值是 的特征值是 且仍然是矩陣 分別對應于的特征向量 為A的多項式 則的特征值為 11 再繼續施行上述步驟 次 就得 與題設矛盾 由 證明 12 回顧 的特征值為 的特征值為 的特征值為 4 設 則 13 設為矩陣的特征值 求的特征值 若可逆 求的特征值 例2 解 在題設條件下 由性質1中的 4 知 的特征值為 為A的多項式 則的特征值為 由性質1中的 3 知 的特征值為 的特征值為 進而 的特征值為 14 矩陣和的特征值相同 證明 性質2 15 設階方陣的個特征值為 則 稱為矩陣A的跡 主對角元素之和 定理2 16 解 1 求 1 A的特征值和特征向量 2 求可逆矩陣 使得為對角陣 例3設 得 17 18 自由未知量 得基礎解系 19 取 20 存在 本題啟示 問題 矩陣是否唯一 矩陣是否唯一 2 提供了一種求的方法 21 則 是方陣的個特征值 依次是與之對應的特征向量 如果各不相等 則線性無關 即 方陣的屬于不同特征值的特征向量線性無關 定理3設 22 把上列各式合寫成矩陣形式 得 等號左邊第二個矩陣的行列式為Vandermonde行列式 當各不相同時 該行列式的值不等于零 所以存在逆矩陣 類推之 有 23 等號兩邊同時右乘它的逆矩陣 有 即 又因為為特征向量 所以 線性無關 24 1 屬于不同特征值的特征向量是線性無關的 2 屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量 3 矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的 一個特征值具有的特征向量不唯一 一個特征向量不能屬于不同的特征值 注意 的特征向量 即有 與定義矛盾 25 內容小結 求矩陣特征值與特征向量的步驟 26 思考與練習 矩陣 計算行列式 知識點鏈接 解 27 例2向量 是矩陣 知識點鏈接 28 例3設 是 的特征向量 則 的值為 A 5 2 B 1 3 C 3 1 D 2 5 29 例4設矩陣 的屬于特征值 的特征向量