利用放縮法證明數(shù)列型不等式一、常用的放縮法在數(shù)列型不等式證明中的應(yīng)用1、裂項(xiàng)放縮法：放縮法與裂項(xiàng)求和的結(jié)合，用放縮法構(gòu)造裂項(xiàng)求和，用于解決和式問(wèn)題。裂項(xiàng)放縮法主要有兩種類型：（1）先放縮通項(xiàng)，然后將其裂成某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的差，在求和時(shí)消去中間的項(xiàng)。例1設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，。設(shè)，證明：。證明：易得， =點(diǎn)評(píng)： 此題的關(guān)鍵是將裂項(xiàng)成，然后再求和，即可達(dá)到目標(biāo)。（2）先放縮通項(xiàng)，然后將其裂成項(xiàng)之和，然后再結(jié)合其余條件進(jìn)行二次放縮。例2 已知數(shù)列和滿足，數(shù)列的前和為，； （I）求證：； （II）求證：當(dāng)時(shí)，。證明：（I） （II）由（I）可知遞增，從而，又，即當(dāng)時(shí)，。點(diǎn)評(píng)：此題（II）充分利用（I）的結(jié)論，遞增，將裂成的和，從而找到了解題的突破口。2、迭乘放縮法：放縮法與迭乘法的結(jié)合，用放縮法構(gòu)造迭乘形式，相乘時(shí)消去中間項(xiàng)。用于解決積式問(wèn)題。例3 已知數(shù)列的首項(xiàng)為點(diǎn)在直線上。若證明對(duì)任意的 ，不等式恒成立證明： ，所以即。點(diǎn)評(píng)：此題是證明積式大于根式，由于左邊沒有根式，右邊是三次根式，立方后比較更容易處理。可以看成是三個(gè)假分式的乘積，保持其中一項(xiàng)不變，另兩項(xiàng)假分?jǐn)?shù)分子分母同時(shí)加1，加2，則積變小，而通項(xiàng)式為的數(shù)列在迭乘時(shí)剛好相消，從而達(dá)到目標(biāo)。3、迭代放縮法：通過(guò)放縮法構(gòu)造遞推不等關(guān)系，進(jìn)行迭代，從而求解。例4 已知數(shù)列滿足，證明：。 證明：當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。當(dāng)時(shí)，易知 點(diǎn)評(píng)：此題將目標(biāo)式進(jìn)行放縮得到遞推不等關(guān)系，進(jìn)行迭代，找到解題途徑。4、等比公式放縮法：先放縮構(gòu)造成等比數(shù)列，再求和，最后二次放縮實(shí)現(xiàn)目標(biāo)轉(zhuǎn)化。例5已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（I）數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（II）求證： 略解：（I） ，。證明：（II）反思：右邊是，感覺是個(gè)的和，而中間剛好是項(xiàng)，所以利用；左邊是不能用同樣的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)，想到，試著考慮將縮小成是等比數(shù)列），從而找到了此題的突破口。5、二項(xiàng)式定理放縮法：在證明與指數(shù)有關(guān)的數(shù)列型不等式時(shí)，用二項(xiàng)式定理放縮特別有效。二項(xiàng)式定理放縮法有兩種常見類型：（1）部分二項(xiàng)式定理放縮法：即只在式子的某一部分用二項(xiàng)式定理放縮。例6已知數(shù)列滿足，（）（）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)；（）如果時(shí)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試求出，并證明當(dāng)時(shí)，有 略解： （）， 則 ，當(dāng)時(shí)，則 ，則因此， 反思：為什么會(huì)想到將放縮成？聯(lián)想到，因?yàn)橐C明，而是一個(gè)數(shù)列前項(xiàng)的和，最后通過(guò)放縮很可能變成的形式，而應(yīng)是由放縮后裂項(xiàng)而成，此時(shí)剛好得到，接下來(lái)就要處理，想到用二項(xiàng)式定理。（2）完全二項(xiàng)式定理放縮法：整個(gè)式子的證明主要借助于二項(xiàng)式定理。例7設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的，都有.(I)求的值；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（III）證明：。略解：（I）（II），；證明（III），令，則有，從而，即。點(diǎn)評(píng)：利用二項(xiàng)式定理結(jié)合放縮法證明不等式時(shí)，一定要緊密結(jié)合二項(xiàng)式展開式的特點(diǎn)，聯(lián)系需證不等式的結(jié)構(gòu)，通過(guò)化簡(jiǎn)、變形、換元等手段使問(wèn)題得以解決。6、比較放縮法：比較法與放縮法的結(jié)合，先進(jìn)行比較（作差或作商），再進(jìn)行放縮。例8在單調(diào)遞增數(shù)列中，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，（I）分別計(jì)算，和，的值；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（將用表示）；（III）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：，略解：（I）（II）得， 證明：（III）由（II），得顯然，； 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，； 當(dāng)為奇數(shù)（）時(shí)，.綜上所述，即， 點(diǎn)評(píng)： 此題在作差比較中實(shí)施裂項(xiàng)放縮，進(jìn)而得到最后結(jié)果小于0，從而得證。 7、單調(diào)函數(shù)放縮法：根據(jù)題目特征，構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，再進(jìn)行放縮求解。例9設(shè)函數(shù)，其中證明對(duì)任意的正整數(shù)，不等式都成立分析：欲證上述結(jié)論，直接作差比較，無(wú)從下手；接著想到令，判斷函數(shù)的單調(diào)性，由于定義域?yàn)檎麛?shù)，不能用導(dǎo)數(shù)，只能計(jì)算，其結(jié)果還是很難處理；聯(lián)想到數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，將命題加強(qiáng)，令，判斷函數(shù)的單調(diào)性，如果在單調(diào)，則函數(shù)也單調(diào)。解：令函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，時(shí)，恒有，即恒成立故當(dāng)時(shí)，有對(duì)任意正整數(shù)取，則有二、放縮法的注意問(wèn)題以及解題策略1、明確放縮的方向：即是放大還是縮小，看證明的結(jié)論，是小于某項(xiàng)，則放大，是大于某個(gè)項(xiàng)，則縮小。2、放縮的項(xiàng)數(shù)：有時(shí)從第一項(xiàng)開始，有時(shí)從第三項(xiàng)，有時(shí)第三項(xiàng)，等等，即不一定是對(duì)全部項(xiàng)進(jìn)行放縮。3、放縮法的常見技巧及常見的放縮式：（1）根式的放縮：；（2）在分式中放大或縮小分子或分母：；真分?jǐn)?shù)分子分母同時(shí)減一個(gè)正數(shù)，則變大；，；假分?jǐn)?shù)分子分母同時(shí)減一個(gè)正數(shù)，則變小，如；（3）應(yīng)用基本不等式放縮：；（4）二項(xiàng)式定理放縮：如；（5）舍掉（或加進(jìn)）一些項(xiàng)，如：。4、把握放縮的尺度：如何確定放縮的尺度，不能過(guò)當(dāng)，是應(yīng)用放縮法證明中最關(guān)鍵、最難把握的問(wèn)題。這需要勤于觀察和思考，抓住欲證命題的特點(diǎn)，只有這樣，才能使問(wèn)題迎刃而解。再看例2，若構(gòu)造函數(shù)，則前后不等號(hào)不一致，不能確定的單調(diào)性，此時(shí)放縮過(guò)當(dāng)，此題不適宜用單調(diào)函數(shù)放縮法。若要證明，則，所以，從而遞增，所以成立，此時(shí)用單調(diào)函數(shù)放縮法可行。同樣的題干，稍有調(diào)整，我們所用的方法便有不同。5、放縮法的策略以及精度的控制例10已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足。（I）數(shù)列是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論； （II）求和；（III）求證：。簡(jiǎn)解：（1）（2）；（3）證法一：當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)，= 綜上所述，。證法二：。點(diǎn)評(píng)：兩種證法的不同在于策略的選擇不同。方法一是將放大成，需從第二項(xiàng)起，要分類討論；而方法二是將放大成。明顯比大很多，比更接近。從中可以發(fā)現(xiàn)放縮后的式子越接近放縮前的式子，即放縮程度越小，精確程度越高，保留的項(xiàng)就越少，運(yùn)算就越簡(jiǎn)單。因此，在放縮時(shí)，要盡量縮小放縮度，提高放縮精度，避免運(yùn)算上的麻煩。本文選取的例題都是高考或模擬考中的壓軸題，有一定難度，從中我們可以發(fā)現(xiàn)放縮法是證明數(shù)列型不等式的壓軸題的最重要的方法。對(duì)于某個(gè)題目可能用到單一的放縮法，也可能用到復(fù)合型的放縮法，在平時(shí)或考試中遇到數(shù)列型不等式的證明