第 33 頁 共 33 頁第一章習題1設，求及Arg z.2設，試用指數形式表 z1 z2及.3解二項方程 4證明，并說明其幾何意義。5設z1、z2、z3三點適合條件： 試證明z1、z2、z3是一個內接于單位圓周的正三角形的頂點。6下列關系表示的點z的軌跡的圖形是什么？它是不是區域？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.7證明：z平面上的直線方程可以寫成 （是非零復常數，c 是實常數）8證明：z平面上的圓周可以寫成. 其中A、C為實數，為復數，且9試證：復平面上的三點共直線。10求下列方程（t是實參數）給出的曲線：（1）；（2）；（3）；（4）.11函數將z平面上的下列曲線變成w平面上的什么曲線（）？（1）（2）；（3）x = 1； （4）( x -1)2+y2=1.12試證：（1）多項式在z平面上連續；（2）有理分式函數 （）在z平面上除分母為的點外都連續。13試證：在負實軸上（包括原點）不連續，除此而外在z平面上處處連續。注：若，則在正實軸（包括原點）上不連續，在z平面上其他點處連續。14命函數試證：在原點不連續。15試證：函數在z平面上處處連續。16試問函數 在單位圓 內是否連續？是否一致連續？17一個復數列 以為極限的定義為：任，存在一個正整數，使當nN時，恒有，試證：復數列zn以為極限的充要條件為實數列 xn 及 yn 分別以x0及y0為極限。（這是一個定理。）提示：一方面從及推出條件的必要性；另一方面，從推出條件的充分性。注：本題的定理有如下的三角表示：復數列以為極限的充要條件是實數列及為極限（必要性證明只要適當選擇及的值。）。18一個復數列有極限的充要條件（即柯西準則）是：任，存在正整數，使當nN時，恒有提示：利用上題、不等式（1.1）及實數情形的柯西準則。19試證：任何有界的復數列必有一個收斂的子數列。20如果復數列合于，試證當時，結論是否正確？（二）1將復數 化為指數形式和三角形式。2如果，試證：；其中n為正整數。3設為實數；n為正整數)。 試證：。4設，試證：5設z1及z2是兩個復數，試證：.6設| z |=1，試證：.7已知正方形z1 z2 z3 z4的相對頂點z1(0,-1)和z3(2,5)，求頂點z2和z4的坐標。8試證：以z1 z2 z3為頂點的三角形和以為頂點的三角形同向相似的充要條件為：9試證：四個相異點共圓周或共直線的充要條件是為實數（如圖1.22）.圖1.2210試證：兩向量與互相垂相的充要條件是11試證：方程 表示Z平面上一個圓周，其圓心為z0，半徑為，且12試證 并能從幾何意義上來讀本題。第二章習題（一）1設連續曲線，有 ，則（試證）曲線C在點有切線。2洛必達(LHospital)法則 若及在點解析，且. 則（試證） .3設 試證f (z) 在原點滿足C. R. 方程，但卻不可微.4試證下列函數在z平面上任何點都不解析： （1）； （2）； （3）； （4）5試怕下列函數的可微性和解析性：（1）；（2）；（3）；（4）.6若函數在區域D內解析，且滿足下列條件之一，試證在D內必為常數。（1）在D內；（2）在D內解析；（3）在D內為常數；（4）或 在D內為常數。7如果在區域D內解析，試證 在區域D內也解析.8試證下列函數在z 平面上解析，并分別求出其導函數。（1）；（2）；（3）；（4）.9試證下面的定理：設 ，若 在點（）是可微的，且滿足極坐標的C. R. 方程:，則在點z是可微的，并且.注：這里要適當割破z平面（如沿負實軸割破），否則就不是單值的。10設，試求 （1）； （2）； （3）11試證 （1）； （2）； （3）.12試證：對任意的復數z及整數m， .13試求下面各式之值：（1）；（2）.14試驗證： （1）； （2）； （3）15設a.b為復常數，試證； （2.33）. （2.34）注：分別證明（2.33）和（2.34）由于a和b是復數，不能從（2.33）+i（2.34）著手化簡后，再比較“實、虛”部。16試證：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.17試證：（1）； （2）；（3）.18若z=x+iy，試證：（1）；（2）；（3）；（4）.19試證 20試解方程：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）.21設，試證 .22設確定在從原點起沿正實軸割破了的z平面上，并且，試求之值。23設確定在從原點起沿負實軸割破了的z平面上，并且（這是邊界上岸點對應的函數值），試求之值。24試求（1+ i）i及 3i之值.25已知在Ox軸上A點（OAR1）的初值為，令z由A起沿正向在以原點為中心的圓周上走圓周而至Oy軸的B點，問f(z)在B點的終值為何？注：作了提示中的代換后，即可將原具有四個有限支點的繁難情形簡化為具有單有限支點的情形.26試證：在將z平面適當割開后，函數能分出三個單值解析分支。并求出在點z = 2取負值的那個分支在z = i的值。（二）1設函數，試證 。 注：這里是單位圓| z |1內的單葉解析星像函數.2設，試證 。 注：這里是單位圓| z |0為常數），試求復勢并畫出勢線及流線。20某流動的復勢為，試分別求出沿圓周（1）； （2）； （3）, 的流量及環量。（二）1設函數在內解析，且沿任何圓周 的積分值為零。問是否必須在處解析？試舉例說明之。2沿從1到-1的如下路徑求 . （1）上半單位圓周； （2）下半單位圓周，其中取主值支。3試證 ，其中C為圓周。4設a,b為實數，時，試證.5設在區域D，內的單位圓周上任取一點z，用D內曲線C連接0與z ，試證.6試計算積分 之值，其中C為圓周7設（1）在上連續；（2）對任意的，試證 .8設（1）函數當時是連續的；（2）M表| f (z) |在上的最大值；（3）。試證.提示：應用積分估值定理。9證明：（1）若函數在點的鄰域內連續，則 ；（2）若函數在原點z=0的鄰域內連續，則 10設函數在內解析，在閉圓上連續，且，求積分之值。11若函數在區域D內解析，C為D內以a,b為端點的直線段試證：存在數，與使得.12如果在內函數解析，且.試證： 提示：可取積分路徑為圓周 ，然后應用柯西高階導數公式。13設在上函數解析，且，試證： .注：很清楚，由知，這是可能的最好界。14設為非常數的整函數，又設R，M為任意正數。試證：滿足且的z必存在。提示：用反證法，并應用劉維爾定理。15已知 ，試確定解析函數.16設（1）區域D是有界區域，其邊界是周線或復周線C；（2）函數及在D內解析，在閉域上連續；（3）沿C，試證：在整個閉域上，.第四章習題（一）1將下列各函數在指定圓環內展為洛朗級數。（1）.（2），.（3），只要含到各項。2將下列各函數在指定點的去心鄰域內展成洛朗級數，并指出其收斂范圍。（1），.（2）及 .（3）及.3試證 ，其中t為z無關的實參數，（n=1，2，）4求出下列函數的奇點，并確定它們的類別（對于極點，要指出它們的階），對于無窮遠點也要加以討論。（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.5下列函數在指定點的去心鄰域內能否展為洛朗級數。（1）； （2）；（3）； （4）.6函數，分別以z = a為m階極點及n階極點。試問z = a為及的什么點？7設函數不恒為零且以為解析點或極點，而函數以為本質奇點，試證是及的本質奇點。8判定下列函數的奇點及其類別（包括無窮遠點）.（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.9試證：在擴充z平面上解析的函數必為常數（劉維爾定理）.10劉維爾定理的幾何意義是“非常數整函數的值不能全含于一圓之內”，試證明：非常數整函數的值不能全含于一圓之外。11設冪級數所表示的和函數在其收斂圓周上只有惟一的一階極點. 試證：，因而是收斂半徑).（二）1下列多值函數在指定點的去心鄰域內能否有分支可展成洛朗級數.（1）；（2）；（3），；（4），；（5），.2函數 在z=1處有一個二階極點；這個函數又有下列洛朗展式：， 于是就說“z =1 又是的本質奇點”. 這個說法對嗎？3設函數在點a 解析，試證函數 在點a也解析.4設為整函數，試證 也是一個整函數.5試證：若為的單值性孤立奇點，則為的m階極點的充要條件是，其中m 是正整數.6若為的單值性孤立奇點，（k為正整數）在點的去心鄰域內有界. 試證：是的不高于k階的極點或可去奇點。7考查函數 的奇點類型。8試證：在擴充z平面上只有一個一階極點的解析函數必有如下形式：.9（含點的區域的柯西積分定理）設C是一條周線，區域D是C的外部（含點），在D內解析且連續到C；又設，則 ，這里c0及c-1是在無窮遠點去心鄰域內的洛朗展式的系數. 試證之.提示：設R充分大，C及其內部全含于圓周的內部（圖5.8）.其次，證明 . 再應用復周線的柯西積分定理，就會得證。10（含點的區域的柯西積分公式）假設條件同前題，則這里C表示的方向，含點的區域D恰在一人沿它前進的左方。提示：例如就定點來說，以z為心作充分大圓周，使C及其內部全含于內部（如圖5.9）。構成一復周線，則應用有界區域的柯西積分公式 再進一步由在內的洛朗展式可以證明（就是以z為中心的點的去心鄰域。）11應用上題公式計算積分.12設解析函數在擴充z平面上只有孤立奇點，則奇點的個數必為有限個。試證之。13求在擴充z平面上只有n個一階極點的解析函數的一般形式。14設（1）C是一條周線，在C的內部是亞純的，且連續到C；（2）沿C不為零，則（試證）函數在C的內部至多只有有限個零點和極點。15在施瓦茨引理的假設條件下，如果原點是的階零點，求證.要想這里的等號成立，必須（a為實數，）.16若在圓內解析，f ( 0 )=0，則（1），且有；（2）若在圓內有一點使，就有 （a為實數，）.注：（1）當R1，M1時，本題就是我們前面證明過的施瓦茨引理，故本題為其更一般的形式。（2）本題的結果也有如下一個簡單改進：我們保留本題的假設條件不變，如果z=0是的階零點，則，且有.如果這些關系中，有一個取等號，這只有 （a為實數，）.（當時，這些就是本題的結果）。第五章習題（一）1求下列函數在指定點的留數。（1）在 .（2）在（3）在.（4）在.（5）在.（6）在.2求下列函數在其孤立奇點（包括無窮遠點）處的留數（m是正整數）。（1）.（2）.（3）（4）.3計算下列各積分：（1）； （2）；（3）；（4）.4求下列各積分之值：（1）； （2）；（3）（a為實數且）。5求下列各積分：（1）； （2）；（3）； （4）.6仿照例6.15的方法計算下列積分：（1）； （2）.7從出發，其中C是如圖6.15所示之周線（沿正實宙取正值），證明.8從出發，其中C是如圖6.16所示的周線，證明：，.9證明 .提示：取輔助函數 .10證明方程在單位圓內有n個根.12若在周線C內部除有一個一階極點外解析，且連續到C，在C上. 證明 在C內部恰好有一個根. 提示：用輻角原理證明 13若在周線C內部亞純且連續到C，試證：（1）若時，|1，則方程1在C的內部根的個數，等于在C的內部的零點個數。14設在C：內部解析，且連續到C，在C上. 求證：在C內部只有一個點，使.（二）1.計算積分（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.2.計算積分 ，其中C為單位圓周.3.設在| z |1內解析，在上連續，試證：，這里C是圍繞原點的一條周線。5.試證：含點的區域的留數定理（在例6.20中列出并引用過）。6.試證： .提示：考慮 ，其中.7. 設函數在上解析，在上. 試證：在上，的最大值至少等于在內的零點個數.8. 設C是一條周線，且設（1）符合定理6.9的條件為在C內部的不同的零點，其階相應為為在C內部的不同的極點，其階相應為；（2）在閉域上解析。則有（試證） （這是定理6.9的推廣，時就是定理6.9）。9. 設C是一條周線，且設（1）、在C內部亞純，且連續到C，（2）沿C，則試證.注：這是儒歇定理的推廣形式。為了給出它的一個應用，可參閱：“鐘玉泉. 一個解析函數定理的推廣，四川大學學報（自然科學版），1990（1）,8687.”10. 如果，試證方程 （n為正整數）在圓內恰有n 個根。11. 試證方程 在單位圓內恰有一個根。提示：應用第二章習題（二）5.12. 試證方程 在內只有一個根，且為實根。13. 方程 在圓與在圓環內各有幾個根？14. 應用儒歇定理證明例3.11.15. 設D是周線C的內部，在閉域上解析。試證：在D內不可能存在一點使 16. 設（1）在點解析，； （2）以為n階零點。試證：對于充分小的，能確定，使對滿足的a，函數在圓內恰有n個一階零點.第六章習題（一）1. 求在z=I 處的伸縮率和旋轉角。問此變換將經過點z=i且平行于實宙正方向的曲線的切線方向變換成w平面上哪一個方向？并用圖。2. 試利用保域定理7.1簡捷地證明第二章習題（一）6(3)、（4）。3. 在整線性變換下，下列圖形分別變成什么圖形？（1）以為頂點的三角形；（2）閉圓.4. 下列各題中，給出了三對對應點的具體數值，寫出相應的分式線性變換，并指出此變換把通過z1，z2，z3的圓周的內部，或直線左邊（順著z1，z2，z3觀察）變成什么區域。（1）；（2）；（3）；（4）.5. z平面上有三個互相外切的圓周，切點之一在原點，函數將此三個圓周所圍成的區域變成w平面上什么區域？6. 如將單位圓周變成直線，其系數應滿足什么條件？7. 分別求將上半z平面共形映射成單位圓 的分式線性變換,使符合條件：（1）;（2）.8. 分別求將單位圓 共形映射成單位圓的分式線性變換，使符合條件：（1）;（2）.9. 求出將圓 變成半平面的共形映射，使得圓心變到-4，而圓周上的點2i變到10. 求出將上半z 平面共形映射成圓的分式線性變換，使符合條件；如果再要求，此變換是否存在？11. 求將圓共形映射成圓的分式線性變換，使變成w=0。12. 求出圓到半平面的共形映射，使符合條件.13. 試求以下各區域（除去陰影部分）到上半平面的一個共形映射。（1）（圖7.20）。（2）（圖7.21）。（3）（圖7.22）。14. 求出角形區域到單位圓的一個共形映射。15.求出將上半單位圓變成上半平面的共形映射，使z=1,-1,0分別變成。16. 求出第一象限到上半平面的共形映射，使對應地變成17. 將擴充z 平面割去1+I 到2+2i 的線段后剩下的區域共形映射成上半平面。18. 將單位圓割去0到1的半徑后剩下的區域共形映射成上半平面。19. 將一個從中心起沿實軸上的半徑割開了的單位圓共形映射成單位圓，使符合條件：割疑寂岸的1變成1，割縫下岸的1變成-1，0變成-i。（二）1.證明定理7.3 （只須就的情形證明）提示：不妨假設，否則，代替f(z)總可以考慮而；接著可以應用儒歇定理。2. 如果單葉解析函數把z平面上可求面積的區域D共形映射成w平面上的區域G，試證G的面積.3. 求證：把圓周變成橢圓周.4. 把半帶形 R 變成什么？5. 求分式線性變換w=L(z)，使點1變到，點I 是二重不動點。6. 證明：有二相異有限不動點p，q的分式線性變換可寫成，k是非零復常數.7. 證明：只有一個不動點（二重有限）p的分式線性變換可寫成是非零復常數.8. 證明：以p，q為對稱點的圓周的方程為當k=1時，退化為以p,q為對稱點的直線。9. 求分式線性變換使擴棄z平面上的由三圓弧所圍成的三角形與擴充w平面上的直線三角形相對應的充要條件.10. 設函數在|z|1內解析，且是將| z| 1共形映射成| w |1的分式線性變換。試證（1）；（2），其中a在單位圓| z|1內，f(a)=0。11. 若是將| z |1共形映射成| w | 1的單葉解析函數，且.試證：這個變換只能是恒等變換，即.12. 設函數在| z |1內單葉解析，且將| z| 1共形映射成| w |1，試證必是分式線性函數.13. 設在| z |1內f(z)解析，且| f(z) |1；但試證：在內。.提示：應用例7.8及施瓦茨引理.14. 應用施瓦茨引理證明：把| z |1變成，且把變成0的共形映射一定有下列形狀，這里是實常數.第七章習題（一）1. 證明：函數是函數 由區域| z+1 | 1向外的解析延拓.2. 證明：函數是函數 由單位圓| z | 1向外的解析延拓.3. 已給函數 ，證明：函數 是函數的解析延拓.4. 試證： 及 互為直接解析延拓.5. 級數 與級數 的收斂區域無公共部分，試證：它們互為（間接）解析延拓.6. 已知函數 證明：函數是函數的解析延拓.7. 設 ，試證： 與互為直接解析延拓 （且 ）。8. 證明 以單位圓周為自然邊界.9. 假設函數在原點鄰域內是解析的，且適合方程，試證：可以解析延拓到整個z平面上.10. 試作出函數的黎曼面.（二）1. 已給函數，證明：函數是函數的解析延拓.2. 冪級數 與 的收斂圓無公共部分，試證：它們互為解析延拓.3. 試證：級數的和函數在點z = 0的鄰域及z = 4的鄰域內都可以展成冪級數，且其和函數與可以從一方解析延拓至另一方.4. 試證：級數所定義的函數在左半平面內解析，并可解析延拓到除去