;.大一上學期高數復習要點 同志們，馬上就要考試了，考慮到這是你們上大學后的第一個春節，為了不影響闔家團圓的氣氛，營造以人文本，積極向上，相互理解的師生關系，減輕大家學習負擔，以下幫大家梳理本學期知識脈絡，抓住復習重點；1.主要以教材為主，看教材時，先把教材看完一節就做一節的練習，看完一章后，通過看小結對整一章的內容進行總復習。2.掌握重點的知識，對于沒有要求的部分可以少花時間或放棄，重點掌握要求的內容，大膽放棄老師不做要求的內容。3.復習自然離不開大量的練習，熟悉公式然后才能熟練任用。結合課后習題要清楚每一道題用了哪些公式。沒有用到公式的要死抓定義定理！一.函數與極限 二.導數與微分 三.微分中值定理與導數的應用 四.不定積分 瀏覽目錄了解真正不熟悉的章節然后有針對的復習。一函數與極限熟悉 差集 對偶律（最好掌握證明過程） 鄰域（去心鄰域）函數有界性的表示方法 數列極限與函數極限的區別 收斂與函數存在極限等價 無窮小與無窮大的轉換 夾逼準則（重新推導證明過程） 熟練運用兩個重要極限 第二準則 會運用等價無窮小快速化簡計算 了解間斷點的分類 零點定理本章公式：兩個重要極限： 二.導數與微分熟悉函數的可導性與連續性的關系 求高階導數會運用兩邊同取對數 隱函數的顯化 會求由參數方程確定的函數的導數洛必達法則：利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意： 在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足或 型，否則濫用洛必達法則會出錯.當不存在時（不包括情形），就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則失效，應從另外途徑求極限 . 洛必達法則可連續多次使用，直到求出極限為止. 洛必達法則是求未定式極限的有效工具，但是如果僅用洛必達法則，往往計算會十分繁瑣，因此一定要與其他方法相結合，比如及時將非零極限的乘積因子分離出來以簡化計算、乘積因子用等價量替換等等.曲線的凹凸性與拐點：注意：首先看定義域然后判斷函數的單調區間 求極值和最值 利用公式判斷在指定區間內的凹凸性或者用函數的二階導數判斷（注意二階導數的符號） 四.不定積分：（要求：將例題重新做一遍） 對原函數的理解原函數與不定積分 1 基本積分表基本積分表（共24個基本積分公式） 不定積分的性質 最后達到的效果是會三算兩證（求極限，求導數，求積分）（極限和中值定理的證明），一定會取得滿意的成績！高數高頻易錯點 1.求極限請注意自變量趨向什么。我們知道：lim(x趨向0)sinx/x=1，但是當x趨向無窮limsinx/x=0，原因：無窮小量有界函數=無窮小量。這里：|sinx|0或(A0，當x取x0的去心x-x0 鄰域時,f(x)0(或f(x)0，然而并不滿足f(x)0(在x=0處)。介紹這個定理的作用：解一類題。請看：已知f(x)可導，且當x趨向0，limf(x)/|x|=1，判斷f(x)是否存在極值點。 因為f(x)可導，那么f(x)必連續，因為lim(x趨向0)f(x)/|x|=1這個極限存在且為1，那么我們得到結論：lim(x趨向0)f(x)=0，否則不會存在極限的，又因為f(x)連續，那么f(0)=0，令f(x)/|x|=g(x)，根據保號性，因為limg(x)=10，那么：g(x)0，那么由于|x|在x趨向0時0，所以f(x)0，而0=f(0)，所以f(x)f(0)，根據極小值的定義，x=0為f(x)的極小值點。 綜上：已知limg(x)=a，a的正負已知，可以使用保號性。3. 請注意當題目說：x趨向無窮時，那么題目包含兩個意思：x趨向正無窮和x趨向負無窮。在含有ex，arctanx，等等類的題目時，請看清楚x趨向無窮還是趨向正無窮或者是負無窮。補充：在含有絕對值的題目時，這點尤其重要，如果說x趨向無窮，那么在去|時，必須考慮|x|中x是趨向正無窮還是負無窮，當然題目不一定非要以絕對值出現，有些題會以(x2)出現。4.關于和差化積積化和差公式的記憶。8字口訣：同c異s，s異c同。前者用來記住積化和差，后者用來記住和差化積。舉例：sinacosb=？因為它們的三角函數名異名，那么使用s，sinacosb=(1/2)(sin(a+b)+sin(a-b)，說明：1，純粹個人記憶方法，接受不了也正常；2，這個口訣的使用基于你知道=右邊的基礎輪廓，比如所有的積化和差，右邊是1/2()(或者-)()；3，實在不會，死記硬背吧，或者請教別的大神。5. 關于極值點的3種判別法：法一：定義法；法二：若f(x)可導，f(xo)=0，且f(x)不為0，則f(x)在xo處取得極值，若二階導0，極小，反之，極大；若n為奇數，n階導不等于0，則(xo，f(xo)為拐點，xo不是極值點。證明：略6.參數方程二階導問題(無數不懂事的孩子搞不清楚)，我們說一般地，y表示對x的二階導數，不是對參數t的二階導數。y=d2y/dx2=d(dy/dx)/dx，對于求dy/dx，我們采用求關于t的y(t)，和關于t的x(t)，因為dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=y(t)/x(t)。舉例：已知y=cost，x=t2，那么求dy/dx，d2y/dx2。標準解答：1：y(t)=-sint，x(t)=2t，所以dy/dx=-sint/2t；2：d2y/dx2=d(dy/dx)/dx=d(-sint)/2t/dt * (dt/dx)=(-tcost+sint)/(4t3) 綜上：二階導是一個整體記號，不是簡單的除法。7.等價無窮小只能使用于乘除(題外：其實它可以使用于加減的，這里不說，以防混淆)。比如：初學者可能會認為這個極限為0，lim(x趨向0)(tanx-sinx)/x3=0計算思路：(x-x)/x3=0，事實上它等于1/2.原因：提取tanx后等價無窮小。等價無窮小必須自己去背的，沒有人可以幫你。8.對隱函數求導的問題很多同學搞不清楚。錯誤一：把變量當做常量。比如：y=xx，標準解答lny=xlnx，兩邊對x求導，y/y=1+lnx，所以y=(xx)(1+lnx)。錯誤做法：y=xx，y=x(x(x-1)=xx。(但愿你們找到了錯誤在哪)，錯誤二：搞不清楚對x求導是什么意思。當然：y=x2求導大家都會吧，y=2x，當出現對y2=x2，很多同學就迷茫了，我們說y是x的函數，所以最后必須乘y，對y2=x2求導，得到：2yy=2x.再則：對隱函數求導我們把其中一個看成常量，比如y=yx+x2，那么求導：y=y+yx+2x。綜上：對隱函數求導，若是單獨y，求導為y，一切關于y的函數(比如y2，lny，ay等)，先對這個函數求導再乘y.9.函數在某點可導的本質僅僅是該點的問題，與它的鄰域無關，也就是說點可導，在中心點的去心鄰域內的點未必可導。比如函數f(x)=0 當x是有理數。f(x)=x2 當 x是無理數。只在x=0處點連續，并可導。按定義可驗證在x=0處導數為0.10.無窮小有界=無窮小，但是：無窮大有界未必等于無窮大。正確結論：無窮大有界=未知，比如：當x趨向正無窮，x，x2始終為無窮大，而1/x，1/x2為有界量。 注意到：x*(1/x2)=1/x就是一個無窮小,而x2*(1/x)=x卻是無窮大,而x*(1/x)=1卻是有限的。11.可導與連續是完全不一樣的。有些同學看到題目說某個分段函數在某點xo連續，特別開心，他說易得：左導=右導=f(xo)，你太天真了。其實：連續是說左極限=右極限=f(xo)，可導是：lim(x-xo)f(x)=f(xo)，且左導=右導。請搞清楚你要處理的問題。不要學了一個學期都是云里霧里，當然一學期沒上過一節課的同學，除外。補充：在一元函數微分學中，可導必然連續，連續未必可導(這個顯然嘛，y=|x|在x=0處連續但是不可導)。 12.很多初學者認為：(a到x)f(t)dt中，變量是t，這是錯的，你忽略了變限積分的來歷，自己去回顧一下變限積分的來歷是大有裨益的。記住：這里x是變量，它求導=f(x)。13.還有人問為什么高等數學中分母可以為0，他說比如0/0不是以0為分母，他的錯誤在于沒有搞清楚我們所說的0不是真正的初等數學中的數字0，它表示極限0，由于極限等于0，我們習慣稱為0/0形式。也就是說：若沒有lim這個符號，0/0沒有意義。事實上：再比如：貨真價實的數字1，1無窮 =1，若是(極限1)無窮，則結果待定。高等數學中由于極限的四則運算包括冪指數運算無法解決形如：0/0，1無窮，無窮/無窮，等等7類運算。為此，產生了7種特殊的式子：不定式。由于結果不確定，所以稱之為不定式。綜上：我們現在學的是高等數學，幾乎所有問題都是放在極限這個概念下討論，但是你不能拋棄原有的初等數學知識理論，并且注意區分。 14.求數列極限不可直接使用洛必達，數列是整標函數，每個孤立點不連續，不可導，故不符合洛必達的條件1，為此：正確做法：先令n為x，再使用洛必達，最后換為n.15. 無窮大的倒數是無窮小，無窮小的倒數是無窮大但是請注意：這里的無窮小除去了0。16.x趨向0，limsinx/x=1不可以使用洛必達法則證明，原因：(sinx)=cosx這個公式的證明使用了limsinx/x=1，所以犯了循環論證的錯誤 17.關于洛必達法則的運用條件絕非0/0，無窮/無窮那么簡單。洛必達的3個條件： xa時， lim f(x)=0,lim F(x)=0;在點a的某 去心鄰域 內f(x）與F(x）都可導，且F(x）的 導數 不等于0; xa時， lim( f(x)/F(x) ）存在或為 無窮大則 xa時，lim( f(x) / F(x)=lim( f(x)/F(x) ) ，請注意：1，第三點很容易被忽略，一般地：含有lim(x趨向無窮)sinx，或者cosx，是不會采用洛必達的；2，在解含有抽象函數f(x)時尤其注意第二點，在求最后一步導時我們使用的是導數定義，也就是你不能不停地洛必達直到把它洛出來，因為你不確定它最后一步時是否滿足第二個條件，所以每次做含有抽象函數的題使用洛必達最后一步使用導數定義！3，單側極限對于第二點的要求只是去心鄰域內單側可導。(如果你不注意以上這些，雖然在平常考試時有些老師不在意，但是如果你考研的話是會扣一半分以上的)18.一般地：我們有以下結論：lim(x趨向xo)f(x)=a，則必然有lim(x趨向xo)|f(x)|=|a|。注意：若a不為0，上述結論的逆命題未必成立大多是不成立的，若a=0，上述結論逆命題仍然成立！19.并不是所有二元函數極限都可以使用極坐標求解盡管極坐標是一個好方法。在使用極坐標時，應該同時注意到：和的任意性。比如：(x，y)趨向(0，0)，求lim(xy)/(x y)，容易證明該極限不存在(一條路徑：y=x，另一條：y=x2-x)，倘若使用極坐標，則得：lim(cossin)/(cossin)，此時有分母出現0的可能(取=45度)，因此不確定該極限是否存在，本法失效，或者說：你無法證明(cossin)/(cossin)有界。綜上：倘若使用極坐標，須同時考慮，的任意性，不可盲目使用。20. 注意僅當y=f(x)時有：y=f(x)。若y=f()，不等于x時，y不等于f()。比如：y=f(x2)，y=f(x2)2x，而不是等于f(x2)。下面說明f()和f()的區別：f()表示已知f(x)的表達式，并且把當做x代入，這個過程是代值過程；而f()的意思是求導，至于對誰求導，則根據確定。注意：僅當=x時，f()=f()，即：f(x)=f(x)，其他情況沒有這個式子。綜上：f()=f()。21.一元函數中說f(x)連續可導不是指f(x)既連續又可導，“連續可導”意思是說f(x)的導函數連續。ps：f(x)的導函數連續當然有f(x)既可導又連續，反之不然。22.還有多少人不會三角函數中輔助角的兩個公式：asinx+bcosx=(a2+b2)sin(x+u)，其中u=arctan(b/a)，強制要求a0；asinx+bcosx=(a2+b2)cos(x+u)，其中u=arctan(-a/b)，強制要求b0。 ps：為什么要強制要求？以第一個為例，第二個同理原因在于：我們既然采用了用u=arctanb/a來確定u的值，好處在于u在-派/2，派/2上是一一對應的(因為y=tanx在該范圍內單調)，事實上，u的范圍就是-派/2，派/2，由此我們再來看給出的公式：asinx+bcosx=(a2+b2)sin(x+u)，將右邊展開得：(a2+b2)cosusinx+(a2+b2)sinucosx，根據待定系數原則可得：cosu=a/(a2+b2)，倘若我們不控制a0，比如取a0的話，那么cosu下限。 解答問題1：首先為了滿足單值，不可以取一個形如派，5派/2的區間去對應原來的0，a盡管相對于x盡管相對x=asint來說不存在任何問題，但是你忽略了定積分換元的條件單值，在此區間派，5派/2內x=asint不是單值的意思是：令x=k，解得t不唯一。所以不能取一個區間不滿足單值的。比如：你取一個0，派/2這樣的就是合適的，當然你取派，派/2這個也是對