內江師范學院學年論文目錄摘要1ABSTRACT11引言22公式法23錯項相消法34倒序相加法45通項分析法56待定歸納法67裂項法78. 逐差法89. 組合數法910導數求和法1011數學歸納法1112遞推數列求和法1213無窮遞縮等比數列求和法12小結14參考文獻14致謝1515摘要:初學者對這部分的內容有畏難情緒，以至沒有學好此內容.關于數列求和前人也作過不少文章，但隨著數學的發展，數列求和出現了新題型，數列求和的若干方法不但解決了數列的一般求和也很好的處理了遞推問題.要解決一類問題，數列求和是從它們的本質特點出發，去尋找最一般的方法，從而得出的結論比較具有針對性，可以普遍推廣.本章的內容規律性比較強，只要抓住它們的不同特點，相應的歸類就比較容易地解答.根據數列的不同特點，給出了數列通項與求和的一般形式，很好地解決了數列求和的若干問題，為學好本章起到很大的幫助作用.關鍵詞：數列；前項和；通項公式；遞推求和ABSTRACTSeries summation series are the focus of this chapter , but also difficult . Sometimes such problems is to much trouble , if not impossible to do this , this part of the contents of beginners have fear of difficulty , emotional , and so has failed to learn this content . Summation series about it for a number of previous article , but with the development of math , sum series of new questions have also emerged , a number of series summation of the series will not only solve the general sum is also a very good deal with the delivery pushing problem . One type of problem to solve , a number of series summation are from their nature , characteristics , the go looking for the most general way to compare the conclusions thus targeted to the general promotion . Regularty of the contents of this chapter are relatively strong , as long as they grasp the different characteristics ,the corresponding classification can easily answer . According to the general form , a very good solution to a series summation of a number of issues , in order to learn to play a great help in this chapter .Key words : series ； pre-n and ; formula ; recursive summation1引言 數列是高中代數的重要內容，是學習高等數學的基礎.在高考和各種數學競賽中都占有重要的地位.數列求和是數列的重要內容之一，除了等差數列和等比數列外，大部分求和都需要技巧，下面，就幾個歷屆高考數學來談談數列求和的基本方法和技巧.2公式法對于以下數列可利用公式直接求和.（1）等差數列： （其中：前n項和，：首項，：末項，d：公差，n：項數，下同）（2）等比數列： (3) 自然數的和（4）自然數的平方和（5）自然數的立方和例1 求和分析：由得 ，令=1、2、3、得 把以上各式兩邊相加得： 因此，例2 求和：解：設所求之和為，則，這是公比為的等比數列前項之和.（1）、若即則有（2）、若即則有3錯項相消法如果一個數列的各項是由一個等差數列與一個等比數列對應之積形成，那么此數列可采用錯項相減消法. 例3 求和 解：由原式乘以公比得： 原式與上式相減，得 例4 設求數列、的前項和分析：這個數列的每一項都含有，而=1或不等于1，對數列求和方法上有本質的不同，所以解題時需要進行討論.解：若，若，此時，該數列可以看成等差數列1、2、3與等比數列、的積構成的數列，且公比，在上述等號兩邊同時乘，有兩式相減得所以，從而得4倒序相加法如果一個數列與首末兩項等距的 兩項之和等于兩項之和，可采用正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數列的和.例5 已知為等差數列，求解：令 將上式中各項的次序反過來就得到：上兩式相加的由等差數列性質得：所以得所以例6 求和：解：令將上式中各項的次序反過來，得：上述2式左右兩邊分別相加，并利用，得所以5通項分析法對數列的通項求和或變形，進行分析，從而決定使用哪種方法求和.例7 求數列1，的前項和，（）解：當=1時， 則當時， ，（為偶數）和，（為奇數）可見當|時， ，所以=6待定歸納法解決與自然數有關的某一問題，首先應對結論的代數形式做一個正確推測，并將結論用待定系數設出來，隨之令其滿足數學歸納法的各個步驟，從中得到得到待定系數的方程，求出待定系數，即可使問題得解.例8 求數列，的前項和因為數列它是關于的多項式，與之類似的數列求和問題我們熟悉的有 以上各式中，左端的通項公式及右端的和展開后都是關于的多項式，對其次數進行比較便可得到這樣的結論：若數列的通項公式是關于的多項式，則其前項和是比通項公式高一次的多項式，對本題而言，因為通項公式 是關于的三次多項式，所以我們猜想該數列的前項和是關于的四次多項式，故可設即，時上式均成立，有 即又因為所以比較上兩式同類項系數可得 解方程得 ,故7裂項法顧名思義，裂項法就是把數列的項拆成幾項，然后相加時各項相消，達到求和目的的一種方法.通項分解如： 例9 求數列的前項和分析：該數列的分子是偶數的平方，分母是奇數列相鄰兩項的乘積，用分子湊分母的方法，化簡分式，然后再拆項，有解：+例10 求和解： =8逐差法針對一類高階等差數列求和的問題.某些數列的構成規律不十分明顯.我們可以逐次求出它的各階差數列，如果某一階差數列正好是等差數列或者為等比數列，那么可以利用這些數列的有限和得出原數列的一個通項公式，然后再求出其前項和.例11 求數列的前項和考慮數列的各差數列：原數列：一階差數列：二階差數列：由于二階差數列是等比數列，可用逐差法求數列的通項，然后再求出其前項和.解：設原數列為，一階差數列為，二階差數列為 那么 以上個式子相加，有 因為，所以 又 所以 數列的前項和為 9組合數法 原數列各項可寫成組合數的形式，然后再利用公式求解.例12 求，由知可以利用“組合數法”求和 解 10導數求和法通過對數列的通項進行聯想，合理運用逆向思維，由求導公式，可聯想到它們是另外一個和式的導數.關鍵要抓住數列通項的結構特征.例13 求和：解：當=1時，Sn=1+2+3+ =當1時，兩邊都是關于的函數，求導得（即 11數學歸納法有些題目通過求出的的前項之和，猜想出，然后用數學歸納法證明.例14 設數列的前項之和為，滿足3求解：因為由，3，得3（所以 而所以 3得 同理 求 得推測下面用數學歸納法加以證明（1）、當=1時，結論顯然成立（2）、假設時結論成立，即由題設有知又因為所以 有則時結論亦成立.由（1）（2）知，對于總成立.12遞推數列求和法遞推數列求和是較難的一類，針對這類題，一般先要研究通項公式，而求通項公式又往往是難點，通項求出就可以從本質上去求和，下面介紹地推數列通項的方法.例15 已知數列中求解：要求，首先尋找因 故所以是以2為公比，為首項的等比數列.所以所以 =所以13極限求和當數列為無窮數列，這就是我們高等數學要學的一個重要組成部分級數，那它的和怎么求啦？有些我們可以直接運用公式，有些我們還是可以裂項，然后再求極限.例16 求數列的前項和解：由題設可知此數列為遞縮等比數列，公比，故前項和故 例17 求數列解：因為所以 =所以結束語數列求和問題雖然很難，但我總可以通過找出共同的特點和規律或進行恒等變換得到解決的途徑.以上幾種方法是求數列較適用的方法，是從根本上去認識數列求和.類型較全，公式簡單易懂，對學好數列的求和有很大的幫助.參考文獻 人民教育出版社中學數學室，高一數學上冊.北京人民教育出版社； 瀘海運、付延衛、田春林等.創新方案.北京：中國青年出版社； 葉鋒，淺談數列的求和.成都教育出版社2006.6； 廣冬雁、李居強、劉利琴，數列求和十法.數理化學習（高中版）； 李增旺、宋勝利.名師一號.北京：人民日報出版社；6 劉玉璉、 數學分析講義（下冊）M，北京：高考教育出版社，2003；7陳傳璋，數學分析講義下冊J,北京：高考教育出版社，2004.致謝經過幾個月的奮斗，我的學年論文終于完成了，在此我要感謝我的指導老師曾德強老師，沒有他就沒有我這篇論文的一些思想，沒有他我很多地方的數學思維是不可能有的，他使我的數學水平提過了一個檔次，明白了如何寫數學論文，如何查找文獻等等，也