絕密啟封并使用完畢前2016年普通高等學校招生全國統一考試數學（文）（北京卷）本試卷共5頁，150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題：共8個小題，每小題5分，共40分。在每小題的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1.已知集合，或，則（ ） A. B.或 C. D.或2.復數（ ） A. B. C. D.3.執行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（ ） A. 8 B. 9 C. 27 D. 36 4.下列函數中，在區間 上為減函數的是（ ） A. B. C. D.5.圓的圓心到直線的距離為（ ） A.1 B.2 C. D.26.從甲、乙等5名學生中隨機選出2人，則甲被選中的概率為（ ） A. B. C. D.7.已知，若點在線段上，則的最大值為（ ） A. 1 B. 3 C. 7 D. 8 學生序號12345678910立定跳遠（單位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳繩（單位：次）63a7560637270a1b658.某學校運動會的立定跳遠和30秒跳繩兩個單項比賽分成預賽和決賽兩個階段.下表為10名學生的預賽成績，其中有三個數據模糊.在這10名學生中，進入立定跳遠決賽的有8人，同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則 A.2號學生進入30秒跳繩決賽 B.5號學生進入30秒跳繩決賽 C.8號學生進入30秒跳繩決賽 D.9號學生進入30秒跳繩決賽第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分9.已知向量 ，則a與b夾角的大小為_.10.函數的最大值為_.11.某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為_.12.已知雙曲線 （，）的一條漸近線為，一個焦點為，則_；_.13.在ABC中， ，則=_.14.某網店統計了連續三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種，則該網店:第一天售出但第二天未售出的商品有_種；這三天售出的商品最少有_種.三、解答題（共6題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程）15.（本小題13分）已知是等差數列，是等差數列，且，. （1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和.16.（本小題13分）已知函數的最小正周期為. （1）求的值；（2）求的單調遞增區間.17.（本小題13分）某市民用水擬實行階梯水價，每人用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數據，整理得到如下頻率分布直方圖：（I）如果w為整數，那么根據此次調查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？（II）假設同組中的每個數據用該組區間的右端點值代替，當w=3時，估計該市居民該月的人均水費.18.（本小題14分）如圖，在四棱錐中，平面，（I）求證：；（II）求證：；（III）設點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得平面?說明理由.19. （本小題14分）已知橢圓C：過點A（2,0），B（0,1）兩點. （I）求橢圓C的方程及離心率；（）設P為第三象限內一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值.20.（本小題13分）設函數（I）求曲線在點處的切線方程；（II）設，若函數有三個不同零點，求c的取值范圍；（III）求證：是有三個不同零點的必要而不充分條件.絕密考試結束前 2016年普通高等學校招生全國統一考試數學（文）（北京卷）參考答案1,【答案】C考點： 集合交集【名師點睛】1首先要弄清構成集合的元素是什么(即元素的意義)，是數集還是點集，如集合，三者是不同的 2集合中的元素具有三性確定性、互異性、無序性，特別是互異性，在判斷集合中元素的個數時，以及在含參的集合運算中，常因忽視互異性，疏于檢驗而出錯 3數形結合常使集合間的運算更簡捷、直觀對離散的數集間的運算或抽象集合間的運算，可借助Venn圖實施，對連續的數集間的運算，常利用數軸進行，對點集間的運算，則通過坐標平面內的圖形求解，這在本質上是數形結合思想的體現和運用 4空集是不含任何元素的集合，在未明確說明一個集合非空的情況下，要考慮集合為空集的可能另外，不可忽視空集是任何元素的子集2.【答案】A【解析】試題分析：，故選A.考點：復數運算【名師點睛】復數代數形式的加減乘除運算的法則是進行復數運算的理論依據，加減運算類似于多項式的合并同類項，乘法法則類似于多項式乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式，再將分母實數化3.【答案】B考點： 程序框圖【名師點睛】解決循環結構框圖問題，要先找出控制循環的變量的初值、步長、終值(或控制循環的條件)，然后看循環體，循環次數比較少時，可依次列出，循環次數較多時，可先循環幾次，找出規律，要特別注意最后輸出的是什么，不要出現多一次或少一次循環的錯誤.4.【答案】D【解析】試題分析：由在上單調遞減可知D符合題意，故選D.考點：函數單調性【名師點睛】函數單調性的判斷：(1)常用的方法有：定義法、導數法、圖象法及復合函數法(2)兩個增(減)函數的和仍為增(減)函數；一個增(減)函數與一個減(增)函數的差是增(減)函數；(3)奇函數在關于原點對稱的兩個區間上有相同的單調性，偶函數在關于原點對稱的兩個區間上有相反的單調性.5.【答案】C考點：直線與圓的位置關系【名師點睛】點到直線(即)的距離公式記憶容易，對于知求，很方便.6.【答案】B【解析】試題分析：所求概率為，故選B.考點：古典概型【名師點睛】如果基本事件的個數比較少，可用列舉法把古典概型試驗所含的基本事件一一列舉出來，然后再求出事件A中的基本事件數，利用公式求出事件A的概率，這是一個形象直觀的好方法，但列舉時必須按照某一順序做到不重不漏.如果基本事件個數比較多，列舉有一定困難時，也可借助兩個計數原理及排列組合知識直接計算m，n，再運用公式求概率.7.【答案】C考點： 函數最值【名師點睛】求函數值域的常用方法：單調性法，如(5)；配方法，如(2)；分離常數法，如(1)；數形結合法；換元法(包括代數換元與三角換元)，如(2)，(3)；判別式法，如(4)；不等式法，如(4)，(5)；導數法，主要是針對在某區間內連續可導的函數；圖象法，求分段函數的值域通常先作出函數的圖象，然后由函數的圖象寫出函數的值域，如(6)；對于二元函數的值域問題，如(5)，其解法要針對具體題目的條件而定，有些題目可以將二元函數化為一元函數求值域，有些題目也可用不等式法求值域求函數的值域是個較復雜的問題，它比求函數的定義域難度要大，而單調性法，即根據函數在定義域內的單調性求函數的值域是較為簡單且常用的方法，應重點掌握8.【答案】B【解析】試題分析：將確定成績的30秒跳繩成績的按從大到小的順尋排，分別是3，6，7，10，（1，5并列），4，其中，3，6，7號進了立定跳遠的決賽，10號沒進立定跳遠的決賽，故9號需進30秒跳繩比賽的前8名，此時確定的30秒跳繩比賽決賽的名單為3，6，7，10，9，還需3個編號為1-8的同學進決賽，而（1，5）與4的成績僅相隔1，故只能1，5，4進30秒跳繩的決賽，故選B.考點：統計【名師點睛】本題將統計與實際應用結合，創新味十足，是能力立意的好題，根據表格中數據分析排名的多種可能性，此題即是如此.列舉的關鍵是要有序(有規律)，從而確保不重不漏，另外注意條件中數據的特征.9.【答案】考點：平面向量數量積【名師點睛】由向量數量積的定義(為，的夾角)可知，數量積的值、模的乘積、夾角知二可求一，再考慮到數量積還可以用坐標表示，因此又可以借助坐標進行運算.當然，無論怎樣變化，其本質都是對數量積定義的考查.求解夾角與模的題目在近年高考中出現的頻率很高，應熟練掌握其解法.10.【答案】2【解析】試題分析：，即最大值為2.考點：函數最值,數形結合【名師點睛】求函數值域的常用方法：單調性法，如(5)；配方法，如(2)；分離常數法，如(1)；數形結合法；換元法(包括代數換元與三角換元)，如(2)，(3)；判別式法，如(4)；不等式法，如(4)，(5)；導數法，主要是針對在某區間內連續可導的函數；圖象法，求分段函數的值域通常先作出函數的圖象，然后由函數的圖象寫出函數的值域，如(6)；對于二元函數的值域問題，如(5)，其解法要針對具體題目的條件而定，有些題目可以將二元函數化為一元函數求值域，有些題目也可用不等式法求值域求函數的值域是個較復雜的問題，它比求函數的定義域難度要大，而單調性法，即根據函數在定義域內的單調性求函數的值域是較為簡單且常用的方法，應重點掌握11.【答案】考點：三視圖【名師點睛】解決此類問題的關鍵是根據幾何體的三視圖判斷幾何體的結構特征.常見的有以下幾類：三視圖為三個三角形，對應的幾何體為三棱錐；三視圖為兩個三角形，一個四邊形，對應的幾何體為四棱錐；三視圖為兩個三角形，一個圓，對應的幾何體為圓錐；三視圖為一個三角形，兩個四邊形，對應的幾何體為三棱柱；三視圖為三個四邊形，對應的幾何體為四棱柱；三視圖為兩個四邊形，一個圓，對應的幾何體為圓柱.12.【答案】.【解析】試題分析：依題意有,結合,解得.考點：雙曲線的基本概念【名師點睛】在雙曲線的幾何性質中，漸近線是其獨特的一種性質，也是考查的重點內容.對漸近線：(1)掌握方程；(2)掌握其傾斜角、斜率的求法；(3)會利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數.求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標準方程的應用都和與橢圓有關的問題相類似.因此，雙曲線與橢圓的標準方程可統一為的形式，當，時為橢圓，當時為雙曲線.13.【答案】1考點：解三角形【名師點睛】根據所給等式的結構特點利用余弦定理將角化邊進行變形是迅速解答本題的關鍵熟練運用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用14.【答案】16；29 【解析】試題分析：由于前二天都售出的商品有3種，因此第一天售出的有19-3=16種商品第二天未售出；答案為16同第三售出的商品中有14種第二天未售出，有1種商品第一天未售出，三天總商品種數最少時，是第三天中14種第二天未售出的商品都是第一天售出過的，此時商品總數為29分別用表示第一、二、三天售出的商品，如圖最少時的情形故答案為29考點： 統計分析【名師點睛】本題將統計與實際情況結合，創新味十足，是能力立意的好題，關鍵在于分析商品出售的所有可能的情況，分類討論做到不重復不遺漏，另外，注意數形結合思想的運用.15.【答案】（1）（，）；（2）（II）由（I）知，因此從而數列的前項和考點：等差、等比數列的通項公式和前n項和公式，考查運算能力.【名師點睛】1.數列的通項公式及前n項和公式都可以看作項數n的函數，是函數思想在數列中的應用.數列以通項為綱，數列的問題，最終歸結為對數列通項的研究，而數列的前n項和Sn可視為數列Sn的通項.通項及求和是數列中最基本也是最重要的問題之一；2.數列的綜合問題涉及到的數學思想：函數與方程思想(如：求最值或基本量)、轉化與化歸思想(如：求和或應用)、特殊到一般思想(如：求通項公式)、分類討論思想(如：等比數列求和，或)等.16.【答案】（）（）（）考點：兩角和的正弦公式、周期公式、三角函數的單調性.【名師點睛】三角函數的單調性：1.三角函數單調區間的確定，一般先將函數式化為基本三角函數標準式，然后通過同解變形或利用數形結合方法求解關于復合函數的單調性的求法；2利用三角函數的單調性比較兩個同名三角函數值的大小，必須先看兩角是否同屬于這一函數的同一單調區間內，不屬于的，可先化至同一單調區間內若不是同名三角函數，則應考慮化為同名三角函數或用差值法(例如與0比較，與1比較等)求解17.【答案】（）3；（）10.5元.（II）由用水量的頻率分布直方圖及題意，得居民該月用水費用的數據分組與頻率分布表：組號12345678分組頻率根據題意，該市居民該月的人均水費估計為：（元）考點：頻率分布直方圖求頻率，頻率分布直方圖求平均數的估計值.【名師點睛】1.用樣本估計總體是統計的基本思想，而利用頻率分布表和頻率分布直方圖來估計總體則是用樣本的頻率分布去估計總體分布的兩種主要方法.分布表在數量表示上比較準確，直方圖比較直觀.2.頻率分布表中的頻數之和等于樣本容量，各組中的頻率之和等于1；在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應各組的頻率，所以，所有小長方形的面積的和等于1.18.【答案】（）見解析；（）見解析；（III）存在.理由見解析.（III）棱上存在點，使得平面證明如下：取中點，連結，又因為為的中點，所以又因為平面，所以平面考點：空間垂直判定與性質；空間想象能力，推理論證能力【名師點睛】平面與平面垂直的性質的應用：當兩個平面垂直時，常作的輔助線是在其中一個面內作交線的垂線，把面面垂直轉化為線面垂直，進而可以證明線線垂直(必要時可以通過平面幾何的知識證明垂直關系)，構造(尋找)二面角的平面角或得到點到面的距離等.19.【答案】（）；（）見解析.所以離心率從而四邊形的面積為定值考點：橢圓方程，直線和橢圓的關系，運算求解能力.【名師點睛】解決定值定點方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點、定值、定線，再證明定點、定值、定線與變量無關；(2)直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定點、定值、定線.應注意到繁難的代數運算是此類問題的