對數與對數函數專題復習對數與對數函數專題復習 知識點梳理知識點梳理 一 對數的概念一 對數的概念 1 對數的定義 對數的定義 如果 01 x aN aa 且 那么數x叫做以a為底 N的對數 記作 其中a叫做對數Nx a log 的底數 N叫做真數 2 幾種常見對數 幾種常見對數 對數形式對數形式特點特點記法記法 一般對數底數為a 0 1aa 且 N a log 常用對數底數為 10lg N 自然對數底數為 eln N 3 對數的性質與運算法則 對數的性質與運算法則 1 對數的性質 0 1aa 且 loga1 0 loga a 1 N logaN aNa N a log 2 對數的重要公式 換底公式 均為大于 0 且不等于 1 b N N a a b log log log ba 0 N 推廣 a b b a log 1 log ddcb acba loglogloglog 3 對數的運算法則 如果0 1aa 且 0 0MN 那么 M a log NM a logN a log N M a logM a logN a log n aM logn M a log Rn M m M a am log 1 log b m n b a n am loglog 二 對數函數二 對數函數 1 對數函數的定義 對數函數的定義 一般地 我們把函數 0 且 1 叫做對數函數 其中是自變量 logayx aax 函數的定義域是 0 2 對數函數 對數函數 y logax a 0 且且 a 1 的圖象與性質 的圖象與性質 1a 01a 圖象 定義域 定義域 0 值域 值域 R 過定點過定點 1 0 即當 x 1 時 y 0 當01x 時 0 y 當1x 時 0 y 當1x 時 0 y 當01x 時 0 y 性質 在 在 0 上為增函數 上為增函數 在 在 0 上為減函數 上為減函數 3 反函數 反函數 1 反函數 一般地 對于函數 設它的定義域為 值域為 如果對中任意一個值 xfy DAAy 在中總是唯一確定的值與它對應 且滿足 這樣得到的關于的函數叫做Dx xfy xy 的反函數 記作 xfy xfy 1 2 反函數的求法 反解 與對調 求定義域 xxy 3 反函數的性質 原函數的定義域是反函數的值域 原函數的值域是反函數的定義域 若函數 yf x 的圖象經過點 a b 則其反函數的圖象經過點 b a 互為反函數的兩個函數的圖象關于直線 y x 對稱 對稱性 一個函數與它的反函數在相應區間上單調性一致 單調性 4 同底的指數函數和對數函數互為反函數 典型例題典型例題 題型一 對數運算題型一 對數運算 例題例題 1 計算下列各式的值 1 245lg8lg 3 4 49 32 lg 2 1 2 22 2 lg20lg5lg8lg 3 2 5lg 解析 1 方法一 原式 2 1 2 2 3 25 57lg 2lg 3 4 7lg2 lg 2 1 5lg 2 1 7lg2lg27lg2lg 2 5 5lg 2 1 2lg 2 1 2 1 5lg2 lg 2 1 方法二 原式 57lg4lg 7 24 lg 47 5724 lg 2 1 52lg 2 原式 2lg5 2lg2 lg5 2lg2 lg5 lg2 2 2lg10 lg5 lg2 2 2 lg10 2 2 1 3 點評 這類問題一般有兩種處理方法 一種是將式中真數的積 商 方根運用對數的運算法則將它們化 為對數的和 差 積 商 然后化簡求值 另一種方法是將式中的對數的和 差 積 商運用對數的運算 法則將它們化為真數的積 商 冪 方根 然后化簡求值 計算對數的值時常用到 lg2 lg5 lg10 1 變式變式 1 計算 2 3 lg5 lg8000lg2 11 lg600lg0 036lg0 1 22 解析 分子 2 2 3 lg5 lg8000lg2 lg5 3 3lg2 3 lg23lg53lg2 lg5lg2 3 分母 113616 lg600lg0 036lg0 1 2 lg6lg2 lg6lg4 22100010100 所以 原式 3 4 題型二 對數函數的性質題型二 對數函數的性質 例題例題 2 求函數 416 log 1 x x y 的定義域 解析 由 11 01 0416 x x x 得 0 1 2 x x x 所求函數定義域為 x 1 x 0 或 0 x 2 點評 求與對數函數有關的定義域問題 首先要考慮真數大于零 底數大于零且不等于 1 例題例題 3 判斷函數 f x ln 2 1x x 的奇偶性 解析 1 2 x x 恒成立 故 x 的定義域為 又 f x ln 2 1x x ln xx 2 1 1 ln 222 2 1 1 xx xx ln 2 1x x f x f x 為奇函數 點評 在根據函數的單調性的定義判斷函數單調性的時候 首先應該根據函數的解析式確定函數的定義 域 當所給函數的定義域關于原點對稱時 再判斷 f x 和 f x 之間的關系 f x 為奇函數 f x f x f x f x 0 xf xf 1 f x 0 f x 為偶函數 f x f x f x f x 0 xf xf 1 f x 0 在解決具體問題時 可以根據函數解析式的具體特點選擇不同的方式來判斷 例題例題 4 比較下列各組數的大小 1 log0 7 1 3 和 log0 71 8 2 log35 和 log64 3 lgn 1 7和 lgn 2 n 1 解析 1 對數函數 y log0 7x 在 0 內是減函數 因為 1 3 1 8 所以 log0 71 3 log0 71 8 2 log35 和 log64 的底數和真數都不相同 需找出中間量 搭橋 再利用對數函數的單調性即可求 解 因為 log35 log33 1 log66 log64 所以 log35 log64 3 把 lgn 看作指數函數的底 本題歸為比較兩個指數函數的函數值的大小 故需對底數 lgn 討論 若 1 lgn 0 即 1 n 10 時 y lgn x在 R 上是減函數 所以 lgn 1 7 lgn 2 若 lgn 1 即 n 10 時 y lgn x在 R 上是增函數 所以 lgn 1 7 lgn 2 若 lgn 1 即 n 10 時 lgn 1 7 lgn 2 點評 兩個值比較大小 如果是同一函數的函數值 則可以利用函數的單調性來比較 在比較時 一定 要注意底數所在范圍對單調性的影響 即 a 1 時是增函數 0 a 1 時是減函數 如果不是同一個函數的 函數值 就可以對所涉及的值進行變換 盡量化為可比較的形式 必要時還可以 搭橋 找一個與二者 有關聯的第三量 以二者與第三量 一般是 1 0 1 的關系 來判斷二者的關系 另外 還可利用函數 圖象直觀判斷 比較大小方法靈活多樣 是對數學能力的極好訓練 變式變式 2 2010 重慶四月模擬 函數的定義域是 1 1 lg 2 yx x A B C D 12 14 12 12 解析 由題意得 解得 選 A 10 20 lg 20 x x x 12x 變式變式 3 設 a log0 70 8 b log1 10 9 c 1 10 9 則 a b c 的大小順序是 A a b c B b c a C b a c D c b a 解析 因為 0 a log0 70 8 log0 70 7 1 b log1 10 91 10 1 所以選 C 變式變式 4 求函數 y log4 7 6 x x2 的單調區間和值域 分析 考慮函數的定義域 依據單調性的定義確定函數的單調區間 同時利用二次函數的基本理論求得 函數的值域 解析 由 7 6 x x2 0 得 x 7 x 1 0 解得 1 x 7 函數的定義域為 x 1 x 7 設 g x 7 6x x2 x 3 2 16 可知 x 3 時 g x 為增函數 x 3 時 g x 為減函數 因此 若 1 x1 x2 3 則 g x1 g x2 即 7 6x1 x12 7 6x2 x22 而 y log4x 為增函數 log4 7 6 x1 x12 log4 7 6x2 x22 即 y1 y2 故函數 y log4 7 6x x2 的單調增區間為 1 3 同理可知函數 y log4 7 6x x2 的單調減區間為 3 7 又 g x x 3 2 16 在 1 7 上的值域為 0 16 所以函數 y log4 7 6x x2 的值域為 2 點評 函數的單調區間必須使函數有意義 因此求函數的單調區間時 必先求其定義域 然后在定義域 內劃分單調區間 求函數最值與求函數的值域方法是相同的 應用函數的單調性是常用方法之一 例題例題 5 根據對數函數圖象判斷底數的大小關系 a b c d 解析 log1 aa 直線與各函數圖象交點的橫坐標為底數值 1y 故 cdab 點評 利用 可以有效的解決對數函數底數大小的比較問題 由上述結果可知 對數函數底數log1 aa 越小 圖象在第一象限越靠近 y 軸 題型三 反函數題型三 反函數 例題例題 6 2009 廣東 若函數 yf x 是函數1 x yaaa 0 且 的反函數 且 2 1f 則 f x A x 2 log B x 2 1 C x 2 1 log D 2 2 x 解析 函數1 x yaaa 0 且 的反函數是 logaf xx 又 2 1f 即log 21 a 所以2a 故 2 logf xx 選 A 點評 利用同底的指數函數與對數函數互為反函數 c da b 1 logbx logax logdx logcx 1 o x y 題型四 對數方程與不等式題型四 對數方程與不等式 例題例題 7 的解為 22 log 1 2log 1 xx 解析 原方程變形為 2 1 log 1 log 1 log 2 222 xxx 即 得 41 2 x5 x 01 01 x x 1 xx 5 點評 考察對數運算 注意驗根 使對數式有意義 變式變式 5 解關于 x 的不等式 1 0 2log 12 log 34 log 2 aaxxx aaa 解析 原不等式可化為 12 2log 34 log 2 xxx aa 當 a 1 時 有 2 2 1 23 41 2 1 12 234 034 012 2 2 x x x x xxx xx x 當 0 a1 時不等式的解集為 2 2 1 x 當 0 a 1 時不等式的解集為 42 x 點評 利用對數函數單調性解不等式 注意定義域和底數的討論 題型五 對數函數圖象和性質綜合問題題型五 對數函數圖象和性質綜合問題 例題例題 8 已知函數 y loga 1 ax a 0 a 1 1 求函數的定義域與值域 2 求函數的單調區間 3 證明函數圖象關于 y x 對稱 解析 1 1 ax 0 即 ax 1 a 1 時 定義域為 0 0 a 1 時 定義域為 0 令 t 1 ax 則 0 t 1 而 y loga 1 ax logat a 1 時 值域為 0 0 a 1 時 值域為 0 2 a 1 時 t 1 ax在 0 上單調遞減 y logat 關于 t 單調遞增 y loga 1 ax 在 0 上單調遞減 0 a 1 時 t 1 ax在 0 上單調遞增 而 y logat 關于 t 單調遞減 y loga 1 ax 在 0 上單調遞減 3 y loga 1 ax ay 1 ax ax 1 ay x loga 1 ay 反函數為 y loga 1 ax 即原函數的反函數就是自身 函數圖象關于 y x 對稱 點評 有關于對數函數的定義域要注意真數大于 0 函數的值域取決于 1 ax的范圍 可應用換元法 令 t 1 ax以減小思維難度 運用復合函數單調性的判定法求單調區間 函數圖象關于 y x 對稱等價于原函數的反函數就是自身 本題要注意對字母參數 a 的范圍討論 方法與技巧總結方法與技巧總結 1 對數運算法則的綜合運用 應掌握變形技巧 1 各部分變形要化到最簡形式 同時注意分子 分母 的聯系 2 要避免錯用對數運算性質 2 求對數函數的定義域 值域 單調區間 及奇偶性的判定都依賴于定義法 數形結合及函數本身的性 質 應熟練掌握對數函數的相關性質 3 對數式方程和不等式常用解法 1 形如 轉化為 loglog 0 1 aa f xg xaa 0 0 f x g x f xg x 2 對于 則 loglog 0 1 aa f xg xaa 當時 得 當時 得 1a 0 0 f x g x f xg x 10 a 0 0 f x g x f xg x 3 形如或的方程或不等式 一般用換元法求解 log 0 a Fx log 0 log 0 aa FxFx 4 形如的方程化為求解 對于的形式可以考慮利用 logf xg xc c f xg x logf xg xc 對數函數的單調性來解決 題庫題目僅供選擇使用 鞏固練習鞏固練習 1 2012 肇慶高三上學期期末 函數的定義域是 1 ln 1 21 x f xx A B C D 0 1 0 1 0 1 1 2 已知yxmyx 22 loglog 10 則有 A 0 m B 10 m C 21 m D 2 m 3 2010 北京海淀區第二學期期中 在同一坐標系中畫出函數的圖像 可能log x a yx yayxa 正確的是 4 2010 遼寧 設25 ab m 且 11 2 ab 則m A 10 B 10 C 20 D 100 5 函數 2 ln 45 yxx 的單調遞減區間為 6 1 已知 lg2 0 3010 lg3 0 4771 求 lg45 2 設 logax m logay n 用 m n 表示 log 3 4 4 y x a a 3 已知 lgx 2lga 3lgb 5lgc 求 x 7 求函數 y log2 x 的定義域 并畫出它的圖象 8 比較下列各組數中兩個值的大小 1 log23 4 log23 8 2 log0 51 8 log0 52 1 3 loga5 1 loga5 9 4 log75 log67 9 設 A B 是函數 y log2x 圖象上兩點 其橫坐標分別為 a 和 a 4 直線 l x a 2 與函數 y log2x 圖象交 于點 C 與直線 AB 交于點 D 1 求點 D 的坐標 2 當 ABC 的面積大于 1 時 求實數 a 的取值范圍 10 已知函數 1 1 1lg 22 xaxaxf 1 若的定義域為 求實數的取值范圍 xfRa 2 若的值域為 求實數的取值范圍 xfRa 課后作業課后作業 1 已知函數 那么 的值為 0 log 0 3 2 xx x xf x 4 1 ff A 9 B C D 9 1 9 9 1 2 已知 0 x y a 1 則有 A loga xy 0 B 0 loga xy 1 C 1 loga xy 2 3 若定義在 1 0 內的函數 則 a 的取值范圍是 0 1 log 2 xxf a A B C D 2 1 0 2 1 0 2 1 0 4 若函數在 R 上為增函數 則 a 的取值范圍是 x ay log 2 1 A B C D 2 1 0 1 2 1 2 1 1 5 已知 則的大小關系是 0 11 3 2 log 0 3 2 0 2abc a b c A B C D abc cab acb bca 6 若 則 13 1 ln2lnlnxeaxbxcx A a b c B c a b C b a c D b c1 則 a 的取值范圍是 2x A 或 B 或 2 1 0 a21 a1 2 1 a21 a C D 或21 a 2 1 0 a2 a 2 2010 山東 函數 2 log31 x f x 的值域為 A 0 B 0 C 1 D 1 3 已知且 下列四組函數中表示相等函數的是 0 a1 a A B 1 loglog ayxy xa 與xyay x a 與 log C D x aa yxy 2 log2 與xyxy aa log2log 2 與 4 2011 高州三中高三上期末 已知是 上的減函數 那么a的取 1 log 1 4 12 xx xaxa xf a 值范圍是 A 1 0 B 1 0 2 C 1 1 6 2 D 1 1 6 5 函數的單調遞增區間是 1log2log2 2 1 2 2 1 xxy A B C D 2 2 2 2 4 1 4 1 6 已知定義在 R 上的偶函數在上是增函數 且 則滿足的的取值范圍 00 3 1 f0log 8 1 xfx 是 A B C D 0 2 2 1 0 2 2 1 8 1 0 2 1 0 7 2012 重慶 設函數 2 43 32 x f xxxg x 集合 0 MxR f g x 2 NxR g x 則MN 為 A 1 B 0 1 C 1 1 D 1 8 2012 江蘇 函數xxf 6 log21 的定義域為 9 2008 山東 已知 則的值等于 2 3 4 log 3233 x fx 8 2 4 8 2 ffff 10 已知 f logax 1 1 2 2 ax xa 其中 a 0 且 a 1 1 求 xf 2 求證 是奇函數 xf 3 求證 在 R 上為增函數 xf 11 已知函數 lg 10 xx f xabab 1 求的定義域 f x 2 在函數的圖象上是否存在不同的兩點 使過這兩點的直線平行于軸 f xx 3 當滿足什么條件時 在上恒取正值 a b f x 1 12 現有兩個函數 3 log 1 axxf a 與 ax xf a 1 log 2 其中1 0 aa 1 求函數 1 xfxF 2 xf 的表達式與定義域 2 給出如下定義 對于在區間 nm 上有意義的兩個函數 xf與 xg 如果對任意 nmx 有1 xgxf 則稱 xf與 xg在區間 nm 上是接近的 否則稱 xf與 xg在區間 nm 上是 非接近的 若10 a 試討論 1 xf與 2 xf在給定區間 3 2 aa上是否是接近的 參考答案參考答案 1 鞏固練習答案 鞏固練習答案 1 選 B 由 101 1 0210 x xx x x 2 A 3 選 D 依題意 a 0 且 a 1 對于 A D 圖 由對數及指數函數圖像知 a 1 此時直線 y x a 在 y 軸上 的截距大于 1 因此 A 錯 D 對 選擇 D 4 選 A 2 11 log 2log 5log 102 10 mmm m ab 又0 10 mm 5 2 5 注意定義域 6 解析 1 1190 lg45lg45lg 222 1 lg9lg10lg2 2 1 2lg3 1 lg2 2 2lg 2 1 2 1 3lg0 4771 0 5 0 1505 0 8266 2 4 3 4 log a x a y 111 3412 logloglog aaa axy 12 1 3 1 4 1 log 12 1 log 3 1 4 1 mnyx aa 3 由已知得 5 32 532 lglglglglg c ba cbax 5 32 c ba x 7 解析 函數的定義域為 x x 0 x R 函數解析式可化為 y 0 log 0 log 2 2 xx xx 其圖象如圖所示 其特征是關于 y 軸對稱 8 解析 1 對數函數 y log2x 在 0 上是增函數 且 3 4 3 8 于是 log23 4 log23 8 2 對數函數 y log0 5x 在 0 上是減函數 且 1 8 2 1 于是 log0 51 8 log0 52 1 3 當 a 1 時 對數函數 y logax 在 0 上是增函數 于是 loga5 1 loga5 9 當 0 a 1 時 對數函數 y logax 在 0 上是減函數 于是 loga5 1 loga5 9 4 因為函數 y log7x 和函數 y log6x 都是定義域上的增函數 所以 log75 log77 1 log66 log67 所以 log75 log67 9 解析 1 易知 D 為線段 AB 的中點 因 A a log2a B a 4 log2 a 4 所以由中點公式得 D a 2 log2 4 aa 2 S ABC S梯形 AA CC S 梯形 CC B B S 梯形 AA B B log2 4 2 2 aa a 其中 A B C 為 A B C 在 x 軸上的射影 由 S ABC log2 4 2 2 aa a 1 得 0 a 22 2 10 解析 1 或 2 1 a 3 5 a 3 5 1 a 依題意對一切恒成立01 1 1 22 xaxaRx 當時 必須有 即或01 2 a 0 1 4 1 01 22 2 aa a 1 a 3 5 a 當時 當時 滿足題意 當時不合題意01 2 a1 a1 a0 xf1 a 故或 1 a 3 5 a 依題意 只要能取到的任何值 則的值域為 1 1 1 22 xaxat 0 xfR 故有 即 0 1 4 1 01 22 2 aa a 3 5 1 a 當時 當時 符合題意 當時 不合題意01 2 a1 a1 a12 xt1 a 0 1 2 x y 2 1 故 3 5 1 a 2 課后作業答案 課后作業答案 1 選 B 9 1 3 2 4 1 2 4 1 log 4 1 2 2 ffff 2 選 D 0 x y a1 2x 當 0 1 時 函數 y logax 在上總有 y1 即 1 a 2x212log a a 20 解析 由 可得 211 2 1 aa或 2 選 A 3 選 C 定義域均為 Rxa x a 2log 2 4 選 C 5 選 A 6 選 B 7 選 D 由 0f g x 得 2 4 30gxg x 則 1g x 或 3g x 即321 x 或323 x 所以1x 或 3 log 5x 由 2g x 得322 x 即34 x 所以 3 log 4x 故 1 MN 8 0 6 由1 266 00 0 6 1 12log0log 6 6 2 0 x x x xx x 9 2008 22 3 4 log 32334log 3233 xx fx 2 4log233 f xx 8 2 4 8 2 ffff 1864 144 2008 10 解析 利用換元法 可令 t logax 求出 f x 從而求出 f x 證明奇函數及增函數可運用定義 1 解 設 t logax 則 t R x at x 0 則 f t 1 1 2 2 aa aa t t 1 2 a a at a t 2 證明 f x 1 2 a a a x ax 1 2 a a ax a x f x f x 為奇函數 3 證明 設 x1 x2 R 且 x1 x2 則 f x2 f x1 1 2 a a a 2 x a 2 x a 1 x a 1 x