第2講橢圓 雙曲線 拋物線 考情分析 總綱目錄 1 圓錐曲線的定義 1 橢圓 pf1 pf2 2a 2a f1f2 2 雙曲線 pf1 pf2 2a 2a f1f2 3 拋物線 pf pm 點f不在直線l上 pm l于m 第1課時圓錐曲線的定義 方程與性質考點一圓錐曲線的定義及標準方程 2 圓錐曲線的標準方程 1 橢圓的標準方程為 1 其中a b 0 2 雙曲線的標準方程為 1 其中a 0 b 0 3 拋物線的標準方程為x2 2py y2 2px 其中p 0 典型例題 1 2017河南鄭州質量預測 三 橢圓 1的左焦點為f 直線x a與橢圓相交于點m n 當 fmn的周長最大時 fmn的面積是 a b c d 2 2017課標全國 5 5分 已知f是雙曲線c x2 1的右焦點 p是c上一點 且pf與x軸垂直 點a的坐標是 1 3 則 apf的面積為 a b c d 解析 1 設橢圓的右焦點為e 由橢圓的定義知 fmn的周長為l mn mf nf mn 2 me 2 ne 因為 me ne mn 所以 mn me ne 0 當直線mn過點e時取等號 所以l 4 mn me ne 4 即直線x a過橢圓的右焦點e時 fmn的周長最大 此時s fmn mn ef 2 故選c 2 易知f 2 0 不妨取p點在x軸上方 如圖 3 已知f是拋物線c y2 8x的焦點 m是c上一點 fm的延長線交y軸于點n 若m為fn的中點 則 fn 答案 1 c 2 d 3 6 pf x軸 p 2 3 pf 3 又a 1 3 ap 1 ap pf s apf 3 1 故選d 3 如圖 過m n分別作拋物線準線的垂線 垂足分別為m1 n1 設拋物線的準線與x軸的交點為f1 則 nn1 of1 2 ff1 4 因為m為fn的中點 所以 mm1 3 由拋物線的定義知 fm mm1 3 從而 fn 2 fm 6 方法歸納求解圓錐曲線標準方程的方法是 先定型 后計算 1 定型 就是指定類型 也就是確定圓錐曲線的焦點位置 從而設出標準方程 2 計算 即利用待定系數法求出方程中的a2 b2或p 另外 當焦點位置無法確定時 拋物線常設為y2 2ax或x2 2ay a 0 橢圓常設為mx2 ny2 1 m 0 n 0 且m n 雙曲線常設為mx2 ny2 1 mn 0 跟蹤集訓1 2017遼寧沈陽質量檢測 二 已知雙曲線c 1 a 0 b 0 的左 右焦點分別為f1 f2 點m與雙曲線c的焦點不重合 點m關于f1 f2的對稱點分別為a b 線段mn的中點在雙曲線的右支上 若 an bn 12 則a a 3b 4c 5d 6 答案a如圖 設mn的中點為p f1為ma的中點 f2為mb的中點 an 2 pf1 bn 2 pf2 又 an bn 12 pf1 pf2 6 2a a 3 故選a 2 2017課標全國 12 5分 過拋物線c y2 4x的焦點f 且斜率為的直線交c于點m m在x軸的上方 l為c的準線 點n在l上且mn l 則m到直線nf的距離為 a b 2c 2d 3 答案c因為直線mf的斜率為 所以直線mf的傾斜角為60 則 fmn 60 由拋物線的定義得 mf mn 所以 mnf為等邊三角形 過f作fh mn 垂足為h 易知f 1 0 l的方程為x 1 所以 of 1 nh 2 所以 mf 2 即 mf 4 所以m到直線nf的距離d fh mf sin60 4 2 故選c 考點二圓錐曲線的幾何性質 高頻考點 命題點 1 求橢圓 雙曲線的離心率或離心率的范圍 2 由圓錐曲線的性質求圓錐曲線的標準方程 3 求雙曲線的漸近線方程 1 橢圓 雙曲線中 a b c之間的關系 1 在橢圓中 a2 b2 c2 離心率為e 2 在雙曲線中 c2 a2 b2 離心率為e 2 雙曲線 1 a 0 b 0 的漸近線方程為y x 典型例題 1 2017課標全國 12 5分 設a b是橢圓c 1長軸的兩個端點 若c上存在點m滿足 amb 120 則m的取值范圍是 a 0 1 9 b 0 9 c 0 1 4 d 0 4 2 2017四川成都第二次診斷性檢測 設雙曲線c 1 a 0 b 0 的左 右焦點分別為f1 f2 以f1f2為直徑的圓與雙曲線左支的一個交點為p 若以of1 o為坐標原點 為直徑的圓與pf2相切 則雙曲線c的離心率為 a b c d 答案 1 a 2 d 解析 1 當03時 橢圓c的長軸在y軸上 如圖 2 a 0 b 0 m 0 圖 2 當點m運動到短軸的端點時 amb取最大值 此時 amb 120 則 oa 3 即 3 即m 9 綜上 m 0 1 9 故選a 2 如圖 在圓o中 f1f2為直徑 p是圓o上一點 所以pf1 pf2 設以of1為 直徑的圓的圓心為m 且圓m與直線pf2相切于點q 則m mq pf2 所以pf1 mq 所以 即 可得 pf1 所以 pf2 2a 又 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 所以 4c2 即7e2 6e 9 0 解得e 或e 舍去 故選d 圓錐曲線幾何性質的應用 1 分析圓錐曲線中a b c e各量之間的關系是求解問題的關鍵 2 確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍 其關鍵就是建立一個關于a b c的方程 組 或不等式 組 再根據a b c的關系消掉b得到a c的關系式 建立關于a b c的方程 組 或不等式 組 要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質 方法歸納 跟蹤集訓1 2016課標全國 5 5分 直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點 若橢圓中心到l的距離為其短軸長的 則該橢圓的離心率為 a b c d 答案b如圖 ob 為橢圓中心到l的距離 則 oa of af ob 即bc a 所以e 故選b 2 2017湖南長沙模擬 a是拋物線y2 2px p 0 上一點 f是拋物線的焦點 o為坐標原點 當 af 4時 ofa 120 則拋物線的準線方程是 a x 1b y 1c x 2d y 2 答案a過a向準線作垂線 設垂足為b 準線與x軸的交點為d 連接bf 因為 ofa 120 所以 abf為等邊三角形 dbf 30 從而p df 2 因此拋物線的準線方程為x 1 選a 3 2017湖南五市十校聯考 已知f1 f2分別是雙曲線e 1 a 0 b 0 的左 右焦點 過點f1且與x軸垂直的直線與雙曲線左支交于點m n 已知 mf2n是等腰直角三角形 則雙曲線的離心率是 a b 2c 1 d 2 答案c由已知得 2c 則c2 2ac a2 0 所以e2 2e 1 0 解得e 1 又e 1 所以e 1 故選c 考點三直線與圓錐曲線1 判斷直線與圓錐曲線公共點的個數或求交點問題的兩種常用方法 1 代數法 即聯立直線與圓錐曲線方程可得到一個關于x y的方程組 消去y 或x 得一元方程 此方程根的個數即為交點個數 方程組的解即為交點坐標 2 幾何法 即畫出直線與圓錐曲線 根據圖形判斷公共點個數 2 弦長公式斜率為k的直線l與圓錐曲線c的兩交點為p x1 y1 q x2 y2 則 pq x1 x2 或 pq y1 y2 k 0 3 弦的中點圓錐曲線c f x y 0的弦為pq 若p x1 y1 q x2 y2 中點m x0 y0 則x1 x2 2x0 y1 y2 2y0 典型例題 2016課標全國 20 12分 在直角坐標系xoy中 直線l y t t 0 交y軸于點m 交拋物線c y2 2px p 0 于點p m關于點p的對稱點為n 連接on并延長交c于點h 1 求 2 除h以外 直線mh與c是否有其他公共點 說明理由 解析 1 由已知得m 0 t p 又n為m關于點p的對稱點 故n on的方程為y x 代入y2 2px整理得px2 2t2x 0 解得x1 0 x2 因此h 所以n為oh的中點 即 2 2 直線mh與c除h以外沒有其他公共點 理由如下 直線mh的方程為y t x 即x y t 代入y2 2px得y2 4ty 4t2 0 解得y1 y2 2t 即直線mh與c只有一個公共點 所以除h以外直線mh與c沒有其他公共點 解決直線與圓錐曲線位置關系問題的步驟 1 設方程及點的坐標 2 聯立直線方程與曲線方程得方程組 消元得方程 注意二次項系數是否為零 3 應用根與系數的關系及判別式 4 結合已知條件 中點坐標公式 斜率公式及弦長公式求解 方法歸納 跟蹤集訓1 過點m 1 1 作斜率為 的直線與橢圓c 1 a b 0 相交于a b兩點 若m是線段ab的中點 則橢圓c的離心率等于 a b c d 答案b設a x1 y1 b x2 y2 則 1 1 兩式相減并整理得 把已知條件代入上式得 故橢圓的離心率e 2 2017課標全國 20 12分 設a b為曲線c y 上兩點 a與b的橫坐標之和為4 1 求直線ab的斜率 2 設m為曲線c上一點 c在m處的切線與直線ab平行 且am bm 求直線ab的方程 解析 1 設a x1 y1 b x2 y2 則x1 x2 y1 y2 x1 x2 4 于是直線ab的斜率k 1 2 由y 得y 設m x3 y3 由題設知 1 解得x3 2 于是m 2 1 設直線ab的方程為y x m 故線段ab的中點為n 2 2 m mn m 1 將y x m代入y 得x2 4x 4m 0 當 16 m 1 0 即m 1時 x1 2 2 2 從而 ab x1 x2 4 由題設知 ab 2 mn 即4 2 m 1 解得m 7 所以直線ab的方程為y x 7 1 2017江西南昌第二次模擬 若雙曲線 1 a 0 b 0 的一條漸近線的傾斜角為30 則其離心率為 a 2b 2c d 隨堂檢測 答案c依題意可得雙曲線的漸近線方程為y x tan30 故 離心率e 選c 2 已知橢圓c 1 a b 0 的左 右焦點分別為f1 f2 離心率為 過f2的直線l交c于a b兩點 若 af1b的周長為4 則c的方程為 a 1b y2 1c 1d 1 答案a由e 得 由 af1b的周長為4 及橢圓定義 得4a 4 得a 代入 得c 1 所以b2 a2 c2 2 故c的方程為 1 3 已知雙曲線 x2 1的兩條漸近線分別與拋物線y2 2px p 0 的準線交于a b兩點 o為坐標原點 若 oab的面積為1 則p的值為 4 2017山西太原模擬 已知拋物線y2 4x的焦點為f 過焦點f的直線交該拋物線