Vol.32 No.2 Journal of Kaifeng Institute of Education Jun.20 2012 doi:10.3969/j.issn.1008-9640.2012.02.039數(shù)學(xué)知識在若干金融問題中的應(yīng)用孫蓓（開封市教育局基礎(chǔ)教育教研室 ，河 南 開 封 475000）摘 要：金融數(shù)學(xué)是運用數(shù)學(xué)理論和方法，研究金融運行規(guī)律的一門新興邊緣學(xué)科 。 本文對金融數(shù)學(xué)的基本概念、產(chǎn)生發(fā)展的歷史做了簡要闡述。 重點論述支撐金融數(shù)學(xué)的主要理論框架 ，以及數(shù)學(xué)知識在金融問 題中的應(yīng)用，在此基礎(chǔ)上分析目前存在的問題，并對金融數(shù)學(xué)的未來進行展望。關(guān)鍵詞：金融數(shù)學(xué)；證券投資組合；資產(chǎn)定價；期權(quán)定價中圖分類號：O22文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-9640（2012）02-0113-03引言從事金融數(shù)學(xué)一定要受過金融方面正規(guī)的學(xué)術(shù)性訓(xùn)練。 盡管金融學(xué)由于自身的獨特性而從經(jīng)濟學(xué)中獨 立出來， 但它畢竟是作為經(jīng)濟學(xué)的應(yīng)用分支學(xué)科發(fā) 展起來的， 因此金融數(shù)學(xué)也以經(jīng)濟原理和技術(shù)為基 礎(chǔ)和背景。 金融數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)當(dāng)然還包括現(xiàn)代數(shù) 學(xué)理論和統(tǒng)計學(xué)理論， 其重要內(nèi)容是數(shù)學(xué)或統(tǒng)計建 模， 也就是從復(fù)雜的金融環(huán)境中篩選出關(guān)鍵因素以 分辨出相關(guān)因素與無關(guān)因素， 然后從一系列的假設(shè) 條件出發(fā)，推導(dǎo)出各種關(guān)系，最后得出結(jié)論并給予解 釋。 可見，金融數(shù)學(xué)是金融學(xué)、數(shù)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、經(jīng)濟學(xué) 等的交叉學(xué)科，屬于應(yīng)用科學(xué)。2 金融數(shù)學(xué)的理論框架金融數(shù)學(xué)作為一門邊緣學(xué)科， 其最顯著的特征 就是有效地運用數(shù)學(xué)方法發(fā)現(xiàn)和論證金融經(jīng)濟運行 的一些規(guī)律。 具體來講， 金融數(shù)學(xué)主要運用隨機分 析 、隨 機 控 制 、數(shù) 學(xué) 規(guī) 劃 、微 分 對 策 、非 線 性 分 析 、數(shù) 理統(tǒng)計、泛函分析、鞅理論、倒向隨機微分方程 、分形 幾何等現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具 研究以下幾個主要方面的問 題：（1）如何組合投資證券能獲得最大收益或者減少 投資風(fēng)險；（2）不完備金融市場有價證券（如期貨、期權(quán)等衍生工具） 的資本資產(chǎn)定價模型及最優(yōu)投資和消費理論；（3）利率的期限結(jié)構(gòu)和利率衍生產(chǎn)品的定 價理論等；（4）不完備金融市場的風(fēng)險管理和風(fēng)險控 制理論。也有人在證券價格分析中引進了新型的非線性 分析工具，如分形幾何、混沌學(xué)、小波分析、模式識別 等。 在證券選擇和股票種類的預(yù)測中有人應(yīng)用神經(jīng)金融數(shù)學(xué)是一門新興的邊緣學(xué)科， 是數(shù)學(xué)與金融學(xué)的交叉。在 20 世紀(jì)后期金融學(xué)越來越多地表現(xiàn) 出與數(shù)學(xué)的交融： 一方面運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法分析 和解決金融問題；另一方面，金融中不斷涌現(xiàn)的現(xiàn)實 問題也向數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)提出了理論上有價值的研究 方向。 這樣一種現(xiàn)實使得金融與數(shù)學(xué)逐漸形成一個 新的交叉領(lǐng)域， 并逐漸發(fā)展成為一門新學(xué)科金 融數(shù)學(xué)。 大量應(yīng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具是現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)理 論的最大特點。隨著金融市場的發(fā)展，金融學(xué)越來越 與數(shù)學(xué)緊密相連， 而且現(xiàn)代金融學(xué)的發(fā)展也推動了 數(shù)學(xué)的某些分支的發(fā)展，同時，數(shù)學(xué)理論和方法為金 融學(xué)的發(fā)展提供了有力的工具。1 金融數(shù)學(xué)簡介廣義來說，金融數(shù)學(xué)是指應(yīng)用數(shù)學(xué)理論和方法 ， 研究金融經(jīng)濟運行規(guī)律的一門新興學(xué)科 。狹義來講， 金融數(shù)學(xué)的主要研究內(nèi)容是關(guān)于在不確定條件下的 證券組合選擇和資產(chǎn)定價理論，而套利、最優(yōu)和均衡 則是這一理論中最重要的三個概念。金融數(shù)學(xué)從某種金融或者經(jīng)濟假設(shè)出發(fā) ， 用抽 象的數(shù)學(xué)方法，建立金融機理的數(shù)學(xué)模型。金融數(shù)學(xué) 的主要構(gòu)成是數(shù)學(xué)概念和方法 （或者其他自然科學(xué) 方 法 ）在 金 融 學(xué) 、特 別是在金融理論中的各種應(yīng)用 ， 其目的是用數(shù)學(xué)的語言來表達、 推理和論證金融學(xué) 原理。金融數(shù)學(xué)是金融學(xué)的一個分支， 因此金融數(shù)學(xué) 首先要以金融理論為背景和基礎(chǔ)， 這倒并不意味著收 稿 日 期 ：2012-04-01作 者 簡 介 ：孫 蓓 （1979 ），河 南 開 封 人 ，開封教育局基礎(chǔ)教育教研室副主任 ，中 學(xué) 一 級 教 師 。 研 究 方 向 ：數(shù) 學(xué) 教 育 。113網(wǎng)絡(luò)方法、人工智能方法，在期貨市場創(chuàng)新的仿真研究中有人運用模擬退火法和遺傳算法等 。綜上所述， 金融數(shù)學(xué)領(lǐng)域的幾個重要理論框架 是 ：現(xiàn)代證券組合理論 ，資本資產(chǎn)定價模型 ，套 利 定 價 理 論 ，套 期 保 值 理 論 ，期 權(quán) 定 價 理 論 ，利 率 期 限 結(jié) 構(gòu)理論等。np1iQ1ii=1100% （以報告期發(fā)行量為 Q 權(quán)數(shù)）E=0inp Q0i 0ii=1或np1iQ1ii=1常用數(shù)學(xué)知識在金融問題中的應(yīng)用3E=100% （以報告期發(fā)行量為 Q 權(quán)數(shù)）1in31數(shù)學(xué)方法在金融投資風(fēng)險與收益中的應(yīng)用風(fēng) 險 被 認(rèn) 為 是 由 于 利 率 、匯 率 、商 品 價 格 、股 票 價格的波動而導(dǎo)致的收益偏離期望值或平均值的可 能性。因此，風(fēng)險度量成為金融工程的一個主要組成 部分，常用的度量金融風(fēng)險的數(shù)學(xué)方法可以分為 ：確 定性數(shù)學(xué)方法和不確定性數(shù)學(xué)方法。p Q0i 1ii=1通過計算這些金融投資中一些常見金融投資風(fēng)險分析指標(biāo)，可以評估和控制金融交易活動，并為進 一步選擇合適的金融投資組合做準(zhǔn)備 。312不確定性數(shù)學(xué)方法從金融投資風(fēng)險的定義可知， 各種不確定因素 的影響是產(chǎn)生風(fēng)險的原因。所以，只用確定性數(shù)學(xué)方 法是不足以準(zhǔn)確地 描述這些因素及其相互關(guān)系的 。 在這樣的情況下，不確定性數(shù)學(xué)方法如概率論、數(shù)理 統(tǒng)計、 隨機過程等就必然地要在防范金融投資風(fēng)險 的研究工作中發(fā)揮作用。不確定性數(shù)學(xué)在控制金融投資風(fēng)險方面最基本 的應(yīng)用就是把金融投資過程的可能損失或收益率抽 象為隨機變量， 然后用數(shù)學(xué)期望和方差或標(biāo)準(zhǔn)差來 度量可能損失或收益率的平均值和波動性 。 假如金 融投資涉及兩種或更多的金融商品， 則必須引入隨 機向量及其協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)來進行度量 。 相關(guān)的 數(shù)學(xué)方法為：記隨機變量為 X，并設(shè) X 有 N 個 歷 史 數(shù) 據(jù) 。 利 用這些數(shù)據(jù)并以頻率近似代替概率 ，可 求 得 X 的 概 率分布：p（x1），p（x2），p（xn）np（x1）1（其中 nN）i=1記數(shù)學(xué)期望為 E（X）n311確定性數(shù)學(xué)方法這種方法通過對金融投資風(fēng)險的各種構(gòu)成因索和評估指標(biāo)的研究分析， 把這些因素和指標(biāo)抽象成 為確定性的數(shù)學(xué)變量， 并進一步把它們之間的相互 關(guān)系抽象成為數(shù)學(xué)計算公式、 數(shù)學(xué)函數(shù)式或數(shù)學(xué)模 型，然后通過數(shù)學(xué)演算得出數(shù)值結(jié)果。根據(jù)這些計算 結(jié)果，人們可以度量和評估金融投資風(fēng)險，調(diào)整和控 制金融交易活動，以達到防范金融投資風(fēng)險的目的。 債 券 收 益 率 、 債 券 價 格 、 股票價格和股票指數(shù) 是投資風(fēng)險分析的常用指標(biāo) ， 常用的數(shù)學(xué)計算方 法 如 下 ：（1）假設(shè)新發(fā)債券到期 收 益 率 為 S，票 面 年 利 率 為 r，面 額 為 M，發(fā) 行 價 格 為 N，返 還 期 限 為 T，則 新發(fā)債券到期收益率為：r+ M-N TS=100%N（2） 設(shè) 債 券 面 值 為 C，R 為 投 資 收 益 率 ，N 為 債券期限，I 為息票利率，F(xiàn) 為每次所付利息則債券的價格 M 為：（F=IC），E（X）=x p（x ）nCF+11M=i=1（1+R）N（1+R）Kk=1記標(biāo)準(zhǔn)差為 （X）（X）= 姨E X-E X （3）設(shè) 股 票 價 格 為 M，預(yù)期股利收入為 Q，市 場利 息 率 為 r，股 票 票 面 價 值 為 p，股 利 率 為 c，則 股 票 價格 M 為：2記隨機向量為（X，Y），并設(shè)有 N 組歷史數(shù)據(jù)（x1，y1），i=1，2，N記協(xié)方差為 cov（X，Y）cov（X，Y）=E 姨X-E X 姨Y-E Y 姨記相關(guān)系數(shù)為 xyM= Q = pc rr（4） 設(shè) p0i 為基期股價 ，Q0i 為基期發(fā)行 量 ，p1i 為 報告期股價 ，Q1i 為報告期發(fā)行量 ，i=1，2， ，n 表示 共有 n 期歷史數(shù)據(jù)。 則加權(quán)股票指數(shù) E 為：xy= cov（X，Y） （X）（Y）在金融投資組合中風(fēng)險的度量就是預(yù)期收益的 方差，在 n 種證券組成的投資組合中，記投資組合的114預(yù) 期 收 益 為 R，投 資 風(fēng) 險 為 2，法可得：nR=wiRi i=1則由上述不確定方 的預(yù)期傾向于投機的影響。另外，金融市場數(shù)學(xué)模型建立在新古典經(jīng)濟學(xué)理論框架之中， 是以市場均衡 模式和線性數(shù)理方法為基礎(chǔ)的； 但金融市場實際上 均衡是短暫的，不均衡是絕對的。 再者，通過數(shù)學(xué)模 型或定量分析方法 所得到的結(jié)論是半經(jīng)驗半理性 ， 等等。這些問題的存在，使數(shù)學(xué)模型理論計算與實際 價格產(chǎn)生偏差，雖對歷史數(shù)據(jù)擬合較好，但對未來預(yù) 測并沒有很高的成功率。可以預(yù)見， 數(shù)學(xué)在金融領(lǐng)域的應(yīng)用應(yīng)在現(xiàn)有理 論框架基礎(chǔ)上，豐富理論研究的方法和結(jié)果，使數(shù)學(xué) 模型能夠更好地解釋現(xiàn)實。除此之外，還應(yīng)當(dāng)從金融 市 場 整 體 出 發(fā) ，從 基 本 面 、技 術(shù) 面 、信息面等各方面 考慮，進行定性和定量相結(jié)合的分析，才有可能使建 立起來的數(shù)學(xué)模型盡可能 反映金融市場系統(tǒng)的本 質(zhì)，起到優(yōu)化作用。隨著金融領(lǐng)域的不斷發(fā)展， 數(shù)學(xué)在金融中的應(yīng) 用也越來越廣泛。同時，數(shù)學(xué)知識的研究已經(jīng)成為金 融學(xué)研究中的主要領(lǐng)域。 數(shù)學(xué)正在不斷推動著金融 實踐的發(fā)展。因此，數(shù)學(xué)在金融市場中具有廣泛的應(yīng) 用前景。nnn2=w2 2 +wiw i ijij i ji=1i=1 j=1其 中 ： wi 為 第 i 種證券在投資組合中 的 權(quán) 重 ，Ri 為 第 i 種證券的預(yù)期收益 ；i 與 j 是 第 i 種 證 券 和第 j 種證券的標(biāo)準(zhǔn)差；ij 為 第 i 種 證 券 和 第 j 種證券的相關(guān)系數(shù) ， 范 圍-1,1。從上面的分析計算可以看出， 增加證券投資組合數(shù)目以及選擇負(fù)相關(guān)的證券組合可以降低投資風(fēng) 險。32數(shù)學(xué)方法在金融預(yù)測和決策中的應(yīng)用在金融活動中，有許多不確定的因素存在，如何 對未來的金融變量如儲蓄存款余額、保貼率、通脹率 等進行預(yù)測，將關(guān)系到?jīng)Q策者能否做出正確的決斷 。 金融預(yù)測中常用的數(shù)學(xué)方法有最小二乘法 、 一次和 二次移動平均法、一次和二次及三次指數(shù)平滑法、修 正 指 數(shù) 曲 線 法 、生 長 曲 線 預(yù) 測 法 、一元線性回歸法 、 三 點 法 、馬爾可夫預(yù)測法 、卡 爾 曼 濾 波 法 、兩 步 預(yù) 測 法等。金融決策中常用的數(shù)學(xué)方法有極值選優(yōu) 決 策 法、線性規(guī)劃決策法、期望值法、邊際分析法、無差異 曲線法、最大產(chǎn)量組合法、最小成本組合法等。4總結(jié)在金融數(shù)學(xué)迅速發(fā)展的同時，也存在一些問題， 如金融市場數(shù)學(xué)模 型是以理性預(yù)期的假設(shè)為前提 ， 認(rèn)為市場參與者（機構(gòu)或個人）能夠理智地利用和處 理一切可利用的信息，除隨機因素外，人們有完全的 預(yù)見。 但實際上，金融市場的預(yù)期是非理性的，短期參考文獻1 李 向 科 ， 戚 發(fā) 全 金 融 數(shù) 學(xué) M北 京 ： 中 國 人 民 大 學(xué) 出 版 社 ，20042 宋 威 金 融 數(shù) 學(xué) 模 型 M廣 州 ： 華 南 理 工 大 學(xué) 出 版 社 ，19993張 永 林 數(shù) 理 金 融 分 析 ：基礎(chǔ)原理與方法 M 北 京 ： 經(jīng) 濟 科 學(xué) 出 版 社 ，20074吳 碩 思數(shù) 學(xué)方法在金融投資風(fēng)險分析中的應(yīng)用 J華 僑 大 學(xué) 學(xué) 報 （哲學(xué)社會科學(xué)版 ），1998，（1）：26-335 胡 永 珍 金 融 數(shù) 學(xué) J 內(nèi)蒙古師大學(xué)報 （ 自 然 科 學(xué) 漢 文 版 ），2000，（1）：20-25（責(zé)任編輯：王玉玲）Application of Mathematics in FinanceSUN Bei（Staff Room， Basic Education， Kaifeng Bureau of Education， Kaifeng 475000， Henan， China）Abstract： Financial Mathematics is a new interdisciplinary that uses mathematical theory and methodsto research the operating law of finance This article describes the origin and basic concept of Financial Mathematics， including its development briefly It focuses on main theoretical framework that prop up Financial Mathematics and how to utilize mathematical knowledge to sol